Пошукова робота на тему:

Монотонність функції, необхідні і достатні умови. Eкстремум функції
однієї та декількох змінних.. Необхідні і достатні умови. Найбільше і
найменше значення функції на замкнутому проміжку і в обмеженій замкнутій
області.

План

Монотонність функції, необхідні і достатні умови

Екстремум функції, необхідні і достатні умови

Найбільше і найменше значення функції на замкнутому проміжку

Екстремум функції декількох змінних.

Необхідні і достатні умови екстремуму для функції двох змінних

Найбільше та найменше значення функції в обмеженій замкнутій області

1. Екстремуми функцій

1.1. Зростання і спадання функцій

 є внутрішньою точкою цього проміжку.

.

 то вона називається зростаючою (спадною) на цьому проміжку.

2.Достатні ознаки зростання (спадання) диференційованої функції.

зростає (спадає).

.

Скористаємось означенням похідної

,

.

Тоді з попередньої рівності та умови теореми маємо

.

.

.

.

 функція є зростаючою.

Теорему доведено.

.

 не існує.

 не існує. Але ж не кожна така точка буде розділяти інтервали
монотонності (рис. 6.11).

Рис.6.11

Сформулюємо правила дослідження функцій на зростання і спадання.

за першою похідною.

 зберігає знак.

 на кожному із цих інтервалів.

, інтервал спадання.

Приклад.

.

Р о з в ’ я з о к. Обчислимо похідну

.

. Розв’яжемо цю нерівність:

.

  функція зростає; в інтервалах

 функція спадає.

1.2. Екстремуми функцій

 внутрішньою точкою

.

має максимум, якщо для всіх точок деякого околу  цієї точки виконується
нерівність

.                                        (6.85)

 має мінімум, якщо для всіх точок деякого околу  цієї точки виконується
нерівність

.                                       (6.86)

Максимуми і мінімуми функції називаються її екстремумами.

Необхідні умови існування екстремуму.

.

, а тому

, одержимо:

.

Теорема 2. У точці екстремуму функції кількох змінних кожна її частинна
похідна першого порядку або дорівнює нулю, або не існує.

.

:

.

 має максимум, тобто,

 дорівнюють нулю або не існують.

 виконуються рівності

                    (6.87)

Означення. Точки, в яких частинні похідні першого порядку деякі функції
дорівнюють нулю або не існують, називаються критичними точками.

Із доведеної теореми витікає, що екстремум функції кількох змінних може
досягатись лише в критичних точках.

 критичні точки знаходяться із системи рівнянь

                                       (6.88)

Приклад.

Знайти критичні точки функції

Р о з в ’ я з о к. Прирівнюючи до нуля частинні похідні даної функції,
одержуємо систему рівнянь для знаходження координат критичних точок:

 має чотири критичні точки:

.

Достатні умови існування екстремуму.

. Тоді:

;

;

.

 на екстремум, треба:

, причому з його коренів вибрати тільки дійсні і ті, які є внутрішніми
точками області існування функції).

в цих точках існує);

            3) у кожній критичній точці перевірити зміну знака похідної
першого порядку.

            Приклади.

.

            Р о з в ’ я з о к. 1). Знаходимо

.

:

Звідси визначаємо стаціонарні точки

2). Точок, в яких похідна не існує, немає. Отже, стаціонарні точки є
єдиними критичними точками заданої функції.

3). Розглянемо інтервали

.

.

            Тоді:

 похідна знак не змінює; точка не є екстремальною для заданої функції

, яка не

є точкою

.

            Друге правило дослідження функції на екстремум. Щоб
дослідити функцію на екстремум, треба знайти:

1)      стаціонарні точки заданої функції

2)      похідну другого порядку в стаціонарній точці.

мінімум.

Приклад. Користуючись другим правилом, дослідити функцію на екстремум.

. Прирівнюємо її до нуля і розв’язуємо рівняння

.

:

.

.

            Достатня умова екстремуму функції двох змінних.

 має неперервні частинні похідні до другого порядку включно. Розглянемо
вираз

.

            Тоді

,

 екстремуму не має.

 може бути, може і не бути.

.

:

.

            Знаходимо  частинні похідні другого порядку:

:

.

 функція не має ні максимуму, ні мінімуму.

:

.

6.15.3. Знаходження найбільшого і найменшого значень функції

, в яких функція дорівнює своєму найбільшому (найменшому) значенню.
Теорема тільки стверджує, що такі точки існують. Це можуть бути як
внутрішні точки відрізка, так і його кінці.

.

.

 Прирівнюючи цю похідну до нуля і розв’язуючи рівняння

,

.

            Точок, в яких похідна не існує, немає.

. Маємо

, потрібно знайти значення функції у всіх критичних точках і порівняти
їх з найбільшими (найменшими) значеннями функції на границях області:
найбільше і найменше із цих значень і буде найбільшим і найменшим
значенням функції в даній області.

.

            Р о з в ’ я з о к.

            Знайдемо критичні точки функції:

;

;

, то

функція приймає значення

.

             

                   Рис.6.12

            Дослідимо поведінку функції на границях області.

;

.

:

.

            Зауваження. До знаходження відповідно найбільшого чи
найменшого значення певної функції зводиться цілий ряд практичних задач.

Похожие записи