Пошукова робота

З вищої математики на тему:

МНОЖИНИ І ВІДНОШЕННЯ

1. Коротка історична довідка

Основи теорії множин були закладені відомим німецьким математиком
Георгом Кантором у другій половині минулого століття. Поява теорії
множин була зустрінута з ентузіазмом багатьма авторитетними
математиками. Вони побачили в ній можливість створення метамови
математики, тобто формальної одностайної системи понять і принципів, за
допомогою якої можна було б викласти з єдиних позицій зміст
різноманітних традиційно далеких один від одного розділів математики.
Перші такі досить успішні спроби були виконані вже незабаром після
виникнення канторівської теорії множин.

Однак пізніші дослідники виявили в теорії Кантора чимало суперечностей:
так званих парадоксів або антиномій теорії множин. Виникла кризова
ситуація. Одна частина математиків, посилаючись на штучність
сформульованих антиномій, вважала за краще не помічати ці суперечності
або не надавати їм великого значення. У той час як інша (скажімо,
відповідальніша) група математиків зосередила свої зусилля на пошуках
більш обгрунтованих та точних принципів і концепцій, на яких могла б
бути побудована несуперечлива теорія множин.

У результаті було запропоновано кілька формальних (або аксіоматичних)
систем, які служать фундаментом сучасної теорії множин, а значить,
фундаментом всієї класичної математики. Важливість цих досліджень серед
іншого підкреслює той факт, що значний внесок у становлення
аксіоматичної теорії множин зробили такі видатні математики і мислителі
нашого століття, як Б.Рассел, Д.Гільберт, К.Гедель та ін.

Сьогодні теорія множин — це математична теорія, на якій грунтується
більшість розділів сучасної математики, як неперервної, так і
дискретної.

Докладніше з історією виникнення та розвитку теорії множин можна
ознайомитись, прочитавши цікаву монографію А.Френкеля і І.Бар-Хіллела
«Основи теорії множин» або книгу М.Клайна «Математика. Втрата певності».

2. Поняття множини. Способи задання множин

Для наших цілей достатньо буде викладення основ так званої інтуїтивної
або наївної теорії множин, яка в головних своїх положеннях зберігає ідеї
та результати засновника теорії Г.Кантора.

В інтуїтивній теорії множин поняття «множина» належить до первинних
невизначальних понять, тобто воно не може бути означено через інші більш
прості терміни або об’єкти, а пояснюється на прикладах, апелюючи до
нашої уяви та інтуіції. Такими поняттями в математиці є також поняття
«число», «пряма», «точка», «площина» тощо.

Канторівський вираз: «Множина — це зібрання в єдине ціле визначених
об’єктів, які чітко розрізняються нашою інтуіцією або нашою думкою» —
безумовно не може вважатися строгим математичним означенням, а є скоріше
поясненням поняття множини, яке заміняє термін «множина» на термін
«зібрання». Іншими синонімами основного слова «множина» є «сукупність»,
«набір», «колекція», «об’єднання» тощо.

Прикладами множин можуть служити: множина десяткових цифр, множина літер
українського алфавіту, множина мешканців Києва, множина парних чисел,
множина розв’язків деякого рівняння та ін.

На письмі множини позначаються, як правило, великими літерами. Для
деяких множин у математиці вживаються сталі позначення. Наприклад, Z —
множина цілих чисел, N — множина натуральних чисел, Q — множина
раціональних чисел, R — множина дійсних чисел тощо.

M.

Запис a,b,c,…(M використовують для скорочення запису a(M, b(M,
c(M,….

Множину називають скінченною, якщо кількість її елементів скінченна,
тобто існує натуральне число k, що є числом елементів цієї множини. У
противному разі множина є нескінченною.

Для задання множини, утвореної з будь-яких елементів, будемо
використовувати два такі способи. В основі обох із них лежить позначення
множини за допомогою фігурних дужок.

1. Якщо a1,a2,…,an — деякі об’єкти, то множина цих об’єктів
позначається через {a1,a2,…,an}, де у фігурних дужках міститься
перелік усіх елементів відповідної множини. З останнього зауваження
випливає, що в такий спосіб можуть бути задані тільки скінченні множини.
Порядок запису елементів множини при цьому позначенні є неістотним.

Приклад 1.1. Множина десяткових цифр записується {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},
множина основних арифметичних операцій — {+,-,*,/} або {*,/,+,-},
множина розв’язків нерівності (x-1)2 ( 0 — {1}.

Слід пікреслити, що однією з основних ідей канторівської теорії множин
був розгляд множини як нового самостійного об’єкта математичного
дослідження. Тому необхідно розрізняти такі два різні об’єкти, як
елемент a і множина {a}, яка складається з єдиного елемента a. Зокрема,
множини можуть виступати в ролі елементів якоїсь іншої множини.
Наприклад, множина всіх можливих пар з елементів a, b і c D =
{{a,b},{a,c},{b,c}} складається з трьох елементів і задана цілком
коректно.

2. Другий спосіб задання множин грунтується на зазначенні загальної
властивості або породжувальної процедури для всіх об’єктів, що утворюють
описувану множину.

У загальному випадку задання множини M має вигляд:

M = {a | P(a)}.

Цей вираз читається так: «множина M — це множина всіх таких елементів a,
для яких виконується властивість P», де через P(a) позначено
властивість, яку мають елементи множини M і тільки вони. Замість
вертикальної риски іноді записують двокрапку.

Приклад 1.2.

S = { n | n — непарне число } або S = { n | n = 2k+1, k(Z },

X = { x | x = (k, k(Z },

F = { fi | fi+2 = fi+1 + fi, i(N, f1 = f2 = 1 }.

Другий спосіб є більш загальним способом задання множин. Наприклад,
введену вище множину D всіх пар з елементів a, b і c можна задати так

D = { {x,y} | x({a,b,c}, y({a,b,c} і x ( y}.
(1.1)

З метою зручності та одностайності при проведенні математичних викладок
вводиться поняття множини, яка не містить жодного елемента. Така множина
називається порожньою множиною і позначається (. Наприклад, якщо
досліджується множина об’єктів, які повинні задовольняти певній
властивості, і в подальшому з’ясовується, що таких об’єктів не існує, то
зручніше сказати, що шукана множина порожня, ніж оголосити її
неіснуючою. Порожню множину можна означати за допомогою будь-якої
суперечливої властивості, наприклад: (={x | x(x} тощо. Разом із тим,
твердженням «множина M — непорожня» можна замінювати рівносильне йому
твердження «існують елементи, які належать множині M».

3. Підмножини

Дві множини A і B називаються рівними (записується A=B), якщо вони
складаються з тих самих елементів.

Множина A називається підмножиною множини B (записується A(B або B(A)
тоді і тільки тоді, коли кожний елемент множини A належить також множині
B. Кажуть також, що множина A міститься у множині B. Знаки ( і (
називаються знаками включення.

Неважко переконатись, що A=B тоді і тільки тоді, коли одночасно
виконуються два включення: A(B і B(A. Крім того, якщо A(B і B(C, то A(C.
Останні два факти часто використовуються при доведенні тверджень про
рівність двох заданих множин.

Якщо A(B, однак A(B, то пишуть A(B і називають множину A власною
(строгою або істинною) підмножиною множини B. Знак ( (або (), на відміну
від знака ( (або (), називається знаком строгого включення.

Очевидно, що для будь-якої множини A виконується A(A. Крім того,
прийнято вважати, що порожня множина є підмножиною будь-якої множини A,
тобто ((A (зокрема, ((().

Слід чітко розуміти різницю між знаками ( і ( і не плутати ситуації
їхнього вживання. Якщо {a}(M, то a(M, і навпаки.

Однак із включення {a}(M, взагалі кажучи, не випливає {a}(M. Для
будь-якого об’єкта x виконується x((. Наприклад, для множини D (1.1) і
її елементів виконуються такі співвідношення: {a,b}(D, {{a,b},{b,c}}(D,
a({a,b}, {c}({a,c}, {a}({a,b}.

4. Операції над множинами та їхні властивості

Для множин можна ввести ряд операцій (теоретико-множинних операцій),
результатом виконання яких будуть також множини. За допомогою цих
операцій можна конструювати із заданих множин нові множини.

Нехай A і B деякі множини.

а) Об’єднанням множин A і B (позначається A(B ) називається множина тих
елементів, які належать хоча б одній з множин A чи B. Символічно
операція об’єднання множин записується так

Приклад 1.3. {a,b,c} ( {a,c,d,e} = {a,b,c,d,e}.

б) Перетином множин A і B (позначається A(B ) називається множина, що
складається з тих і тільки тих елементів, які належать множинам A і B
одночасно. Тобто

Приклад 1.4. {a,b,c}({a,c,d,e} = {a,c},

{a,b,c}({d,e} = (.

Кажуть, що множини A і B не перетинаються, якщо A(B = (.

Ai) містить тільки ті елементи, які одночасно належать кожній з множин
Ai.

в). Різницею множин A і B (записується A\B ) називається множина тих
елементів, які належать множині A і не належать множині B. Отже,

Приклад 1.5. {a,b,c} \ {a,d,c} = {b},

{a,c,d,e} \ {a,b,c} = {d,e},

{a,b} \ {a,b,c,d} = (.

г). Симетричною різницею множин A і B (записується A(B, A(B або A(B )
називається множина, що складається з усіх елементів множини A, які не
містяться в B, а також усіх елементів множини B, які не містяться в A.
Тобто

Приклад 1.6. {a,b,c}({a,c,d,e} = {b,d,e},

{a,b}( {a,b} = (.

Введені теоретико-множинні операції можна проілюструвати діаграмою
(рис.1.1).

Тут множини A і B — це множини точок двох кругів.

Тоді A(B — складається з точок областей І, ІІ, ІІІ,

A(B — це область ІІ,

A \ B — область І,

B \ A — область ІІІ,

A(B — області І і ІІІ.

Рис. 1.1.

д). У конкретній математичній теорії буває зручно вважати, що всі
розглядувані множини є підмножинами деякої фіксованої множини, яку
називають універсальною множиною або універсумом і позначають через E
(або U). Наприклад, в елементарній алгебрі такою універсальною множиною
можна вважати множину дійсних чисел R, у вищій алгебрі — множину
комплексних чисел C, в арифметиці — множину цілих чисел Z, в традиційній
планіметрії — множину всіх точок площини або множину всіх геометричних
об’єктів, тобто множину множин точок на площині тощо.

— називається множина всіх елементів універсальної множини, які не
належать множині A.

Тобто

( x(A.

= E \ A.

множини P всіх парних натуральних чисел буде множина всіх непарних
натуральних чисел.

Зазначимо у вигляді тотожностей властивості введених вище
теоретико-множинних операцій.

1. Асоціативність (A ( B) ( C = A ( (B ( C); (A(B)(C = A((B(C).

2. Комутативність A ( B = B ( A; A(B = B(A.

3. Дистрибутивність A((B(C)=(A(B)((A(C); A((B(C)=(A(B)((A(C),

4. Ідемпотентність A ( A = A; A(A = A.
(1.2)

= A.

.

Зазначимо, що правила де Моргана припускають узагальнення для сукупності
множин:

.

Наведемо ще ряд корисних теоретико-множинних тотожностей:

A ( ( = A, A(( = (;

A ( E = E, A(E = A;

= (;
(1.3)

= E.

Окремо запишемо властивості операції симетричної різниці:

(B),

(A(B)(C = A((B(C) (асоціативність),

A(B = B(A (комутативність)
(1.4)

A((B(C) = (A(B) ((A(C) (дистрибутивність відносно перетину),

, A(( = A.

Приклад 1.8. Покажемо істинність однієї з наведених тотожностей —
правила де Моргана.

.
(1.5)

Доведемо спочатку, що

.
(1.6)

.

Доведемо обернене включення

.
(1.7)

. Зі справедливості обох включень (1.6) і (1.7.) випливає істинність
рівності (1.5).

Аналогічно можуть бути доведені всі інші наведені теоретико-множинні
тотожності. Ці тотожності дозволяють спрощувати різні складні вирази над
множинами.

Приклад 1.9. Послідовно застосовуючи тотожності з (1.2) і (1.3), маємо

)) (C = E(C = C.

5. Декартів (прямий) добуток множин

Окремо розглянемо ще одну дуже важливу операцію над множинами.

Декартовим (прямим) добутком множин A і B (записується A(B) називається
множина всіх пар (a,b), в яких перший компонент належить множині A
(a(A), а другий — множині B (b(B).

Тобто

Декартів добуток природно узагальнюється на випадок довільної скінченної
сукупності множин. Якщо A1, A2,…, An — множини, то їхнім декартовим
добутком називається множина

D = { (a1,a2,…,an) | a1(A1, a2(A2,…, an(An },

яка складається з усіх наборів (a1,a2,…,an), в кожному з яких i-й
член, що називається i-ю координатою або i-м компонентом набору,
належить множині Ai, i=1,2,…,n. Декартів добуток позначається через
A1( A2(…( An.

Набір (a1,a2,…,an), щоб відрізнити його від множини, яка складається з
елементів a1,a2,…,an, записують не у фігурних, а в круглих дужках і
називають кортежем, вектором або впорядкованим набором. Довжиною кортежу
називають кількість його координат. Два кортежі (a1,a2,…,an) і
(b1,b2,…,bn) однакової довжини вважаються рівними тоді і тільки тоді,
коли рівні їхні відповідні координати, тобто ai=bi, i=1,2,…,n. Отже,
кортежі (a,b,c) і (a,c,b) вважаються різними, в той час як множини
{a,b,c} і {a,c,b} — рівні між собою.

Декартів добуток множини A на себе n разів, тобто множину A(A(…(A
називають n-м декартовим (або прямим) степенем множини A і позначають
An.

Прийнято вважати, що A0 = ( (n=0) і A1 = A (n=1).

Приклад 1.9. 1. Якщо A = {a,b} і B = {b,c,d}, то

A(B = {(a,b),(a,c),(a,d),(b,b),(b,c),(b,d)},

A2 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}.

2. Якщо R — множина дійсних чисел або множина точок координатної прямої,
то R2 — це множина пар (a,b), де a,b(R, або множина точок координатної
площини.

Координатне зображення точок площини вперше було запропоновано
французьким математиком і філософом Рене Декартом, тому введена
теоретико-множинна операція і називається декартовим добутком.

3. Скінченна множина A, елементами якої є символи (літери, цифри,
спеціальні знаки тощо), називається алфавітом. Елементи декартового
степеня A називаються словами довжини n в алфавіті A. Множина всіх слів
в алфавіті A — це множина

Ai,

де e — порожнє слово (слово довжини 0), тобто слово, яке не містить
жодного символу алфавіту A.

Замість запису слів з An у вигляді кортежів (a1,a2,…,an) частіше
використовують традиційну форму запису слів у вигляді послідовності
символів a1a2…an, aj(A, j=1,2,…,n. Наприклад, 010111, 011, 0010,
100, 010 — слова в алфавіті B = {0,1}, а 67-35, -981, (450+12)/27,
349*2+17 — це слова в алфавіті C = {0,1, 2,3,4,5,6,7,8,9,+,-,*,/,(,)}.

Операція декартового добутку неасоціативна і некомутативна, тобто
множини (A(B)(C і A((B(C), а також множини A(B і B(A, взагалі кажучи,
нерівні між собою.

Зв’язок декартового добутку з іншими теоретико-множинними операціями
встановлюється такими тотожностями:

(A ( B) ( C = (A(C) ( (B(C),

(A(B) ( C = (A(C)((B(C),

A ( (B ( C) =(A(B) ( (A(C),
(1.8)

A ( (B(C) =(A(B)((A(C).

Проекцією на i-у вісь (або i-ою проекцією) кортежу w=(a1,a2,…,an)
називається i-а координата ai кортежу w, позначається Pri(w) = ai.

Проекцією кортежу w=(a1,a2,…,an) на осі з номерами i1,i2,…,ik
називається кортеж (ai1,ai2,…,aik), позначається Рri1,i2,…,ik(w) =
(ai1,ai2,…,aik).

Нехай V — множина кортежів однакової довжини. Проекцією множини V на i-у
вісь (позначається PriV ) називається множина проекцій на i-у вісь усіх
кортежів множини V:

PriV = { Pri(v) | v(V }.

Аналогічно означається проекція множини V на декілька осей:

Pri1,i2,…,ikV = { Pri1,i2,…,ik(v) | v(V }.

Приклад 1.10. Pri1,i2,…,ik( A1 ( A1 (…( An ) = Ai1 ( Ai2 (… (
Aik.

Якщо V={(a,b,c),(a,c,d),(a,b,d)}, то Pr1V={a}, Pr2V={b,c},
Pr2,3V={(b,c),(c,d), (b,d)}.

6. Відповідності, функції і відображення

Відповідністю між множинами A і B називається будь-яка підмножина C(A(B.

Якщо (a,b)(C, то кажуть, що елемент b відповідає елементу a при
відповідності C.

Поняття віповідності можна проілюструвати за допомогою так званого
графіка відповідності. Нехай A={1,2,3,4,5} і B={a,b,c,d}, а C =
{(1,a),(1,d),(2,с), (2,d),(3,b),(5,а),(5,b)} — відповідність між A і B.
Позначимо через 1,2,3,4,5 вертикальні прямі, а через a,b,c,d —
горизонтальні прямі на координатній площині (рис.1.2). Тоді виділені
вузли на перетині цих прямих позначають елементи відповідності C і
утворюють графік відповідності C.

Рис.1.2.

Відповідність можна задавати, визначаючи співвідношення, яким мають
задовольняти її обидві координати. Наприклад, якщо розглянемо класичну
координатну площину R2=R(R, то маємо такі відповідності C1={(x,y) | x2 +
y2 = 1}, C2 = {(x,y) | y = x2 }, C3 = {(x,y)| |x|(1, |y|(1}. Графіком
відповідності C1 є коло радіуса 1 з центром у початку координат,
графіком C2 — квадратична парабола, а графіком C3 — всі точки квадрата з
вершинами (-1,-1),(-1,1),(1,1) і (1,-1).

Припустимо, що C(A(B деяка відповідність.

Множина Pr1C називається областю визначення, а множина Pr2C — областю
значень відповідності C (інші позначення — (С і (С відповідно).

Якщо Pr1C=A, то відповідність C називається всюди або повністю
визначеною. В противному разі відповідність називається частковою.

Образом елемента a(Pr1C при відповідності C називається множина всіх
елементів b(Pr2C, які відповідають елементу a.

Прообразом елемента b(Pr2C при відповідності C називається множина всіх
тих елементів a(Pr1C, яким відповідає елемент b.

Якщо A(Pr1C, то образом множини A при відповідності C називається
об’єднання образів усіх елементів з A. Аналогічно означається прообраз
деякої множини B(Pr2C.

Оскільки відповідності є множинами, то до довільних відповідностей
можуть бути застосовані всі відомі теоретико-множинні операції:
об’єднання, перетин, різниця тощо.

Додатково для відповідностей введемо дві специфічні операції.

Відповідністю, оберненою до заданої відповідності C між множинами A і B,
називається відповідність D між множинами B і A така, що

D ={(b,a) | (a,b)(C}. Відповідність, обернену до відповідності C,
позначають C-1.

Якщо задано відповідності C(A(B і D(B(F, то композицією відповідностей C
і D (позначається C(D ) називається відповідність H між множинами A і F
така, що

H = { (a,b)| існує елемент c(B такий, що (a,c)(C і (c,b)(D }.

Розглянемо окремі важливі випадки відповідностей.

B. Зокрема, всі функції, які вивчаються в елементарній математиці, є
окремими випадками функціональних відповідностей з R2= R(R або функціями
типу R ( R.

B. Відображення називають також всюди або повністю визначеними
функціями.

Відображення типу A ( A називають перетвореннями множини A.

Через BA позначається множина всiх вiдображень з A в B.

Оскільки функція і відображення є окремими випадками відповідності, то
для них мають місце всі наведені вище означення: поняття областей
визначення та значень, поняття образу та прообразу елементів і множин та
ін. Зокрема, для функції f елементи множини Pr1f називають аргументами
функції, образ елемента a(Pr1f позначають через f(a) і називають
значенням функції f на a. Прообраз елемента b(Pr2f позначають через
f-1(b). Аналогічно позначаються образ і прообраз множини.

Нехай f:A(B функція з множини A в множину B, а g:B(C — функція з множини
B в множину C. Суперпозицією (композицією) функцій f і g, яка
позначається f(g, називається функція h:A(C така, що h(a) = g(f(a)) для
a(Pr1f(A і f(a)(Pr1g(B.

Відображення f називається сюр’єктивним (сюр’єкцією) або відображенням
на множину B, якщо Pr2f = B.

Відображення f називається ін’єктивним (ін’єкцією) або різнозначним
відображенням, якщо для кожного елемента b(Pr2f його прообраз f-1(b)
складається тільки з одного елемента. Іншими словами, різним елементам
множини A відповідають різні елементи множини B.

Нарешті, відображення, яке є одночасно сюр’єктивним і ін’єктивним,
називається бієктивним відображенням або бієкцією.

Бієктивні відображення називають часто також взаємно однозначними
відображеннями або взаємно однозначними відповідностями між множинами A
і B. Взаємно однозначні відображення відіграють велику роль в
математиці, зокрема, в теорії множин.

Таким чином, вiдповiднiсть є взаємно однозначною, тоді і лише тоді, коли
вона функцiональна, всюди визначена, сюр’єктивна та iн’єктивна.

Вiдповiднiсть iA = { (a,a) | a(A } називається тотожним перетворенням,
дiагональною вiдповiднiстю або дiагоналлю в A.

Наведемо приклади відповідностей, відображень та функцій.

Приклад 1.11. 1. Відповідність між клітинками і фігурами на шахівниці в
будь-який момент гри є функціональною, але не є відображенням, оскільки
не всі поля шахівниці зайняті фігурами.

2. Відповідність між натуральними числами і сумами цифр їх десяткового
запису є відображенням. Це відображення не є ін’єктивним, оскільки йому
належать такі, наприклад, пари, як (17, 8) і (26,8).

3. Відповідність, за якою кожному натуральному числу n(N відповідає
число 3n, очевидно, є взаємно однозначною відповідністю між множиною
всіх натуральних чисел і множиною натуральних чисел кратних 3.

4. Відповідність між множиною точок координатної площини R2 і множиною
всіх векторів із початком у точці (0,0) є взаємно однозначною.

7. Рівнопотужність множин

Усі введені вище теоретико-множинні операції та їхні властивості мають
місце як для скінченних, так і для нескінченних множин. Суттєва різниця
між скінченними та нескінченними множинами виявляється, коли мова
заходить про «кількість елементів» та при спробі порівняти такі множини
за «кількістю елементів». Тут слова «кількість елементів» беруться в
лапки тому, що зрозуміла умовність та невизначеність цього поняття для
нескінченних множин.

Одними з основних досягнень канторівської теорії множин є поширення
поняття «кількість елементів» зі скінченних множин на нескінченні та
формулювання принципу, за яким можна порівнювати за «кількістю
елементів» нескінченні множини. Зокрема, несподіваним та незвичайним
виявився той факт, що різні нескінченні множини можуть мати різну
«кількість елементів», тобто для нескінченностей також існує своя
ієрархія.

Канторівська ідея грунтується на такому спостереженні: для того щоб
порівняти за кількістю елементів дві скінченні множини, зовсім
необов’язково перелічувати елементи кожної з них. Можна діяти таким
чином. Наприклад, необхідно порівняти за кількістю дві множини — множину
S студентів та множину M всіх місць в аудиторіях факультету.
Запропонуємо кожному студенту зайняти одне місце. Якщо кожен студент
отримає місце і при цьому в аудиторіях не залишиться жодного вільного
місця, то очевидно, що кількість елементів в обох множинах S і M
однакова. У противному разі, множина S містить більше елементів ніж
множина M, або навпаки. Очевидно, що запропонована процедура встановлює
деяку функціональну відповідність між множинами S і M. У першому випадку
ця відповідність виявляється взаємно однозначною, в той час як у другому
і третьому випадках умови взаємної однозначності не виконуються: або
порушується умова повної визначеності (принаймні один студент не дістав
місця), або порушується умова сюр’єктивності (хоча б одне місце
залишилося вільним).

Принагідно зауважимо, що багато хто з математиків вважає, що описаний
простий спосіб порівняння кількостей елементів у двох скінченних
множинах логічно передує виникненню поняття числа.

Кількість елементів скінченної множини A прийнято позначати через |A|.

Таким чином, неважко переконатись, що між двома скінченними множинами A
і B існує взаємно однозначна відповідність тоді і тільки тоді, коли
|A|=|B|.

Сформульоване твердження дозволяє розв’язувати задачу обчислення
кількості елементів множини A шляхом встановлення взаємно однозначної
відповідності між множиною A і деякою множиною B, кількість елементів
якої відома або легко може бути визначена. Для ілюстрації цього методу
доведемо наступну важливу теорему про кількість підмножин заданої
скінченної множини.

Теорема 1.1. Нехай A = {a1,a2,…,an} — скінченна множина з n елементів
(|A|=n), тоді кількість усіх підмножин множини A дорівнює 2n, тобто
2|A|.

Доведення. Розглянемо множину всіх кортежів (b1,b2,…,bn) довжини n,
які складаються з двійкових цифр 0 або 1 (тобто bi(B={0,1},
i=1,2,…,n). Очевидно, що множина цих кортежів є Bn.

Встановимо таку відповідність між підмножинами множини A і кортежами з
Bn. Кожній підмножині A'(A поставимо у відповідність двійковий кортеж
(b1,b2,…,bn) такий, що

( 0, якщо ai(A’,

bi = (

( 1, якщо ai(A’.

За цим правилом порожній множині ((A відповідає кортеж (0,0,…,0),
самій множині A — кортеж (1,1,…,1), а підмножині A’ = {a2, a4 } —
кортеж (0,1,0,1,0,…,0). Встановлена відповідність є взаємно
однозначною. Отже кількість усіх підмножин множини A дорівнює |Bn |.

Методом математичної індукції доведемо, що |Bn| =2n.

Для n=1 маємо B1= B і |B| = 2 = 21.

Припустимо, що |Bk-1 | = 2k-1. З того, що кожному елементові
(b1,b2,…,bk-1) множини Bk-1 відповідають два елементи
(b1,b2,…,bk-1,0) і (b1,b2,…,bk-1,1) множини Bk випливає, що
кількість елементів у множині Bk вдвічі більша від кількості елементів
у множині Bk-1.

Тобто |Bk | =|Bk-1 |*2 =2k-1*2 = 2k. Теорема 1.1 доведена.

Множину всіх підмножин деякої множини A (скінченної або нескінченної)
часто позначають через ((A) і називають булеаном множини A. З доведеної
теореми випливає, що для скінченної множини A виконується | ((A)|= 2|A|.

Множини A і B назвемо рівнопотужними або множинами, які мають рівні
(однакові) потужності, якщо існує взаємно однозначна відповідність між
множинами A і B.

Таким чином, дві скінченні множини A і B мають однакову потужність тоді
та лише тоді, коли вони складаються з однакової кількості елементів.
Отже, поняття потужності є узагальненням поняття кількості елементів
множини.

Зверніть увагу на те, що ми не означили безпосередньо поняття
«потужність множини», а лише дали означення рівнопотужності множин.
Кантор пропонував розуміти під потужністю ту спільну властивість, яку
мають всі рівнопотужні множини. Виходячи з того, що для рівнопотужних
скінченних множин такою спільною властивістю є кількість їхніх
елементів, за аналогією переносять цю властивість на нескінченні
множини, що, взагалі кажучи, не зовсім коректно, в чому ми переконаємось
нижче.

Якщо рівнопотужність множин A і B позначити через A~B, то безпосередньо
з означення випливають такі властивості рівнопотужності:

1. A~A (рефлексивність);

2. Якщо A~B, то B~A (симетричність);
(1.9)

3. Якщо A~B і B~C, то A~C (транзитивність).

Наведемо декілька прикладів рівнопотужних нескінченних множин.

Приклад 1.12. 1. Множина натуральних чисел N рівнопотужна множині
S={1,4,9,16,…}, яка складається з квадратів натуральних чисел.
Необхідна взаємно однозначна відповідність встановлюється за законом
(n,n2), n(N, n2(S.

2. Множина Z всіх цілих чисел рівнопотужна множині P всіх парних чисел.
Тут взаємно однозначна відповідність встановлюється таким чином: (n,2n),
n(Z, 2n(P.

3. Множина точок інтервалу (-(/2, (/2) рівнопотужна множині точок
дійсної прямої. Шукана взаємно однозначна відповідність встановлюється
за допомогою тригонометричної функції tg: (x,tg x), x((-(/2, (/2), tg
x((-(,() (див. рис.1.3,а).

4. Множини точок двох довільних відрізків a і b рівнопотужні. Правило,
за яким встановлюється взаємно однозначна відповідність між точками
відрізків a і b різної довжини, зображено на рис.1.3,б. Кожний промінь з
точки O, який перетинає відрізки a і b в точках v і w, утворює одну пару
(v,w) необхідної взаємно однозначної відповідності.

5. Аналогічним чином може бути встановлена взаємно однозначна
відповідність між множинами точок двох довільних квадратів K1 і K2
різних розмірів (див.рис.1.3,в).

Зауваження. З рівнопотужності довільних відрізків і транзитивності
рівнопотужності можна зробити висновок, що будь-який відрізок
рівнопотужний інтервалу (-(/2, (/2) і, значить, рівнопотужний всій
прямій.

а) б)
в)

Рис.1.3.

З усіх наведених прикладів випливає, що нескінченна множина може бути
рівнопотужна своїй власній підмножині, що очевидно неможливо для
скінченних множин. Саме незвичність і екзотичність висновків типу
«множина парних чисел містить стільки ж елементів, як і множина всіх
цілих чисел», «будь-який інтервал містить стільки ж точок, як і вся
пряма» тощо призвели до того, що у канторівської теорії множин поряд із
палкими прихильниками було чимало рішучих противників. Вони категорично
відкидали всі спроби дослідження та порівняння нескінченних множин.
Серед іншого й на тій підставі, що «частина завжди «менша» від цілого і
не може бути «рівна» цілому». Але це не злякало Кантора. Він зрозумів і
своїми результатами переконував інших, що нескінченні множини підлягають
новим законам, непридатним для скінченних множин. Розвиваючи цю тезу,
Р.Дедекінд взагалі запропонував вважати нескінченною множиною таку
множину, яка рівнопотужна своїй власній підмножині, тобто покласти цю
«дивну» властивість в основу означення нескінченної множини.

Наступне питання, яке постало перед Кантором: чи всі нескінченні множини
рівнопотужні?

8. Зліченні множини

Множина A рівнопотужна множині N натуральних чисел називається зліченною
множиною.

Іншими словами, зліченна множина A — це така множина, всі елементи якої
можна занумерувати числами 1,2,3,…, тобто можна вказати спосіб, за
яким першому елементу множини A ставиться у відповідність число 1,
другому — число 2, третьому — число 3 і т.д. Отже, будь-яку зліченну
множину A можна подати у вигляді

A = {a1,a2,a3,…,an,…}.

Неважко переконатись, що множини квадратів натуральних чисел, усіх
парних чисел, усіх непарних чисел, чисел кратних деякому числу k, чисел,
які закінчуються парою цифр 00 тощо є зліченними множинами.

Перейдемо до вивчення властивостей зліченних множин.

Теорема 1.2. Будь-яка нескінченна множина M містить зліченну підмножину.

Доведення. Оскільки M нескінченна множина, візьмемо два елементи a1,b1(M
(a1(b1). Очевидно, множина M\{a1,b1} є нескінченною множиною. Тоді
візьмемо наступні два нові елементи a2,b2(M \{a1, b1} (a2(b2 ) і т.д.
Таким чином, ми виділимо з множини M дві зліченні множини
A={a1,a2,…,an,…}(M і B={b1,b2,…,bn,…}(M. Це дозволяє підсилити
формулювання теореми. А саме: будь-яка нескінченна множина M містить
зліченну підмножину A і при цьому множина M \ A є нескінченною множиною
(оскільки B (M \ A).

Теорема 1.3. Будь-яка підмножина зліченної множини є або скінченною, або
зліченною множиною.

Доведення. Нехай A={a1,a2,…,an,…} — зліченна множина і B(A. Отже,
B={a1,a2,…,ak,…} і можливі дві ситуації: або послідовність у
фігурних дужках уривається на деякому елементі, тоді B — скінченна
множина, або послідовність у дужках нескінченна, для якої, встановлюючи
відповідність (l,al), l(N, одержуємо, що B — зліченна множина.

З теорем 1.2 і 1.3, зокрема, випливає, що зліченні множини є до певної
міри найпростішими нескінченними множинами, бо, з одного боку, вони
містяться в будь-якій нескінченній множині, а з другого — містять в собі
тільки скінченні множини, або нескінченні множини, які є зліченними.

Теорема 1.4. Об’єднання скінченної або зліченної сукупності зліченних
множин є зліченною множиною.

Доведення. Розглянемо спочатку скінченну сукупність зліченних множин
{A1,A2,…,Ak}, де Ai={a1i,a2i,…,ani,…}, i=1,2,…,k. Запишемо всі
елементи множин A1,A2,…,Ak в рядок таким чином:
a11,a12,…,a1k,a21,a22,…,a2k,…,an1,an2,…,ank,….

Перенумеруємо записані елементи в порядку їх розташування в рядку. При
цьому елемент, який вже одержав свій номер і повторно з’являється в
рядку, з подальшої нумерації вилучається. В результаті кожен елемент
об’єднання одержить свій номер, що і потрібно було довести.

У випадку зліченної сукупності множин Ai={a1i,a2i,…,ani,…},
i=1,2,…, перепишемо всі елементи множин Ai у такому порядку:
a11,a12,a21,a13,a22,a31,a14,a23,a32,a41,….

Принцип переписування елементів множин A зображений за допомогою
стрілок на рис.1.4.

a11, a21, a31, …, an1,…. A1

a12, a22, a32, …, an2,…. A2

a13, a23, a33, …, an3,…. A3

a14, a24, a34, …, an4,…. A4

……………………………..

Рис. 1.4.

Далі проводимо міркування аналогічні випадку скінченної сукупності
множин. Теорему доведено.

З теореми 1.4 випливає низка цікавих наслідків.

Наслідок 1.4.1. Множина Z всіх цілих чисел зліченна.

Справді, подамо множину Z у вигляді Z = N ( {0} ( N'(, де N'( = {
-1,-2,-3,… } — множина від’ємних цілих чисел, яка, очевидно, є
зліченною.

Числова множина W називається щільною, якщо для будь-якої пари чисел
a,b(W (a |A|.

Доведення. Оскільки існує тривіальна взаємно однозначна відповідність f
між множиною A і підмножиною множини ((A): f = { (a,{a}) | a(A,
{a}(((A)}, то достатньо довести, що множини A і ( (A) нерівнопотужні.

Доведення проведемо від супротивного. Припустимо, що існує взаємно
однозначна відповідність g між множинами A і ((A): g = { (b,B) | b(A і
B(((A)}. У кожній парі відповідності перша координата b — це елемент
множини A, а друга координата B — деяка підмножина множини A. Тому для
кожної пари (b,B)(g виконується одне з двох співвідношень: або b(B, або
b(B. Побудуємо нову множину K = { b | b(A і b(B для (b,B)(g }.

З того, що ((( (A) випливає, що K ((.

Оскільки K є підмножиною множини A (K(((A)), то при взаємно однозначній
відповідності g підмножина K відповідає деякому елементові k(A, тобто
існує пара (k,K)(g. Тоді відносно елемента k(A і підмножини K(A можливі
дві ситуації: або k(K, або k(K.

Нехай k(K, тоді з умови (k,K)(g і правила побудови множини K випливає,
що k(K.

З іншого боку, якщо припустити, що k(K, то з (k,K)(g і правила побудови
множини K повинно виконуватись k(K.

Одержана суперечність доводить неможливість встановлення взаємно
однозначної відповідності між A і ((A). Таким чином, |A| < | ( (A)|. Наслідок 1.9.1. Не існує множини, яка має найбільшу потужність, тобто не існує найбільшого кардинального числа. Справді, розглянувши множини N, ((N), ((((N)),..., одержимо нескінченно зростаючу послідовність відповідних кардинальних чисел (0 ,(1 =2(0,(2 =2(1, ... На закінчення зупинимось ще на одній цікавій класичній проблемі теорії множин, сформульованій ще у 1884 році Г.Кантором: гіпотеза континуума, яка стверджує, що не існує множини, кардинальне число ( якої розташоване між (0 і (1, тобто (0 < ( < (1. Ця гіпотеза припускає узагальнення, яке носить назву узагальненої гіпотези континуума: для довільного кардинального числа ( деякої нескінченної множини з нерівності ( ' > ( для будь-якого кардинального числа ( ‘ випливає ( ‘ >
2(.

Проблему гіпотези континуума майже вісім десятків років намагалися
розв’язати найкращі математики світу. I лише у 1963 році тридцятирічний
американський математик Пол Коен довів, що гіпотезу континуума не можна
ні довести, ні спростувати, виходячи з аксіом теорії множин. Отже,
прийняття або відхилення гіпотези континуума є однаково законними, що
веде до можливості побудови двох різних несуперечливих теорій множин.

11. Відношення. Властивості відношень

Підмножина R декартового степеня Mn деякої множини M називається
n-місним або n-арним відношенням на множині M. Кажуть, що елементи
a1,a2,…,an(M знаходяться у відношенні R, якщо (a1,a2,…,an)(R.

При n=1 відношення R(M називають одномісним або унарним. Таке відношення
часто називають також ознакою або характеристичною властивістю елементів
множини M. Кажуть, що елемент a( M має ознаку R, якщо a(R і R(M.
Наприклад, ознаки «непарність» і «кратність 7» виділяють із множини N
натуральних чисел унарні відношення R( = {2k-1 | k(N } і
R(( = {7k | k(N }, відповідно.

Найбільш популярними в математиці є двомісні або бінарні відношення, на
вивченні властивостей яких ми зупинимось детальніше. Далі скрізь під
словом «відношення» розумітимемо бінарне відношення. Якщо елементи a,b(M
знаходяться у відношенні R (тобто (a,b)(R), то це часто записують у
вигляді aRb. Зауважимо, що бінарні відношення іноді розглядають, як
окремий випадок відповідностей, а саме — як відповідності між однаковими
множинами.

Приклад 1.13. Наведемо приклади бінарних відношень на різних множинах.

1. Відношення на множині N натуральних чисел:

R1 — відношення «менше або дорівнює», тоді 4R19, 5R15, 1R1m для
будь-якого m( N ;

R2 — відношення «ділиться на», тоді 4R23, 49R27, mR21 для будь-якого m(N
;

R3 — відношення «є взаємно простими», тоді 15R38, 366R3121, 1001R3612;

R4 — відношення «складаються з однакових цифр», тоді 127R4721, 230R 4
302, 3231R 43213311.

2. Відношення на множині точок координатної площини R2:

), (0,0)R 5 (0,0) ;

R6 — відношення «симетричні відносно осі ординат», тоді (1,7)R6(-1,7) і
взагалі (a,b)R6(-a,b) для будь-яких a,b(R ;

R7 — відношення «менше або дорівнює». Вважаємо, що (a,b)R7(c,d), якщо a
( c і b ( d. Зокрема, (1,7)R7(20,14), (-12,4)R7(0,17).

3. Відношення на множині студентів даного вузу:

R8 — відношення «є однокурсником»,

R9 — відношення «є молодшим за віком від».

Для задання відношень можна користуватись тими ж способами, що і при
заданні множин. Наприклад, якщо множина M скінченна, то довільне
відношення R на M можна задати списком пар елементів, які знаходяться у
відношенні R.

Зручним способом задання бінарного відношення R на скінченній множині M
= {a1,a2,…,an} є задання за допомогою так званої матриці бінарного
відношення. Це квадратна матриця C порядку n, в якій елемент cij, що
стоїть на перетині i-го рядка і j-го стовпчика, визначається так

( 1, якщо aiRaj,

cij = (

( 0, в противному разі.

Приклад 1.14. Для скінченної множини M = {2,7,36,63,180} матриці
наведених вище відношень R1, R2, R3 мають такий вигляд

Рис.1.5.

Оскільки відношення на M є підмножинами множини M 2, то для них означeні
всі відомі теоретико-множинні операції. Наприклад, перетином відношень
«більше або дорівнює» і «менше або дорівнює» є відношення «дорівнює»,
об’єднанням відношень «менше» і «більше» є відношення «не дорівнює»,
доповненням відношення «ділиться на» є відношення «не ділиться на» тощо.

Аналогічно відповідностям для відношень можна означити поняття
оберненого відношення і композиції відношень.

Відношення R-1 називається оберненим до відношення R, якщо bR-1a тоді і
тільки тоді, коли aRb. Очевидно, що (R-1)-1=R. Наприклад, для відношення
«більше або дорівнює» оберненим є відношення «менше або дорівнює», для
відношення «ділиться на» — відношення «є дільником».

Композицією відношень R1 і R2 на множині M (позначається R1(R2 )
називається відношення R на M таке, що aRb тоді і тільки тоді, коли
існує елемент c(M, для якого виконується aR1c і cR2b. Наприклад,
композицією відношень R1 — «є сином» і R2 — «є братом» на множині
чоловіків є відношення R1(R2 — «є небожем».

Наведемо список важливих властивостей, за якими класифікують
відношення.

Нехай R — деяке відношення на множині M.

а). Відношення R називається рефлексивним, якщо для всіх a(M має місце
aRa.

Очевидно, що відношення R1,R2,R4,R5,R7 — рефлексивні.

б). Відношення R називається антирефлексивним (іррефлексивним), якщо для
жодного a(M не виконується aRa.

Відношення «більше», «менше», «є сином» антирефлексивні. В той же час,
відношення R6 не є ні рефлексивним, ні антирефлексивним.

Всі елементи головної діагоналі матриці C для рефлексивного відношення
на скінченній множині M дорівнюють 1, а для антирефлексивного відношення
дорівнюють 0.

в). Відношення R називається симетричним, якщо для всіх a,b(M таких, що
aRb маємо bRa.

г). Відношення R називається антисиметричним, якщо для всіх a,b(M таких,
що aRb і bRa маємо a = b.

Наприклад, відношення R3,R4,R5,R6,R8 — симетричні, а відношення R1,R2,R7
— антисиметричні.

Неважко переконатись, що відношення R симетричне тоді і тільки тоді,
коли R=R-1.

д). Відношення R називається транзитивним, якщо зі співвідношень aRb і
bRc випливає aRc.

Наприклад, відношення R1,R2,R4,R5,R7,R8,R9 — транзитивні, а відношення
R3,R6 — не транзитивні.

Неважко переконатись, що відношення R транзитивне тоді і тільки тоді,
коли R(R(R.

Зауважимо, якщо відношення R має будь-яку з перерахованих вище
властивостей, то обернене відношення R-1 також має ту саму властивість.
Таким чином, операція обернення зберігає всі п’ять властивостей
відношень.

Для довільного відношення R означимо нову операцію. Відношення R*
називається транзитивним замиканням відношення R на M, якщо aR*b, a,b(M,
тоді і тільки тоді, коли у множині M існує послідовність елементів
a1,a2,…,an така, що a1 = a, an = b і a1Ra2, a2Ra3,…,an-1Ran.

Наприклад, нехай M — це множина точок на площині і aRb, a,b(M, якщо
точки a і b з’єднані відрізком. Тоді cR*d, c,d(M, якщо існує ламана
лінія, яка з’єднує точки c і d.

Можна довести, що відношення R транзитивне тоді і тільки тоді, коли
R*=R.

Деякі відношення займають особливе місце в математиці. Розглянемо ці
відношення окремо.

12. Відношення еквівалентності

Відношення R на множині M називається відношенням еквівалентності (або
просто еквівалентністю), якщо воно рефлексивне, симетричне і
транзитивне.

Враховуючи важливість відношення еквівалентності, дамо розгорнуте
означення цього поняття. Таким чином, відношення R на множині M є
відношенням еквівалентності або евівалентністю, якщо

1. aRa для всіх a(M (рефлексивність);

2. Якщо aRb, то bRa для a,b(M (симетричність);

3. Якщо aRb і bRc, то aRc для a,b,c(M (транзитивність).

Приклад 1.15. 1. Відношення рівності iM на будь-якій множині M є
відношенням еквівалентності. Рівність — це мінімальне відношення
еквівалентності, бо при видаленні бодай одного елемента з iM відношення
перестає бути рефлексивним, а отже, і відношенням еквівалентності.

2. Відношення рівнопотужності множин є еквівалентністю.

3. Важливу роль відіграє в математиці відношення «мають однакову остачу
при діленні на k» або «конгруентні за модулем k», яке є відношенням
еквівалентності на множині N натуральних чисел для будь-якого
фіксованого k(N. Відношення конгруентності за модулем k часто позначають
a ( b (mod k). Цьому відношенню належать, наприклад, пари натуральних
чисел (17,22), (1221,6), (42,57) для k=5, тобто 17 ( 22(mod 5), 1221 ( 6
(mod 5), 42 ( 57 (mod 5).

4. Еквівалентністю є відношення подібності на множині всіх трикутників.

Bi=A і Bi(Bj = ( для i(j. Множини Bi, i(I є підмножинами множини A і
називаються класами, суміжними класами, блоками або елементами розбиття.
Очевидно, що кожний елемент a(A належить одній і тільки одній множині
Bi, i(I.

Припустимо, що на множині M задано відношення еквівалентності R.
Виконаємо таку побудову. Виберемо деякий елемент a(M і утворимо
підмножину SaR = { x | x(M і aRx}, яка складається з усіх елементів
множини M еквівалентних елементу a. Відтак, візьмемо другий елемент b(M
такий, що b(SaR і утворимо множину SbR = { x | x(M і bRx } з елементів
еквівалентних b і т.д. Таким чином одержимо сукупність множин (можливо,
нескінченну) {SaR,SbR,…}. Побудована сукупність множин { SiR | i(I}
називається фактор-множиною множини M за еквівалентністю R і
позначається M/R.

Приклад 1.16. 1. Фактор-множина за відношенням рівності E для будь-якої
множини M має вигляд M/E = { {a} | a(M}.

2. Фактор-множина для відношення «конгруентні за модулем 3» на множині N
натуральних чисел складається з трьох класів { 3k | k(N }, { 3k-1 | k(N
} і { 3k-2 | k(N}.

SiR = M. Відтак припустимо, що для деяких SaR(SbR існує елемент
c(SaR(SbR. Тоді з c(SaR випливає aRc, а з c(SbR випливає bRc. Iз
симетричності і транзитивності відношення R виводимо aRb і bRa. Iз
співвідношення aRb і правила побудови множини SaR маємо SaR(SbR, а з bRa
і правила побудови множини SbR одержуємо протилежне включення SbR(SaR.
Отже, SaR=SbR, і з одержаної суперечності випливає справедливість
сформульованого твердження.

Очевидно, що будь-які два елементи з одного класу SiR еквівалентні між
собою, в той час як будь-які два елементи з різних класів фактор-множини
M/R нееквівалентні. Класи SiR називають класами еквівалентності за
відношенням R. Клас еквівалентності, який містить елемент a(M часто
позначають через [a]R.

Потужність фактор-множини |M/R| називається індексом розбиття або
індексом відношення еквівалентності R.

З іншого боку, припустімо, що для множини M задано деяке розбиття {Si |
i(I }. Побудуємо відношення T на множині M за таким правилом: aTb для
a,b(M тоді і тільки тоді, коли a і b належать тій самій множині Si
розбиття. Неважко переконатись, що відношення T є рефлексивним,
симетричним і транзитивним, тобто є відношенням еквівалентності на
множині M.

Отже, справедлива така теорема.

Теорема 1.10. Iснує взаємно однозначна відповідність між усіма можливими
еквівалентностями на множині M і всіма розбиттями множини M. Тобто,
кожному відношенню еквівалентності на множині M відповідає єдине
розбиття даної множини на класи і, навпаки, кожне розбиття множини M
однозначно задає деяке відношення еквівалентності на M.

Нехай R відношення еквівалентності на множині M. Відображення множини M
на фактор-множину M/R, яке кожному елементу a(M ставить у відповідність
клас еквівалентності SaR, якому належить елемент a, називається
канонічним або природним відображенням множини M на фактор-множину M/R.

13. Відношення порядку

Відношення R на множині M називається відношенням часткового
(нестрогого) порядку, якщо воно рефлексивне, антисиметричне і
транзитивне, тобто

1. aRa для всіх a(M (рефлексивність),

2. Якщо aRb і bRa, то a = b (антисиметричність),

3. Якщо aRb і bRc, то aRc (транзитивність).

Множина M, на якій задано деякий частковий порядок, називається частково
впорядкованою множиною. Елементи a,b(M назвемо порівнюваними за
відношенням R, якщо виконується aRb або bRa.

Частково впорядкована множина M, в якій будь-які два елементи є
порівнюваними між собою, називається лінійно впорядкованою множиною або
ланцюгом. Відповідне відношення R, задане на лінійно впорядкованій
множині, називається лінійним (досконалим) порядком. Таким чином,
відношення R на множині M називається відношенням лінійного порядку,
якщо воно рефлексивне, антисиметричне, транзитивне і для будь-якої пари
елементів a,b(M виконується aRb або bRa.

Для позначення відношень порядку будемо використовувати знаки ( і (, які
повторюють звичайні математичні знаки ( і (. Тобто для відношення
порядку R замість aRb будемо записувати a ( b або b ( a і читати «a
менше або дорівнює b» або «b більше або дорівнює a» відповідно.
Очевидно, що ( є оберненим відношенням до відношення (.

За кожним відношенням часткового порядку ( на довільній множині M можна
побудувати інше відношення < на M, поклавши a < b тоді і лише тоді, коли a(b і a(b. Це відношення називається відношенням строгого порядку на множині M. Зрозуміло, що відношення строгого порядку антирефлексивне, транзитивне, а також задовольняє умові так званої сильної антисиметричності або асиметричності, тобто для жодної пари a,b(M не може одночасно виконуватись a ) є відношеннями відповідно
часткового і строгого порядку на множинах чисел N, Z і R. Більше того,
множини N, Z і R, а також будь-які їхні підмножини, є лінійно
впорядкованими множинами за відношеннями ( або (.

2. Частковим порядком є відношення рівності iM на будь-якій множині M.
Цей порядок іноді називають тривіальним.

3. Відношення нестрогого включення є відношенням часткового порядку, а
відношення — відношенням строгого порядку на множині ((A) всіх підмножин
(булеані) заданої множини A.

4. Задамо відношення ( і < на множині R кортежів дійсних чисел довжини n наступним чином: (a1,a2,...,an)((b1,b2,...,bn ), якщо a1(b1, a2(b2,..., an(bn; аналогічно (a1,a2,...,an)<(b1,b2,...,bn), якщо (a1,a2,...,an)((b1,b2,...,bn) і принаймні для однієї координати i=1,,...,n виконується ai

Похожие записи