Методи інтегрування

Перш за все відмітимо, що в усіх табличних інтегралах підінтегральна
функція є певною функцією, аргумент якої співпадає із змінною
інтегрування.

Розглянемо, наприклад, інтеграл ?sin(x2+l)dx. В цьому випадку аргументом
основної елементарної функції сінус буде u=х2+1, а змінна інтегрування —
х, тому при знаходженні цього інтеграла не можна використати табличну
формулу

?sin udu=- cos +С

Заданий невизначений інтеграл ?f(x)dx можна знайти, якщо якимось чином
вдається звести його до одного із табличних інтегралів.

Найбільш часто для знаходження заданого невизначеного інтеграла
використовують методи: безпосереднього інтегрування, заміни змінної
(підстановки), інтегрування частинами, а також знаходження заданого
інтеграла за допомогою довідника.

Ознайомимось з основними методами інтегрування.

Метод безпосереднього інтегрування

сталі і застосовується у тих випадках, коли підінтегрільна функція f
має вигляд однієї із підінтегральних функцій табличних інтегралів, але
її аргумент відрізняється від змінної інтегрування постійном доданком
або постійним множником або постійним множником та постійним доданком.

Приклад. Знайти інтеграли

Розв’язування.

У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргумента
степеневої функції u8 = (ч + 3)8 на постійний доданок 3;

У цьому випадку аргумент функції косінус відрізняється від змінної
інтегрування х на множник 1/2

У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргументи
степеневої функції u2/5 = (3x – 7)2/5 постійним множником 3 та постійним
доданком (– 7).

Метод підстановки (заміни змінної)

Цей метод містить два прийоми.

a) Якщо для знаходження заданого інтеграла ?f(x)dx зробити підстановку x
= ?(t), тоді має місце рівність

Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової
змінної інтегрування х. Для застосування цього прийому треба; щоб
функція х — ? (t) мала обернену t = ?(х).

Приклад. Знайти інтеграл

Розв’язування. Зробимо підстановку х = 5sint, тоді

Отже, одержимо

Із рівності х = 5sin t одержимо t = arcsin (х/5);

b) Якщо зробити заміну змінної, тобто t = ? (х) тоді має місце

Після знаходження останнього інтеграли треба повернутись до змінної х,
використовуючи рівність t = ? (х).

Метод інтегрування частинами

Цей метод застосовується тоді, коли під інтегралом є добуток функцій,
причому хоча би одна з них є трансцендентною (не степеневою).

Нехай u та v деякі функції х, тобто u = u(x), v = v(x).

Розглянемо диференціал добутку цих функцій.

d(uv) = udv + vdu

Інтегруючи обидві частини рівності, одержимо

Звідси, враховуючи властивість невизначеного інтеграла, маємо

Отже, одержали формулу

яку називають формулою інтегрування частинами.

v = x

За формулою інтегрування частинами (4) одержимо

Література:

Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів –
Київ: ЦУЛ, 2002 – 400 с. Серія: Математичні науки.

Похожие записи