Реферат

З дисципліни “Вища математика”

Розділ 4 “Диференціальні рівняння”

на тему:

“Лінійні різницеві рівняння

зі сталими коефіцієнтами.

Задача Коші”

План

1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння

зі сталими коефіцієнтами

1.1. Розв’язування систем однорідних рівнянь

з сталими коефіцієнтами методом Ейлера.

1.2. Розв’язок систем однорідних рівнянь

зі сталими коефіцієнтами матричним методом

1.3. Властивості розв’язків лінійних неоднорідних систем

2. Задача Коші

Використана література

1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння

зі сталими коефіцієнтами

Система диференціальних рівнянь вигляду

— сталі величини, називається лінійною однорідною системою з сталими
коефіцієнтами. У матричному вигляді вона записується

.

1.1. Розв’язування систем однорідних рівнянь

з сталими коефіцієнтами методом Ейлера.

Розглянемо один з методів побудови розв’язку систем з сталими
коефіцієнтами.

Розв’язок системи шукаємо у вигляді вектора

.

Підставивши в систему диференціальних рівнянь, одержимо

, і перенісши всі члени вправо, запишемо

Отримана однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь має розв’язок
тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто

.

Це рівняння, може бути записаним у векторно-матричній формі

і воно називається характеристичним (чи віковим) рівнянням. Розкриємо
його

.

-коренів. Розглянемо різні випадки.

) дійсні і різні. Підставляючи їх по черзі в систему алгебраїчних
рівнянь

одержуємо відповідні ненульові розв’язки системи

.

— розв’язків

— лінійно незалежні, і загальний розв’язок системи має вигляд

.

Або у векторно — матричної формі запису

,

— довільні сталі.

. Комплексному власному числу відповідає комплексний власний вектор

і, відповідно, розв’язок

, перетворимо розв’язок до вигляду:

.

відповідають лінійно незалежні розв’язки

.

, то розв’язок системи рівнянь має вигляд

.

і розв’язуючи систему, одержимо

.

1.2. Розв’язок систем однорідних рівнянь

зі сталими коефіцієнтами матричним методом

Досить універсальним методом розв’язку лінійних однорідних систем з
сталими коефіцієнтами є матричний метод. Він полягає в наступному.
Розглядається лінійна система з сталими коефіцієнтами, що записана у
векторно-матричному вигляді

.

— нова невідома векторна функція. Тоді рівняння прийме вигляд

.

. І система диференціальних рівнянь прийме вигляд

.

.

коренів. Розглянемо різні випадки.

має вигляд

.

— незалежних рівнянь

.

Розв’язуючи кожне окремо, отримаємо

.

Або в матричному вигляді

.

треба розв’язати матричне рівняння

,

записати у вигляді

,

, матричне рівняння перетвориться до

.

— власних векторів, що відповідають різним власним числам.

— комплексний корінь. Тоді відповідна клітка Жордана має вигляд

,

а перетворена система диференціальних рівнянь

Неважко перевірити, що розв’язок отриманої системи диференціальних
рівнянь має вигляд

Або в матричному вигляді

лінійно незалежних векторів. Тоді клітка Жордана, що відповідає цьому
власному числу, має вид

, розпадається не дві підсистеми

.

.

Розв’язок першої знаходиться з використанням зазначеного в першому
пункті підходу. Розглянемо другу підсистему. Запишемо її в координатному
вигляді

Розв’язок останнього рівняння цієї підсистеми має вигляд

.

Підставимо його в передостаннє рівняння. Одержуємо

.

Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння має вигляд суми
загального розв’язку однорідного і частинного розв’язку неоднорідних
рівнянь, тобто

.

.

Частинний розв’язок неоднорідного шукаємо методом невизначених
коефіцієнтів у вигляді

,

— невідома стала. Підставивши в неоднорідне рівняння, одержимо

.

і загальний розв’язок неоднорідного рівняння має вигляд

.

Піднявшись ще на один крок нагору одержимо

.

Продовжуючи процес далі, маємо

.

Або у векторно — матричному вигляді

.

Додавши першу підсистему, одержимо

,

знаходиться як розв’язок матричного рівняння

.

2. Лінійні неоднорідні рівняння

Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді

чи у векторно-матричному вигляді

називається системою лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь.

1.3. Властивості розв’язків лінійних неоднорідних систем

є

— є розв’язком лінійної неоднорідної системи.

Дійсно, за умовою

.

Але тоді і

є розв’язком неоднорідної системи.

є розв’язками лінійних неоднорідних систем

,

— довільні сталі буде розв’язком лінійної неоднорідної системи

.

— тотожностей

.

Склавши лінійну комбінацію з лівих і правих частин, одержимо

,

буде розв’язком системи

.

, то окремо дійсна і уявна частини є розв’язками системи.

Дійсно, за умовою

.

Розкривши дужки і перетворивши, одержимо

.

Але комплексні вирази рівні між собою тоді і тільки тоді, коли рівні
дійсні та уявні частини, що і було потрібно довести.

Теорема (про загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи).
Загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи складається із суми
загального розв’язку однорідної системи і якого-небудь частинного
розв’язку неоднорідної системи.

буде розв’язком неоднорідної системи.

можна розв’язати довільну задачу Коші

.

і система алгебраїчних рівнянь

є розв’язком поставленої задачі Коші.

2. Задача Коші

— одинична матриця. Загальний розв’язок однорідної системи має вигляд

.

невідомою вектором-функцією і повторюючи викладення методу варіації
довільної постійний, одержимо

.

Звідси

.

Проінтегруємо отриманий вираз

.

— вектор із сталих, що отриманий при інтегруванні системи. Підставивши
у вихідний вираз, одержимо:

. Звідси

, одержимо

формулу Коші, загального розв’язку неоднорідного рівняння. Частинний
розв’язок неоднорідного рівняння, що задовольняє нульовій початковій
умові, має вид

.

, то

.

І формула Коші має вигляд

.

Використана література:

Хусаінов П. Диференційні рівняння. – К., 1999.

Дубовик В.П. Вища математика. Посібник. – К., 2001.

Похожие записи