Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку

(85)

де р, q—дійсні числа.

Ейлер запропонував шукати частинні розв’язки цього рівняння у вигляді

(86)

де k — стала (дійсна чи комплексна), яку треба знайти. Підставивши
функцію (86) в рівняння (85), дістанемо

? 0, то

(87)

Отже, якщо k буде коренем рівняння (87), то функція (86) буде розв’язком
рівняння (85). Квадратне рівняння (87) називається характеристичним
рівнянням диференціального рівняння (85).

Позначимо корені характеристичного рівняння через k1 і k2. Можливі три
випадки:

);

);

);

Розглянемо кожен випадок окремо.

. У цьому випадку частинними розв’язками рівняння (85) є функції

Згідно з теоремою 4 (п. 3.2) загальний розв’язок рівняння (85) знаходять
за формулою

(88)

ІІ. Корені характеристичного рівняння комплексно-спряжені:

у формулу (86), знайдемо розв’язки

За формулою Ейлера

маємо

(х). Дійсно, підставивши функцію z(х) в рівняння (85), дістанемо:

,

або

— розв’язки рівняння (85). Згідно з цим зауваженням частинними
розв’язками рівняння (85) є функції

Ці розв’язки лінійно незалежні, оскільки

,

тому загальний розв’язок рівняння (85) запишеться у вигляді

(89)

= k. За формулою (86) дістанемо один з розв’язків:

та підставивши їх у рівняння (85), дістанемо

,

або

.

= С1х + С2, де С1, С2 — довільні сталі. Поклавши C1 = 1, С2 = 0 (нас
цікавить який-небудь розв’язок u(х) ? 0), знайдемо другий частинний
розв’язок рівняння (85):

.

— лінійно незалежні, тому загальний розв’язок рівняння (85) має вигляд

(90)

Приклади

1. Знайти загальний розв’язок рівняння

.

=3. За формулою (88) шуканий розв’язок має вигляд:

2. Розв’язати рівняння

. Загальний розв’язок дістанемо за формулою (89):

.

Неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими
коефіцієнтами. Рівняння із спеціальною правою частиною

Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння

(91)

де р, q — задані дійсні числа, f(х) ? 0 — задана функція, неперервна на
деякому проміжку (а, b).

Згідно з теоремою п. 3.3, загальний розв’язок такого рівняння являє
собою суму частинного розв’язку рівняння (91) і загального розв’язку
відповідного однорідного рівняння. Загальний розв’язок однорідного
рівняння ми вже знаходити вміємо, тому розглянемо детальніше питання про
знаходження частинного розв’язку неоднорідного рівняння.

Насамперед слід зазначити, що частинний розв’язок неоднорідного
диференціального рівняння (91) можна знайти в квадратурах методом
варіації довільних сталих (п. 3.4). Проте для рівнянь із спеціальною
правою частиною частинний розв’язок можна знайти значно простіше, не
вдаючись до операції інтегрування.

Розглянемо деякі з таких рівнянь.

І. Нехай права частина в рівнянні (91) має вигляд

(92)

— дійсне число, Рn(х) — многочлен степеня n. Можливі такі випадки:

не є коренем характеристичного рівняння

(93)

Тоді диференціальне рівняння (91) має частинний розв’язок виду

, (94)

де А0, Al, …, Аn — невизначені коефіцієнти.

дістанемо

(95)

.

цього рівняння;

збігається з одним коренем характеристичного рівняння (93), тобто є
простим коренем цього рівняння, то частинний розв’язок рівняння (91)
треба шукати у вигляді

(96)

є двократним коренем рівняння (93), то частинний розв’язок рівняння
(91) шукають у вигляді

(97)

Об’єднаємо випадки а) — в): якщо права частина рівняння (91) має вигляд
(92), то частинний розв’язок цього рівняння треба шукати у вигляді

не є коренем характеристичного рівняння, то приймаємо г = 0.

II. Нехай права частина в рівнянні (91) має вигляд

, (98)

= 0).

Частинний розв’язок рівняння (91) треба шукати у вигляді

, (99)

і.

Зокрема, якщо права частина рівняння (91) має вигляд

x, (100)

??

??

gd,1?

???— відомі дійсні числа, то частинний розв’язок цього рівняння треба
шукати у вигляді

(101)

і.

. Те саме стосується многочленів QS(x) та LS(x) у формулі (99), причому
невизначені коефіцієнти при одних і тих же степенях х у цих многочленах
повинні бути, взагалі кажучи, різними.

Зауваження 2. Якщо права частина рівняння (91) є сумою декількох різних
за структурою функцій виду (92) або (98), то для відшукання частинного
розв’язку потрібно використати теорему про накладання розв’язків (п.
3.4).

Зауваження 3. Використаний метод підбору окремого частинного розв’язку
рівняння (91) можна застосовувати лише для певних диференціальних
рівнянь, а саме для лінійних рівнянь із сталими коефіцієнтами І з
спеціальною правою частиною виду (92) або (98). В інших випадках
частинний розв’язок треба шукати методом варіації довільних сталих.

Приклади

1. Розв’язати рівняння у» — 2у’ + у = 2х + 3.

, де А і В — невідомі коефіцієнти. Знайшовши похідні у*’ = В, у*» = 0 і
підставивши їх у рівняння, дістанемо

— 2В + А + Вх = 2х + 3.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях, дістаємо систему рівнянь

звідки В = 2, А = 7. Отже, частинний розв’язок даного рівняння має
вигляд у* = 7 + 2х, тому

шуканий загальний розв’язок.

.

, то частинний розв’язок шукаємо у вигляді

у* = Q0(х) е3х, тобто у* = Ае3х,

де А — невідомий коефіцієнт.

Знайшовши похідні (у*)’ = 3Ае3х, (у*)» = 9Аe3х і підставивши їх у
рівняння, дістанемо

,

— його загальний розв’язок.

Лінійні диференціальні рівняння n-го порядку

Застосуємо методи знаходження розв’язків диференціальних рівнянь другого
порядку до рівнянь вищих порядків. Не зупиняючись детально на теорії
(див. [26]), сформулюємо необхідні твердження і розглянемо приклади.

Нехай маємо лінійне диференціальне рівняння n-го порядку

, (102)

де al, a2, …, аn — сталі дійсні числа.

Характеристичним для рівняння (102) називається алгебраїчне рівняння
n-го степеня виду

(103)

— невідоме дійсне чи комплексне число.

, …, kn.

.

комплексно-спряжених коренів кратності р > 1 відповідає 2р частинних
розв’язків виду

;

, …, уn. Можна показати, що знайдені частинні розв’язки є лінійно
незалежними, і загальний розв’язок рівняння (102) знаходиться за
формулою

(104)

Нехай тепер задано неоднорідне рівняння n-го порядку

, (105)

? 0 — неперервна на деякому проміжку функція.

Як і для рівнянь другого порядку, загальним розв’язком рівняння (105) є
функція

,

— загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння (102), а у*(х)
— частинний розв’язок рівняння (105).

рівняння (105) є функцією спеціального виду (98), то частинний
розв’язок цього рівняння треба шукати за формулою (99). Якщо права
частина f(х) не є функцією виду (98), то для знаходження у*(х)
застосовують метод варіації довільних сталих. Стосовно рівняння (105)
суть цього методу така.

Нехай функція (104) є загальним розв’язком відповідного однорідного
рівняння (102). Знаходимо частинний розв’язок рівняння (105) за тією ж
формулою (104), вважаючи, що величини С1, С2, …, Сn — функції від х,
тобто покладемо

, (106)

— невідомі функції.

Складемо систему рівнянь

— довільні сталі, то зразу дістанемо загальний розв’язок.

Приклади

.

= х, у3 = х2, у4 = cos 2ч, у5 = sin 2х. Загальний розв’язок даного
рівняння знаходимо за формулою (104):

, який задовольняє початкові умови у (0) = 2, у'(0) = 2, у»(0) = — 1.

= і. Оскільки число 1 • і = і не є коренем характеристичного рівняння
(г = 0), то окремий розв’язок шукаємо у вигляді (101):

,

де a, b — невідомі коефіцієнти. Знайшовши похідні у*’ , у*» і
підставивши їх у дане рівняння, після спрощень дістанемо

2а cos х + 2b sin х = 4 cos х + 4 sin х,

звідки a = b = 2, тому у* = 2 cos х + 2 sin х — частинний розв’язок
неоднорідного рівняння, а

— загальний розв’язок. Продиференціювавши його двічі, знайдемо

;

Скориставшись початковими умовами у (0) = 2, у'(0) = 2, у»(0) = — 1,
дістанемо систему рівнянь:

звідки С1 = 1, С2 = — 1, С3 = 1. Отже, шуканий розв’язок має вигляд

.

Похожие записи