Пошукова робота на тему:
Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування
теорії диференціальних рівнянь в економіці. Поняття про різницеві
методи. Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса.
План
Лінійна однорідна система диференціальних рівнянь з постійними
коефіцієнтами
Лінійна неоднорідна система диференціальних рівнянь з постійними
коефіцієнтами
Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці
Модель природного випуску продукції
Ріст випуску продукції в умовах конкуренції
Динамічна модель Кейнса
Неокласична модель росту
Поняття про різницеві методи. Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса
12.11. Лінійна однорідна система диференціальних
рівнянь першого порядку із сталими коефіцієнтами
Лінійна система диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами має
такий вигляд:
(12.59)
Така система називається неоднорідною системою. Відповідна їй однорідна
система лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами має
вигляд
(12.60)
Для запису нормальної системи диференціальних рівнянь з постійними
коефіцієнтами зручно користуватися матричними позначеннями.
.
Тоді
,
і система (12.59) в матричних позначеннях набуває форми
(12.61)
Відповідна їй однорідна система має вигляд
(12.62)
-го порядку дано у вигляді
. (12.63)
Введемо такі позначення:
.
Тоді з рівняння (12.103) випливає, що
.
Рівняння (12.103) можна подати у вигляді
,
виду
Приклад . Записати диференціальне рівняння
у вигляді системи.
.
. Рівняння зводиться до системи вигляду
-го порядку з сталими коефіцієнтами. Але це робити не обов’язково. Є
загальний метод розв’язування системи (12.60), який дозволяє наочніше
досліджувати її розв’язки .
Ейлер запропонував шукати розв’язок системи (12.60) у вигляді
(12.64)
отримаємо
(12.65)
Головний визначник системи
.
, система (12.65) має лише єдиний тривіальний (тобто нульовий)
розв’язок.
.
до нуля :
(12.66)
Рівняння (12.66) називається характеристичним рівнянням системи
(12.60), а його корені – коренями характеристичного рівняння.
Можливі такі випадки.
можна вибрати довільним відмінним від нуля , а інші будуть через нього
однозначно виражені).
відповідають розв’язки
– розв’язки
– розв’язки
Тоді загальний розв’язок системи рівнянь (12.60) записується як лінійна
комбінація (за стовпчиками) знайдених розв’язків:
;
За допомогою матричних позначень розв’язок системи подають у вигляді
або
(12.67)
називається фундаментальною матрицею системи (12.60).
Це випливає із рівняння (12.62) та правил множення матриць.
Р о з в ‘ я з о к. Складемо характеристичне рівняння (12.66)
набуває вигляду
Тоді загальний розв’язок системи має вигляд
2. Корені характеристичного рівняння різні, але серед них є комплексні.
відповідають розв’язки
та
); їх можна не виписувати.
Приклад 6. Розв’язати систему рівнянь
Р о з в ‘ я з о к. Складемо характеристичне рівняння
отримаємо систему
Один з її ненульових розв’язків
розв’язок комплексно спряжений відносно знайденого.
)
Виконуємо елементарні перетворення:
(формула Ейлера).
Отже , загальним розв’язком системи буде
.
Тоді:
лінійно незалежних розв’язків; кожному такому розв’язкові відповідає
стрічка розв’язків вихідної системи, аналогічно тому, як це було
зроблено в п.1;
змінних вільні , а інші змінні через них виражаються.
Приклад 7. Розв’язати систему рівнянь
Характеристичне рівняння системи
система (12.65) матиме вигляд
) ранг матриці системи (12.65) дорівнює одиниці:
вільні змінні ).
Склавши лінійну комбінацію одержаних розв’язків ( за стовпчиками) ,
отримаємо шуканий загальний розв’язок системи
Зауваження. Аналогічно розв’язуються системи лінійних диференціальних
рівнянь вищих порядків з постійними коефіцієнтами. Такі рівняння
виникають, наприклад, при дослідженні коливань конструкції літака , в
теорії електричних кіл, квантовій механіці тощо.
12.12. Лінійна неоднорідна система диференціальних
рівнянь із сталими коефіцієнтами
Лінійна неоднорідна система диференціальних рівнянь із
сталими коефіцієнтами в матричній формі має вигляд (12.61)
постійні числа.
неоднорідної системи
(12.68)
– го порядку.
Метод знаходження загального розв’язку однорідної системи розглядався в
п.12.11.
неоднорідної системи (12.61) будемо шукати за методом варіації
довільних сталих
(12.69)
Диференціюючи рівність (12.118), одержимо
Підставляємо даний вираз в рівняння (12.61)
і ми одержимо рівняння
Інтегруючи останню рівність, будемо мати
(12.70)
а за формулою (12.117) і загальний розв’язок неоднорідної системи.
Приклад 8. Розв’язати систему
Р о з в ‘ я з о к. Розглянемо однорідну систему
В матричній формі цей розв’язок виглядає так:
де
матрицю:
Тоді
Тоді за формулою (12.69) маємо
Загальний розв’язок системи можна записати у формі
12.13. Застосування теорії диференціальних рівнянь
в економіці
Такі моделі досить ефективні при дослідженні еволюції економічних
систем на тривалих проміжках часу; вони є предметом дослідження
економічної динаміки.
12.13.1. Модель природного росту випуску продукції
Частина вказаного доходу витрачається на інвестиції у виробництво,
тобто:
(12.71)
Якщо виходити із припущення про не насиченість ринку (або
про повну реалізацію випущеної продукції), то в результаті розширення
виробництва буде отриманий приріст доходу, частина котрого знову буде
використана для розширення випуску продукції. Це приведе до росту
швидкості випуску (акселерації), причому швидкість випуску пропорційна
збільшенню інвестицій, тобто
(12.72)
норма акселерації. Підставивши в (12.71) формулу (12.72). одержимо
(12.73)
Тоді одержимо частинний розв’язок, що задовольняє початкову умову,
(12.74)
12.13.2. Ріст випуску в умовах конкуренції
). Тепер із формул (12.71)-(12.73) одержимо нелінійне диференціальне
рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними
(12.75)
зростаюча. Характер зростання функції визначається за допомогою
похідної другого порядку
Цю рівність можна перетворити, ввівши еластичність попиту
одержимо
(12.76)
вверх, що означає сповільнений ріст (насичення).
лінійну (рис.12.3), тобто
Тоді рівняння (12.75) приймає вигляд
(12.77)
звідки
(12.78)
Приведений на рис.12.4 графік цієї функції (однієї із інтегральних
кривих диференціального рівняння (12.77) ) – це логістична крива .
Рис. 12.3
Рис.12.4
Аналогічні криві характеризують і інші процеси, наприклад
розмноження бактерій в органічному середовищі, динаміку епідемій
всередині обмеженої спільності біологічних організмів тощо.
12.13.3. Динамічна модель Кейнса
. Тоді справедливі такі співвідношення:
(12.79)
норма акселерації. Всі функції, що входять в систему (12.79), додатні.
із третього рівняння в перше, одержимо лінійне диференціальне рівняння
першого порядку
постійні. Тоді рівняння стає лінійним диференціальним рівнянням з
постійними коефіцієнтами
(12.80)
тобто
(12.81)
так що загальний розв’язок рівняння (12.80) має вигляд
(12.82)
Для автономного диференціального рівняння (12.80) стаціонарна точка
(12.81) є точкою нестійкої рівноваги.
12.13.4. Неокласична модель росту
величина фондоозброєності , то продуктивність праці виражається
формулою
(12.83)
Будемо вважати, що виконуються наступні припущення:
1) має місце природний приріст в часі трудових ресурсів
2) інвестиції витрачаються на збільшення виробничих фондів і
на амортизацію, тобто
норма амортизації.
або
Рис.12.5
Рис.12.6
випливає, що
(12.84)
визначається за формулою (12.83).
має вигляд
і тоді рівняння (12.84) має вигляд
(12.85)
Стаціонарний розв’язок цього рівняння випливає із рівності
Відокремлюючи змінні в рівнянні (12.85), одержимо
), одержимо загальний розв’язок рівняння
(12.86)
є точкою стійкої рівноваги.
12.13.5. Поняття про різницеві рівняння.
Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса
Рівняння виду
(12.87)
го порядку.
що задовольняють рівняння (12.87). Різницеві рівняння часто
використовуються в моделях економічної динаміки з дискретним часом, а
також для наближеного розв’язку диференціальних рівнянь.
Означення. Різницеве рівняння виду
(12.88)
го порядку.
є сталими, методи розв’язування такого класу рівнянь багато де в чому
аналогічні
розв’язуванню лінійних диференціальних рівнянь з постійними
коефіцієнтами. Проілюструємо це на прикладі різницевих рівнянь другого
порядку:
(12.89)
Загальний розв’язок рівняння (12.89) визначається за
формулою
деякий частинний розв’язок неоднорідного рівняння (12.89). Для
знаходження загального розв’язку однорідного рівняння складаємо
характеристичне рівняння
дійсні і різні, то загальний розв’язок знаходиться за формулою
то
загальний розв’язок має вигляд
Р о з в ‘ я з о к. Корені характеристичного рівняння
Тому загальний розв’язок однорідного рівняння
Підставляючи цей вираз в наше рівняння, одержимо
Таким чином, загальний розв’язок рівняння має вигляд:
В якості прикладу, що ілюструє застосування різницевих
рівнянь, розглянемо модель ділового циклу Самуельсона-Хікса (динамічний
варіант моделі Кейнса). В цій моделі використовується так званий принцип
акселерації, тобто припущення, що масштаби інвестування прямо
пропорційні приросту національного доходу. Дане припущення
характеризується рівнянням
(12.90)
му періодах. Припускаємо також, що споживання на цьому етапі залежить
від величини національного доходу на попередньому етапі, тобто
(12.91)
Умова рівності попиту і пропозиції має вигляд:
(12.92)
знаходимо
(12.93)
постійні).
Зауваження. Якщо припустити, що
(12.94)
можна легко знайти частинний розв’язок (12.93). В силу (12.94) із
(12.93) одержимо
звідки
(12.95)
в формулі (12.95) називається мультиплікатором Кейнса і є
одновимірним аналогом матриці повних затрат.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
