Реферат на тему:

Лінійні диференціальні рівняння

Означення. ДР виду

то ДР називається неоднорідним.

і т.д.

D називається оператором диференціювання, або диференціювальним
оператором.

ДР можна подати у вигляді

Введемо диференціювальний оператор

Тоді ДР можна записати у вигляді

називають лінійно незалежними, якщо з рівності

називаються лінійно залежними, якщо одна з них є лінійною комбінацією
решти, наприклад:

-го порядку включно, то ці функції будуть лінійно незалежними, якщо
визначник Вронського для них

не дорівнює тотожно нулю.

то вони називаються базисом або фундаментальною системою розв’язків
лінійного ДР.

— фундаментальна система розв’язків лінійного однорідного ДР n-го
порядку, то однорідне ДР має загальний розв’язок

— довільні сталі.

то загальний розв’язок неоднорідного ДР має вигляд

Якщо відомий загальний розв’язок однорідного лінійного ДР, то знайдений
частинний розв’язок неоднорідного лінійного ДР завжди можна звести до
квадратур, тобто до інтегрування скінченної кількості відомих функцій.

Найкраще вивчено властивості лінійних ДР, тому вони частіше за все
використовуються на практиці. Часто нелінійні ДР замінюються близькими
до них лінійними ДР. Загальні властивості розв’язків лінійного ДР
розглянемо на прикладі лінійного ДР другого порядку

(8.38)

. Неоднорідне рівняння завжди може бути розв’язане, якщо знайдено
загальний розв’язок однорідного рівняння. Отже, розглядаємо в подальшому
властивості розв’язків однорідного лінійного ДР.

Загальні властивості розв’язків

однорідного лінійного ДР

І. Нехай відомі два частинні розв’язки ДР

(8.39)

теж є розв’язком ДР.

теж є розв’язком ДР.

теж є розв’язком ДР.

.

.

Означення. Функціональний визначник

(8.40)

називається визначником Вронського.

ІІІ. Якщо два розв’язки (8.39) лінійно залежні, то їхній визначник
Вронського тотожно дорівнює нулеві.

ІV. Для визначника Вронського (8.40) виконується формула
Ліувілля—Остроградського

(8.41)

— лінійно залежні.

. Це означає, що

.

VI. Якщо два розв’язки ДР (8.39) лінійно незалежні, то лінійні однорідні
ДР мають загальний розв’язок

(8.42)

Для розв’язування задачі Коші з початковими умовами

дістаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для С1, С2

(8.43)

. Отже, система рівнянь (8.43) завжди має розв’язок.

VII. Якщо відомий один частинний розв’язок ДР, тоді другий розв’язок
знаходиться квадратурою.

. Із формули (8.41)

Інтегруючи це рівняння, дістаємо інший зв’язок:

. (8.44)

. Із формули (8.44) знаходимо другий частинний розв’язок ДР:

.

VIII. Якщо відомі два лінійно незалежні розв’язки однорідного ДР, то
розв’язування неоднорідного ДР (8.38) може бути зведене до квадратур.

Для знаходження частинного розв’язку неоднорідного ДР використовується
метод варіації довільних сталих. Проілюструємо його на прикладі.

Приклад. Знайдемо частинний розв’язок ДР

, (8.45)

( Однорідне рівняння має загальний розв’язок

Шукаємо розв’язок неоднорідного рівняння у вигляді

. (8.46)

Знайдемо похідну

Для спрощення обчислень візьмемо

(8.47)

Далі знаходимо похідну другого порядку

Згідно з (8.45) дістаємо рівняння

. (8.48)

:

,

де С3, С4 — нові довільні сталі. Остаточно маємо розв’язок неоднорідного
рівняння (8.45):

.

Лінійні однорідні диференціальні

рівняння зі сталими коефіцієнтами

Л. Ейлер розробив загальний метод розв’язування лінійних ДР зі сталими
коефіцієнтами

. (8.49)

Загальний розв’язок ДР має вигляд

. (8.50)

лінійно незалежні, якщо визначник Вронського

:

.

Для відшукання сталої величини р маємо рівняння

. (8.51)

.

.

.

Визначник Вронського для частинних розв’язків

.

Отже, частинні розв’язки лінійно незалежні.

, то ДР має комплексний частинний розв’язок

.

, то із комплексних частинних розв’язків

можна дістати дійсні частинні розв’язки

.

і ДР (8.49) має лінійно незалежні частинні розв’язки:

.

Приклад. Знайдемо загальний розв’язок ДР

.

.

h

?

I

??

?виразом

.

Приклад. Знайдемо період коливань математичного маятника довжиною l
(рис. 8.5).

Рис. 8.5

( Коливання маятника описуються ДР

. (8.52)

. Лініаризуємо ДР і приходимо до ДР зі сталими коефіцієнтами:

(8.53)

— кут відхилення маятника,

.

Розв’язування системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими
коефіцієнтами

ДР (8.49) завжди можна звести до системи рівнянь виду

(8.54)

Загальний розв’язок системи рівнянь (854) має вигляд

— довільні сталі. Система рівнянь

визначає s-й частинний розв’язок системи рівнянь (8.54). Ці розв’язки
будуть лінійно незалежні, якщо

Матриця Ф(х) називається фундаментальною матрицею розв’язків. Загальний
розв’язок можна записати у векторній формі

Систему рівнянь (8.54) часто можна звести до одного ДР n-го порядку, що
можна використати для розв’язання системи ДР.

Приклад. Знайдемо загальний розв’язок системи ДР

Підставляючи y2 у друге ДР, отримаємо рівняння

яке можна записати у вигляді

Тому ДР має розв’язок

Зрештою знаходимо загальний розв’язок системи ДР

, що задовольняє умови

. (8.55)

Розв’язок системи (8.54) знаходиться у вигляді

.

дістаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

. (8.56)

Ця однорідна система має ненульовий розв’язок, якщо визначник системи
дорівнює нулю

. (8.57)

.

є власними векторами матриці А.

Випадок, коли рівняння (8.57) має кратні корені, тут не розглядається
через його складність.

, яка має розв’язок

.

різні, то будь-яка функція від матриці А має вигляд

— сталі матриці, які не залежать від виду функції А. Ці матриці є
проекторами і задовольняють умови:

і подати у вигляді

Приклад. Знайдемо фундаментальну матрицю розв’язків системи лінійних ДР

Будь-яка функція від матриці А має вигляд

і дістанемо рівність

звідки знайдемо проектори

Нарешті знаходимо фундаментальну матрицю рішення

Розв’язування неоднорідного лінійного диференціального рівняння зі
сталими коефіцієнтами і зі спеціальною правою частиною

Найчастіше треба шукати частинний розв’язок лінійного диференціального
рівняння зі спеціальною правою частиною

(8.58)

Запишемо рівняння (8.58) в операторній формі, узявши

,

, то рівняння (8.58) можна записати

, (8.59)

— деякий многочлен степеня k. Відомо, що диференціальний оператор L
(D) задовольняє рівність

(8.60)

, то згідно з рівнянням (8.60) дістанемо DР зі сталими коефіцієнтами
для змінної Z:

. (8.61)

Розкладемо рівняння (8.61) за степенями D

(8.62)

, то частинний розв’язок рівняння (8.62), (8.58) можна знайти у вигляді
многочлена степеня k:

(8.63)

кратності m, то рівняння (8.62) набирає вигляду

(8.64)

і частинний розв’язок рівняння (8.64), (8.58) можна знайти у вигляді

(8.65)

може бути знайдений методом невизначених коефіцієнтів. Здобутий
результат сформулюємо у вигляді теореми.

, то частинний розв’язок рівняння (8.58) можна знайти у вигляді

(8.66)

Приклад. Знайдемо частинний розв’язок ДР

.

Приклад. Знайдемо частинний розв’язок ДР

.

із ДР

Використаємо операторний запис ДР

і знайдемо ДР

Існує багато операторних методів розв’язування лінійних диференціальних
рівнянь. Одним із важливих методів є операційне числення, що ґрунтується
на застосуванні перетворення Лапласа [6]

.

за степенями D.

Приклад. Знайдемо частинний розв’язок ДР

.

( Розв’язок цього рівняння можна записати у вигляді

.

— оператор інтегрування за допомогою попередньої формули. Знаходимо
частинний розв’язок ДР:

.

ЛІТЕРАТУРА

Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.

Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.

Похожие записи