Пошукова робота на тему:

Квадратичні форми, їх приведення до діагонального (канонічного) вигляду.
Приведення рівняння кривої другого порядку на площині до канонічного
вигляду на основі теорії квадратичних форм. Модель Леонтьєва
багатогалузевої економіки.

План

Квадратична форма, її канонічний вигляд.

Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду.

Зведення загального рівняння лінії (поверхні) до канонічного вигляду.

Модель Леонт’єва багатогалузевої економіки.

Лінійна модель торгівлі.

Квадратичні форми і зведення їх до канонічного вигляду

Квадратична форма, її канонічний вигляд

   Квадратична форма  має вигляд

 (4.20)

 — дійсні коефіцієнти.

 має такий вигляд:

 то рівність (4.20) можна записати в матричній формі

(4.20/)

.

має діагональний вигляд, то такий вигляд квадратичної форми називається
канонічним виглядом.

 тоді канонічний вигляд квадратичної форми буду таким:

(4.21)

   Приведемо без доведення дві теореми про канонічний вигляд
квадратичної форми ( доведення цих теорем див., наприклад, в підручнику
Д.В.Беклемишева. Курс аналитической геометри и линейной алгебры ).

   Теорема 1. Для кожної квадратичної форми існує базис, в якому вона
має канонічний вигляд.

в канонічному вигляді квадратичної форми не залежить від вибору базису,
в якому вона приведена до канонічного вигляду.

    

4.4.2. Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду

, де

Матриця, обернена до якої співпадає з транспонованою, називається
ортогональною.

 їх вирази, одержимо

.

.

.

 теж симетрична, що і треба було довести.

 можна  підібрати так (див.п.4.3.4, властивість 60), щоб

 (4.22)

.

, тобто 

(4.23)

 Після такої операції уже будуть виконуватись  умови (4.23). У нових
змінних задана квадратична форма набуває вигляду

.

  до канонічного вигляду і знайти перетворення, з допомогою якого
здійснюється це зведення .

 квадратичної форми така:

 (всі власні значення різні).

.

:

;

,

.

   Перетворення координат:

;

;

.

.

  

4.4.3. Зведення загального рівняння поверхні (лінії) другого порядку до
канонічного вигляду

   Квадратичними формами від трьох змінних описується ряд поверхонь
тривимірного простору. Вивчення їх властивостей, наприклад,
однопорожнинного гіперболоїда, привело до можливості вирішення цікавих,
високої міцності технічних конструкцій при малих затратах матеріалу і
простоти їх реалізації. Прикладами таких споруд є конструкції інженера
В.Г.Шухова (1853-1939) (водонапірний резервуар у м. Конотопі Сумської
області, телевежа Шухова у Москві, щогли, башти, опори тощо).

   У сучасний період, коли інтенсивно використовуються ЕОМ, навіть при
обробці складних поверхонь важливих деталей машин і установок за
допомогою копіювально-фрезерних верстатів, конструктор прагне задавати
контури деталей аналітичними поверхнями. Питання зведення заданої
матриці до діагональної форми і розшукання матриці, за допомогою якої
здійснюється це зведення, є алгебраїчним аналогом того факту сучасної
квантової механіки, згідно з яким матрична механіка Гейзенберга по суті
рівнозначна хвильовій механіці Шредінгера. Різниця тут полягає лише в
тому, що в подібних питаннях доводиться мати справу з простором, що має
нескінченну кількість вимірів. Але для вивчення таких питань обмежитись
лише рамками звичайної алгебри неможливо, потрібний вихід в апарат
аналізу.

Загальне рівняння поверхні другого порядку має вигляд

 (4.24)  

(4.25)

Зведення цих рівнянь до канонічної форми здійснюється за два етапи.

   І. Зведення квадратичної форми

  (4.26)

 (4.27)

   В результаті здійснення першого кроку рівняння (4.24) набуває вигляду

 4.28)

, або двох із них, або лише одного. Рівняння (4.25) спрощується так
само. Різниця лише в тому, що вказані два етапи будуть значно
простішими, бо в (4.25) маємо справу не з трьома, а з двома змінними.

Питання про спрощення квадратичних форм розглядалося в попередньому
параграфі..

Перший етап.  Поворот системи координат.

Знаходимо корені характеристичного рівняння:

.  

  в (4.28).    Ортогональне перетворення  з геометричної точки зору є
повертанням системи координат на такий кут, щоб осі  координат збігалися
з осями симетрії поверхні, якщо вона має три осі симетрії. У випадках
двох осей симетрії — щоб дві з осей координатної системи збіглися з
осями симетрії, у випадку однієї з осей симетрії — з однією з осей
координат.

Другий етап. Паралельне перенесення системи координат.

 відмінним від нуля. Для спрощення рівняння (4.28) здійснимо паралельне
перенесення системи координат за формулами

 (4.29)

   Для цього формули  (4.29) підставимо в (4.28). Після елементарних
перетворень одержимо:

(4.30)

.

 Звідси знаходимо

   У цьому випадку рівняння поверхні набуває вигляду

(4.31)

де

   Поверхня (4.31) буде або еліпсоїдом, або однопорожнинним
гіперболоїдом (дійсним чи уявним), або двопорожнинним гіперболоїдом, або
єдиною точкою, або конусом, або уявним еліпсоїдом. Читачеві пропонується
розібратися в цьому самостійно.

, а також вільний член.

   В результаті одержимо поверхню

, то матимемо ще крім того еліптичний циліндр (дійсний або уявний),
гіперболічний циліндр. І тут читачеві слід вияснити, за яких умов можуть
трапитись вказані випадки.

, дорівнюють нулю. Тоді (4.30) набере вигляду

   (4.32)

. Тоді рівність (4.32) запишеться так:

  (4.33)

 

Вона зведе останню рівність до такої:

.

Звідси

(4.34)

, а його напрямною є парабола.

, то одержимо рівняння

.

 — пару дійсних паралельних площин.

, то (4.33) — пара площин, що збігаються.

   Зведення рівняння кривої другого порядку до канонічного вигляду
здійснюється за тією ж  схемою, що й рівняння (4.24). Різниця лише в
тому, що змінних тут на одну менше, а тому характеристичне рівняння буде
не кубічним, а квадратним; систем рівнянь для знаходження власних
векторів буде лише дві і при тому ще кожна система рівнянь
складатиметься не з трьох рівнянь, а з двох.

   Приклад 2.  Визначити, яку криву визначає рівняння

 і побудувати її.

   Р о з в ’ я з о к.  Характеристичне рівняння має вигляд

:

.

 маємо систему рівнянь

.

 до одиничних:

.

Отже, перетворення координат записується так:

.

   Лінійна частина рівняння набуває вигляду

Задане рівняння стає таким:

 і розв’язавши відповідну систему рівнянь одержимо

набирає найпростішої (канонічної ) форми:

 еліпс.

Отже,  дане рівняння є еліпсом (рис. 4.1).

  Рис. 4.1

  

   Приклад 3.   Визначити, яку поверхню визначає рівняння

.

   Р о з в ’ я з о к.   Характеристичне рівняння має вигляд

.

.

Власні вектори:

Третій власний вектор знайдемо з умови

Одиничні вектори:

Перетворення координат:

Підставивши ці формули в лінійну частину рівняння поверхні другого
порядку, одержимо

У нових координатах рівняння буде таким:

  приведе до рівняння

(однопорожнинний гіперболоїд).

:

4.5. Застосування елементів лінійної алгебри в економіці

   Для розв’язування багатьох економічних задач використовуються
елементи алгебри матриць, теорії систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
Особливо при розробці і використання баз даних: при роботі з ними майже
вся інформація зберігається і обробляється в матричній формі.

4.5.1. Модель Леонт’єва багатогалузевої економіки

   Макроекономіка функціонування багатогалузевого господарства вимагає
балансу між окремими галузями. Кожна галузь, з одного боку, є
виробником, а з іншого – споживачем продукції, що випускається іншими
галузями. Виникає досить непроста задача розрахунку зв’язку між галузями
через випуск і споживання продукції різного виду. Вперше ця проблема
була сформульована у вигляді математичної моделі в працях відомого
американського економіста В.Леонт’єва в 1936 р., який спробував
проаналізувати причини економічної депресії США 1929-1932 рр. Ця модель
основана на алгебрі матриць і використовує апарат матричного аналізу.

 галузей, кожна з яких виробляє свій однорідний продукт. Для
забезпечення виробництва кожна галузь потребує продукцію інших галузей.
Процес виробництва розглядається за деякий період, наприклад, за рік.

   Введемо позначення:

ої галузі (її валовий випуск);

;

ої галузі, що призначена для реалізації (споживання) в невиробничій
сфері, або так званий продукт кінцевого споживання. До нього відносяться
особисте споживання громадян, задоволення суспільних потреб, утримання
державних інститутів і т.д.

ої галузі повинен дорівнювати сумі об’ємів споживання в виробничій і
невиробничій сферах. В найпростішій формі (гіпотеза лінійності)
балансові співвідношення мають вигляд

(4.35)

   Рівняння (4.35) називаються рівняннями балансу.

 є технологічна константа.

називаються коефіцієнтами прямих затрат. Згідно з гіпотезою лінійності

  (4.36)

   Тоді рівняння (4.35) можна записати в матричній формі

(4.37)  

матриця коефіцієнтів прямих затрат:

(4.38)

   Переважно співвідношення (4.37) називають рівнянням лінійного
міжгалузевого балансу. Разом з описанням матричного представлення (4.38)
це рівняння носить назву моделі Леонт’єва.

валового випуску.

 повинні бути невід’ємними.

всі елементи якого невід’ємні. В такому випадку і модель Леонт’єва
називається продуктивною.

продуктивна.

   Очевидно, що розв’язок (4.37) має  вигляд :

 (4.39)

   Матриця   називається матрицею повних затрат.

Приведемо два з них.

 існує і її елементи невід’ємні.

 з невід’ємними елементами продуктивна, якщо сума елементів за
довільним її стовпцем (рядком) не перевищує одиниці:

 (4.40)

причому хоча б для одного стовпця (рядка) ця сума строго менша одиниці.

   Приклад. 1. Дані балансу трьох галузей промисловості за деякий період
записані в табл.1. Потрібно знайти об’єм валового випуску продукції,
якщо кінцеве споживання за галузями збільшити відповідно до 60, 70 і 30.

Таблиця 1

п/п Галузь Споживання Кінце-вий

продукт Вало-вий випуск

1 2 3

1

2

3 Добування і переробка вуглеводів

Енергетика

Машинобуду-вання 5

10

20 35

10

10 20

20

10 40

60

10 100

100

50

   Р о з в ‘я з о к. Випишемо вектори валового випуску і кінцевого
споживання та матрицю коефіцієнтів прямих затрат. Згідно формул (4.36) і
(4.38),

.

 має вигляд

як розв’язок рівняння

 (обчислення проводимо з точністю до третього знаку):

.

   Таким чином, для того щоби забезпечити задане збільшення компонент
вектора кінцевого продукту, необхідно збільшити відповідні валові
випуски: добування і переробку вуглеводів на 52,2%, рівень енергетики –
на 35,8% і випуск машинобудування – на 85% в порівнянні з початковими
величинами, що приведені в табл.1.

4.5.2. Лінійна модель торгівлі

   Процес взаємних закупок товарів аналізується з

 витрачаються на покупку товарів. Розглянемо лінійну модель обміну, або
модель міжнародної торгівлі.

ої країни. Введемо матрицю коефіцієнтів

.    (4.41)

Тоді, якщо весь бюджет витрачається тільки на закупки всередині країни і
зовні неї (це можна трактувати як торговий бюджет), справедлива рівність

 (4.42)

ої країни загальна виручка від внутрішньої і зовнішньої торгівлі
виражається формулою

 (4.43)

або

  (4.44)

одержимо

а це означає, що можливий тільки знак рівності.

Таким чином,  із (4.44) ми одержимо

  (4.45)

   В матричній формі систему рівнянь (4.45) запишеться так:

 (4.46)

 складається із бюджетів країн бездефіцитної міжнародної торгівлі.

   Приклад 2.  Структурна матриця торгівлі чотирьох країн має вигляд

   Знайти бюджети цих країн, що задовольняють збалансованій
бездефіцитній торгівлі при умові, що сума бюджетів задана:

 тобто знайти ненульові розв’язки системи (4.46)

Звідси остаточно отримаємо шукані величини бюджетів країн при
бездефіцитній торгівлі:

Похожие записи