Пошукова робота на тему:

Комплексні числа, їх зображення на площині. Алгебраїчна, тригонометрична
і показникова форми комплексного числа. Дії над комплексними числами.
Формули Ейлера. Многочлени . Розклад многочлена на множники.

1. Комплексні числа

1.1. Алгебраїчна форма комплексного числа

Як відомо, в області дійсних чисел не можна добути корінь парного
степеня з від’ємного числа, бо не існує такого числа, квадрат якого був
би від’ємним. Тому вже квадратне рівняння в області дійсних чисел не має
коренів, якщо його дискримінант від’ємний. Вказані обставини приводять
до необхідності введення нових чисел так, щоб усі дії, властиві для
дійсних чисел, були правильними і для нових чисел, але при цьому, щоб і
дія добування кореня була можливою без будь-яких обмежень.

:

 — ціле додатне число.

 – дійсні числа.

 комплексної площини. Комплексне число можна також зображати як вектор

            Інакше кажучи, між комплексними числами й відповідними
точками (векторами) комплексної площини існує взаємно однозначна
відповідність.

. Звідси, як  

,

. Поняття “більше” (>), “менше” (<) для комплексних чисел не введено.  рівні? . Розглянемо дії над комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі. . Додавання і віднімання комплексних чисел здійснюється за правилами додавання і віднімання векторів (рис.8.2).  здійснюється так само, як і множення двочленів: називаються комплексно Рис.8.2   , тобто Отже, в результаті ділення двох комплексних чисел одержуємо комплексне число.   за формулами:  ціле додатне число. д). Добування кореня порівняно легко можна здійснити лише для квадратного кореня. Для коренів вищих степенів здійснить це важко, якщо обмежуватися комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі. .    – дійсні числа. Звідси Розв’язавши цю систему рівнянь , одержимо     Дії додавання і множення комплексних чисел володіють переставним (комутативним), сполучним (асоціативним) і розподільчим (дистрибутивним) законами. Приклади.   1.2. Тригонометрична форма комплексного числа , а уявного - . . Тому       (8.1) Враховуючи формули (8.1), одержимо:     Отже, .                                    (8.2)  називають алгебраїчним, а у вигляді (8.2) - тригонометричним. Приклади. Записати в тригонометричній формі комплексні числа: Маємо: Розглянемо дії з комплексними числами, заданими в тригонометричній формі. а). Дії додавання і віднімання комплексних чисел, заданих у тригонометричній формі, можуть бути виконані так само, як і в алгебраїчній формі.                    (8.3) Отже, в разі множення комплексних чисел, заданих у тригонометричній формі, їх модулі перемножуються, аргументи додаються. в). Ділення.                      (8.4)              тобто при діленні модуль діленого ділиться на модуль дільника, аргумент дільника віднімається від аргументу діленого. г). Піднесення до  цілого додатного степеня. Користуючись правилом множення комплексних чисел, легко довести методом повної математичної індукції, що ,            (8.5) тобто модуль підноситься до степеня, аргумент множиться на показник степеня. Формулу (8.5) називають формулою Муавра. д). Добування кореня.  і скориставшись формулою Муавра, одержуємо: Отже, ,  (8.6) Приклади.   будь-яке ціле число).  ). 1.3. Показникова форма комплексного числа  відповідає певна точка (рис.8.1). визначаються так ( доцільність такого визначення показникової функції комплексної змінної, а також її властивості будуть показані в ч.2):                           (8.7)  то отримаємо                                                (8.8)             Формула (8.8) називається формулою Ейлера. одержимо                                                (8.9)                (8.10)  та їх добутків через синуси і косинуси кратних дуг.  а тому формула (8.2) набуває вигляду                                                   (8.11)             Формула (8.11) – це запис комплексного числа в показниковій формі.             На основі формул (8.3)-(8.6) можна легко проводити дії над комплексними числами в показниковій формі.  Тоді             Приклади. 2. Розклад многочлена на множники  називається функція                     (8.12) , при якому многочлен перетворюється в нуль.  Отже. Ми можемо записати рівність                             (8.13) а, значить, його можна представити у вигляді добутку многочлен.             Природно виникає питання : чи всяке рівняння має корені?             Не всяке рівняння має корені. Але у випадку алгебраїчного рівняння відповідь на це питання позитивна.  має по крайній мірі один корінь, дійсний або комплексний.             Ця теорема доводиться у вищій алгебрі.  Тоді  і т.д. так що будемо мати рівність                (8.14)  різних коренів.             Якщо в розкладі (8.14) деякі лінійні множники виявляться однаковими, то їх можна об’єднати. І тоді розклад многочлена на множники буде мати вигляд:  і т.д.             Звідси можна сформулювати наступну теорему.  коренів (дійсних або комплексних).             Приведемо без доведення ще одну важливу теорему.             Тоді парі спряжених комплексних чисел буде відповідати квадратний тричлен з дійсними коефіцієнтами             Таким чином, многочлен з дійсними коефіцієнтами можна розкласти на множники з дійсними коефіцієнтами першого та другого степеня відповідної кратності:

Похожие записи