Курсова робота

Комплексні числа і їх найпростіші застосування. Застосування комплексних
чисел в геометрії

План

І. Комплексні числа і їх найпростіші застосування 3

1.1. Минуле і теперішнє комплексних чисел 3

1.2. Спосіб Гамільтона введення комплексних чисел 5

1.3. Ділення комплексних чисел 6

1.4. Комплексні координати точок і векторів 8

1.5. Модуль, аргумент, тригонометрична форма комплексного числа 9

1.6. Геометричний зміст модуля різниці 10

1.7. Формули Ейлера і Муавра та їх застосування 10

1.8. Показникова форма комплексного числа 13

1.9. Комплексний множник як оператор 14

1.10. Комплексні числа в геометричних побудовах. Комплексні

числа і центр мас 17

ІІ. Застосування комплексних чисел в геометрії 20

Прямі на комплексній площині 20

2.2 Коло на комплексній площині

2.3. Геометричні задачі, розв’язувані за допомогою одиничного

кола 22

Геометричні застосування визначників з комплексним

елементами 23

2.5. Корені з комплексних чисел 24

2.6. Уявні числа і плоскі многокутники 26

2.6.1. Побудова правильних многокутників 28

2.6.2. Уявні числа і площа многокутника 32

Література 34

І. Комплексні числа і їх найпростіші застосування

1.1. Минуле і теперішнє комплексних чисел

Уявні числа зобов’язані своїм народженням цілком реальній задачі –
задача розв’язання рівняння третього степеня.

Корені рівняння :

(1.1)

можуть бути обчислені за формулою, яку називають формулою Кардано:

,

будуть числа 0,1,-1.Але якщо б ми розв’язали це рівняння за формулою
Кардано . то отримали б :

, і частково, виділяти із таких виразів кубічні корені.

Математики неохоче йшли на вивчення таких виразів. Вони називали їх
уявними, неіснуючими, неможливими величинами Вважалося що вони не мають
реального змісту. Г. В. Лейбніц назвав їх “гібридом між буттям і
небуттям”.

Одне з важливих питань алгебри, яке хвилювало математиків 17-18 ст.
полягало в наступному: скільки коренів має алгебраїчне рівняння n-го
степеня, тобто рівняння вигляду

(1.2)

, які задовольняють умову виду

(1.3)

-постійні числа.

, яка задовольняє диференціальне рівняння (1.3), необхідно знати корені
алгебраїчного рівняння

(1.4),

— ті ж числа, що і в рівнянні (1.3). При цьому потрібно всі корені
рівняння (1.4)- не тільки дійсні, але й уявні.

можна побудувати циркулем і лінійкою правильний n-кутник?

Широке застосування знайшли комплексні числа в картографії,
електротехніці, гідродинаміці, теоретичній фізиці. Вже в наше століття
комплексні числа і комплексні функції успішно застосовувалися
математиками та механіками Н.Е.Жуковим, С.А.Чаплигіним, М.В.Келдишем та
іншими. Вітчизняні математики Г.В.Колосов і Н.І.Мусхелішвілі вперше
стали застосовувати комплексні функції в теорії пружності. З
застосуванням комплексних змінних в теоретичній фізиці зв’язані досліди
вітчизняних вчених Н.Н.Боголюбова і В.С.Владимирова.

1.2. Спосіб Гамільтона введення комплексних чисел

. По даному визначенню уявна частина будь-якого комплексного числа —
це завжди деяке дійсне число. Щоб пару (1.6) можна було вважати числами,
потрібно попередньо означити правила їх порівняння та арифметичні дії
над ними Введемо для комплексних чисел такі закони.

Закон 1. Два комплексні числа вважаються рівними в тому випадку, якщо
вони мають однакові дійсні і уявні частини:

то

.

.

— чисто уявними; число 0 – єдине комплексне число, яке одночасно
являється і дійсним і чисто уявним.

.

1.3. Ділення комплексних чисел

двох комплексних чисел знаходиться як розв’язок рівняння

(1.7)

, то рівняння (1.7) можна переписати у вигляді :

(1.8)

.

Для знаходження дійсної та уявної частини отримаємо таку систему з двох
рівнянь з двома невідомими:

(1.9)

. Отже, ми отримали, що ділення на будь-яке комплексне число, відмінне
від нуля, завжди є можливим і при цьому однозначним.

Означення: два комплексні числа, у яких дійсні частини рівні, а уявні
являють собою протилежні числа, називаються спряженими.

.

.

.

, тобто добуток двох спряжених комплексних чисел завжди являється
дійсним невід’ємним числом і рівний квадрату їх модуля.

.

Для знаходження числа, спряженого до результату якої-небудь арифметичної
операції над комплексними числами, достатньо спочатку опустити знак
спряження на кожне із чисел даної операції, а потім над отриманими
спряженими числами виконувати вказану операцію.

Зауваження 1: сума двох спряжених чисел – завжди дійсне число, а їх
різниця – чисто уявне число.

.

1.4. Комплексні координати точок і векторів

відповідає визначена точка Z. Враховуючи це, можна сказати, що
комплексне число – це точка на площині.

Точки осі абсцис і тільки вони, мають своїми комплексними координатами
дійсні числа, тому вісь абсцис називають дійсною віссю. Точки осі
ординат і тільки вони мають своїми координатами чисто уявні числа. Тому
вісь ординат називають уявною віссю. А всю площину, яка служить для
наочного тлумачення комплексних чисел, називають комплексною числовою
площиною і позначають буквою C. Комплексною координатою початку
координат O являється число нуль. В зв’язку з цим початок координат
називають нульовою точкою комплексної площини.

. Справедливі такі твердження:

1.При додаванні векторів їх комплексні координати додаються;

2.Комплексна координата напрямленого відрізка рівна різниці між
комплексною координатою його кінця і комплексною координатою його
початку;

3.Комплексна координата середини рівна півсумі комплексних координат
його кінців;

1.5. Модуль, аргумент, тригонометрична форма комплексного числа

.

. Звідси випливає тригонометрична форма комплексного числа.

.

.

1.6. Геометричний зміст модуля різниці

.

.

.

Теорема Ейлера: сума квадратів сторін будь-якого плоского чотирикутника
більша суми квадратів його діагоналей на чотири квадрати відрізка, який
сполучає середини діагоналей.

Звідси випливає, що якщо в плоскому чотирикутнику сума квадратів
діагоналей рівна сумі квадратів всіх його сторін, то чотирикутник –
паралелограм.

1.7. Формули Ейлера і Муавра та їх застосування

. (1.10)

Формулу (1) називають формулою Ейлера. Виконуються такі властивості

, (1.11)

(1.12)

(1.13)

, тобто формула (1.12).

:

.

— натуральне число.

через уявні експоненти:

. (1.14)

Додаючи формули (1.10) і (1.14) отримаємо:

,

.

Формули Ейлера і Муавра дозволяють ефективно розв’язувати різні задачі,
яки пов’язані з тригонометричними функціями. Їх можна використовувати
при обчисленні різних тригонометричних сум, з якими доводиться
зустрічатися в різних прикладних дисциплінах. Загальний принцип
обчислення таких сум полягає в тому, що дану дійсну суму замінюють
деякою комплексною сумою, яку обчислюють за допомогою використання
формул суми членів геометричної прогресії.

, де

,

.

За формулами Ейлера і Муавра маємо:

.

виділити дійсну і уявну частину.

.

:

— початкові фази.

.

.

— його амплітуда.

, то при додаванні коливань точка залишиться в стані спокою.

1.8. Показникова форма комплексного числа

.

— його модуль. Це так звана показникова форма запису комплексного
числа. Для отримання показникової форми запису комплексного числа не
потрібно попередньо записувати його в тригонометричній формі.

Якщо маємо показникову форму запису комплексного числа, то можна вказати
його модуль і аргумент.

Розглянемо, якими будуть модуль і аргумент при множенні і діленні двох
комплексних чисел, відмінних від нуля.

.

Отже, при множенні двох комплексних чисел їх модулі множаться, а
аргументи додаються. Методом індукції можна показати, що це правило є
справедливе для будь-якої кількості множників.

В випадку однакових множників отримуємо наступне правило: при піднесенні
комплексного числа до степеня з натуральним показником його модуль
підноситься до того ж степеня, а аргумент множиться на показник степеня.

.

.

Отже, при діленні комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи
віднімаються.

1.9. Комплексний множник як оператор

.

?

.

шляхом повороту і розтягу.

. Отриманий висновок справджується і втому випадку, якщо початок
вектора не співпадає з початком координат.

радіан.

Твердження: два вектори колінеарні тоді і тільки тоді коли відношення їх
комплексних координат є дійсним числом (до того ж додатнє, якщо вектори
спів напрямлені, і від’ємне , якщо вектори протилежно напрямлені ).

.

не є дійсним.

.

.

Аналогічно отримуємо, що

,

.

.

.

1.10. Комплексні числа в геометричних побудовах. Комплексні числа і
центр мас

Застосування комплексних чисел спрощує розв’язування складних задач на
побудову (з допомогою циркуля і лінійки). Суть цього методу полягає в
тому, що ми зводимо задачу до побудови якої-небудь точки, а комплексну
координату цієї точки виражаємо формулою через величини, які можна
вважати відомими. По отриманій формулі будуємо шукану точку. Цей метод
доцільно застосовувати в задачах, де мова йде про повороти.

. Центром мас цієї системи матеріальних точок називається така точка,
для якої справедлива векторна рівність:

. (1.15)

, а рівність (1.15) рівносильна рівності:

(1.16)

звідки отримуємо формулу для комплексної координати центра мас:

(1.17)

Із формул (1.16)-(1.17) випливають важливі властивості центра мас:

1.Кожна система матеріальних точок з ненульовою сумарною масою має центр
мас і до того ж єдиний.

. Якщо маси не рівні, то центр двох мас ближче до більшої з них.

3.Якщо в системі матеріальних точок

(1.18)

відібрати декілька матеріальних точок

, то від цього положення центра мас всієї системи (1.18) не зміниться.
Іншими словами система матеріальних точок

(1.20)

має той же центр мас, що й система (1.18).

.

системи матеріальних точок

.

. Тоді

, (1.21)

, (1.22)

.

Оскільки

(1.23)

.

Аналогічно:

,

.

.

ІІ. Застосування комплексних чисел в геометрії

2.1. Прямі на комплексній площині

На комплексній площині кожна пряма може бути задана рівнянням:

. (2.1)

. Тоді (2.1) можна записати у вигляді:

.

, і рівняння прямої буде мати вигляд:

, (2.2)

виражається дійсним числом, звідки:

. (2.3)

.

— дійсна константа. Отримаємо:

. (2.4)

.

.

2.2 Коло на комплексній площині

Коло з центром у точці С і радіусом R – це множина усіх тих точок Z, для
яких відстань CZ дорівнює R, тобто

(2.5)

Це і є рівняння кола. Рівність (2.5) можемо переписати так:

тобто рівняння кожного кола має вигляд:

(2.6)

де ? – комплексне число, ? – дійсне. Однак рівняння вигляду (2.6) не при
кожному ? задає коло. Дійсно, ми можемо рівняння (2.6) записати так:

(2.7)

– жодне комплексне число z не задовольняє рівності (2.7), тобто зовсім
не існує точок, що задовольняють умові (2.6).

поворотом на кут ? з наступним розтягом. Тому

(2.8)

де t – дійсне (навіть додатне) число. Для кожної фіксованої точки Z, яка
лежить на дузі Г», маємо аналогічна рівність:

(2.9)

де t, – додатнє число. Якщо ж точка Z розташована на додатковій дузі Г’,
то кут Z1ZZ2 – містить ?-? радіан, причому проходиться в від’ємному
напрямку (мал. 10). Тому

(2.10)

де t2 – додатне число.

З (2.8) і (2.9) – (2.10) бачимо, що при кожнім, виборі точки Z на колі Г
дріб

є дійсним числом, а значить, що він дорівнює спряженому до нього дробу:

(2.11)

Це і є рівняння кола, що проходить через три задані точки Z1, Z2, Z3. У
тому випадку, коли точки Z1, Z2, Z3 лежать на одній прямій, то кола, що
проходить через ці три точки, не існує, але рівняння (2.11) має й у
цьому випадку зміст: воно задає цю пряму.

2.3. Геометричні задачі, розв’язувані за допомогою одиничного кола

.

.

Якщо точка Z лежить на колі радіуса R, що має центром нульову точку, і
якщо радіус-вектор точки Z утворить з дійсною віссю кут t, то комплексна
координата z точки Z задається формулою

.

Ці прості розуміння дозволяють вирішити різноманітні задачі, зв’язані з
колом з центром у нульовій точці.

2.4. Геометричні застосування визначників з комплексним елементами

Рішення деяких геометричних задач значно спрощується, якщо скористатися
визначниками третього порядку. Визначники (їх також називають
детермінантами) були уперше введені Г.В.Лейбніцем у зв’язку з
розв’язанням систем лінійних рівнянь. Нехай потрібно розв’язати систему
двох рівнянь (з дійсними чи комплексними коефіцієнтами):

(2.12)

):

називають визначником другого порядку і записують так:

Розв’язок системи (2.12) можна записати так:

Під визначником, третього порядку

.

Таке визначення зручне для розв’язання системи трьох рівнянь із трьома
невідомими:

(2.13)

Виявляється, що якщо визначник

то розв’язок системи єдиний і він може бути отриманий за формулою:

де

.

При d1=d2=d3=0 система (2.13) здобуває вид:

(2.14)

Таку систему називають однорідною. Вона завжди має розв’язок (трійка
чисел х=0, у=0, z=0), що називається тривіальним, або нульовим. Іноді
тривіальний розв’язок системи (2.14) є єдиним. Однак є однорідні системи
рівнянь, у яких, крім тривіального, існують і інші рішення. Така,
наприклад, система х-у=0, у-z=0, z-х=0 (одне з її нетривіальних рішень:
7, 7, 7).

2.5. Корені з комплексних чисел

. Той факт, що комплексне число ? є коренем n-го степеня з комплексного
числа z, записують так:

ми можемо сказати, що значеннями кореня квадратного з числа –1 є
комплексні числа i і –i. Цей приклад, зокрема, свідчить про те, що
корінь п-го степеня з комплексного числа визначається неоднозначно.
Виникає питання: скільки різних значень має корінь п-го степеня з
комплексного числа z і як усі вони можуть бути обчислені?

. Зіставляючи модулі й аргументи обох частин останньої рівності,
записуємо:

(2.15)

(2.16)

де k — деяке ціле число.

, тобто ? являється одним зі значень кореня п-го степеня з числа z.
Отже, безліч усіх чисел, що є коренями п-го степеня з числа z, задається
формулою:

(2.17)

де k – будь-яке ціле число.

Формулу (2.17) можна записати так (у тригонометричній формі):

(2.18)

де q-ціле число, а р—одно з чисел 0, 1, 2, ,п–1. Тоді:

збігається з одним з раніше отриманих (при k=0, 1, 2,…, n–1) значень
кореня п-го степеня із числа z.

має п різних значень, які можуть бути обчислені по формулі (2.17) або
(2.18) при k=0, 1, …, n– 1.

2.6. Уявні числа і плоскі многокутники

2.6.1 Побудова правильних многокутників.

Побудова правильних трикутників, чотирикутників, п’ятикутників,
шестикутників з допомогою циркуля і лінійки було відомо грецьким
геометрам ще в IV ст. до н.е. Архімед (III ст. до н.е.) намагався знайти
спосіб побудови тими ж інструментами правильного семикутника, однак йому
це не удалося. Такої побудови не зуміли знайти геометри і протягом двох
тисячоріч після Архімеда, хоча ніхто не сумнівався в існуванні способу
розв’язання цієї за дачі. Питання про побудову правильного семикутника
був вирішений у 1796 р. німецьким математиком К. Ф. Гауссом. Більш того
Гаусс одержав теорему, що дозволяє для кожного натурального числа п
сказати, чи можна циркулем і лінійкою побудувати правильний п-кутник чи
така побудова неможлива. Проблему побудови правильних многокутників
Гаусс зумів вирішити завдяки застосуванню комплексних чисел

Будемо вважати, що п – просте число. Зрозуміло, що побудова правильного
п-кутника рівносильна поділу кола на п рівних дуг. Ми можемо взяти
будь-яке коло ?, вважаючи довжину його радіуса рівним одиниці,
розглянути декартову систему координат з початком у центрі О обраного
нами кола. Тоді кожна точка на площині здобуває визначену комплексну
координату. Зокрема, точка Z0 перетину кола з додатною віссю осі абсцис
буде мати координату z0=1. Правильний п-кутник, що має Z0 однією зі
своїх вершин, буде мати іншими своїми вершинами точки Zk, з комплексними
координатами:

(k=1,2,…,п-1)

тобто корені рівняння

(2.19)

Задача поділу кола полягає в тому, щоб побудувати точки з комплексними
координатами zk (k=1, 2, 3, n-1), тобто в тім, щоб побудувати корені
рівняння (2.19). Тому рівняння (2.19) називають рівнянням поділу кола.
Помітимо, що при простому п для побудови усіх вершин правильного
п-кутника, уписаного в коло, досить побудувати одну із цих вершин.

, можна знайти всі корені п-го степеня з одиниці. Геометрично це
означає, що якщо крім вершини Z0 побудована на колі яка-небудь одна
вершина Zk, то, відкладаючи послідовно по колу п–2 рази дугу Z0Zk.
одержимо всі інші вершини правильного п-кутника.

Таким чином (при простому п) питання про можливість побудови за
допомогою циркуля і лінійки правильного п-кутника зводиться до питання
про можливість за допомогою цих інструментів побудувати на комплексній
площині який-небудь корінь рівняння (2.19) поділу кола.

Розглянемо три частинні випадки.

1) Нехай п=5

Тоді рівняння поділу кола має вид:

(2.20)

З’ясуємо, чи можливо побудувати циркулем і лінійкою корінь рівняння
(2.20)

(2.21)

Покладемо

(2.22)

де під z розуміємо число (2.21). Тоді:

(2.23)

Тому що число z задовольняє рівнянню (2.20), те воно задовольняє і
рівнянню

(2.24)

і рівняння (2.24) здобуває вид:

. Відрізок такої довжини легко побудувати циркулем і лінійкою. Після
цього можна побудувати і точку z, що задається формулою (2.21). Тим
самим не тільки встановлена можливість побудови правильного
п’ятикутника, але і знайдений визначений спосіб для фактичного виконання
цієї побудови.

2) Нехай п=7.

Рівняння поділу кола на 7 рівних частин має вигляд:

і ми приводимо рівняння до виду:

(2.25)

Це рівняння не має раціональних коренів. Жоден з коренів рівняння (2.25)
не може бути побудований циркулем і лінійкою. Отже, не існує способу, що
дозволяє побудувати правильний семикутник за допомогою циркуля і
лінійки.

3) Нехай п=17.

До побудови цієї величини можна підійти поступово, виходячи зі
співвідношення:

(2.26)

Позначимо:

,

.

а, отже:

Тому що

то

Точно так само можна показати, що

, так що величини ?1 і ?2 є коренями рівняння:

тобто

Тому що

і відповідно

.

, а число m – ціле ненегативне.

.

2.6.2. Уявні числа і площа многокутника.

Відомі формули, що дозволяють по трьох незалежних основних елементах
трикутника (наприклад, по трьох його сторонах; чи по двох сторонах і
куту між ними; чи по стороні і двом кутам) обчислити його площу. А як
обчислити площу п-кутника при п>3 (наприклад, чи п’ятикутника
семикутника), якщо відомі його сторони і кути? Відповідь на подібні
питання підказують комплексні числа. Заради конкретності обмежимося
випадком опуклого п’ятикутника (міркування у випадку довільного
п-кутника аналогічні)

Надалі ми скористаємося декількома зауваженнями, що легко перевіряються.

I. Уявна частина суми декількох комплексних чисел дорівнює сумі уявних
частин доданків.

II. Нехай р и q — два яких-небудь комплексних числа, Ф и ? – їхні
аргументи. Тоді

(2.27)

Дійсно, легко підрахувати, що

;

звідси випливає рівність (2.27).

. Тоді площа трикутника OPQ (будемо її позначати: (OPQ)) зв’язана з
числами р и q залежністю:

(2.28)

.

. Тоді

(2.29)

. Тоді

Література

Балк М. Б., Виленкин Н. Я., Петров В. А. Математический анализ. Теория
аналитических функций.– М.: Просвещение, 1985.– 160 с.

Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках.– М.: Наука, 1985.– 191
с.

Гутер Р. С., Полунов Ю. Л. Джироламо Кардано.– М.: Знание, 1980.– 191 с.

Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа.– М.: Наука,
1973.– 144 с.

Кострикин А. И. Введение в алгебру.– М.: Наука, 1977.– 495 с.

Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения.– М.: Наука,
1979.– 56 с.

Маркушевич А. И., Маркушевич Л. А. Введение в теорию аналитических
функций.– М.: Просвещение, 1977.– 320 с.

Понтрягин Л.С. Обобщения чисел.– М.: Наука, 1986.- 117 с.

Яглом И. М. Комплексные числа и их применения в геометрии.– М.:
Физматгиз, 1963.– 192 с.

PAGE

PAGE 35

Мал. 1.

Мал. 2.

Мал. 3

Мал. 4.

Мал. 5.

Мал.6.

Мал. 7.

Мал. 8.

Мал. 9.

Мал. 10.

Похожие записи