Реферат на тему:

Інтерполювання функцій

Задача про інтерполяцію функцій є однією з основних задач чисельного
аналізу. Формулюється вона таким чином.

, значення якої співпадають у вузлах сітки із заданими значеннями

. (1)

.

Інтерполянти, як правило, будуються у вигляді узагальнених поліномів

,

-невідомі параметри.

:

.

.

.

такий, що

.

та способи його побудови.

Якщо шукати ІП увигляді

то система ЛАР

, і, отже, єдиний розв’язок. Звідси випливає існування та єдиність
інтерполяційного полінома (2). Відомо багато форм запису
інтерполяційного поліному. Розглянемо побудову так званого
інтерполяційного поліному Лагранжа.

(коефіцієнти або фундаментальні поліноми Лагранжа):

0.

і дорівнює нулю у всіх інших вузлах. З цього випливає, що ІП

, (3)

.

Многочлен (3) називають інтерполяційним многочленом Лагранжа.

називається похибкою інтерполяції многочленом Лагранжа або залишковим
членом формули Лагранжа.

При практичному використанні інтерполяційних многочленів важливим є
знання похибки, яка виникає при інтерполяції.

така, шо

Одержимо цю формулу.

Для цього розглянемо функцію

(4)

дає оцінку. З цього випливає, що

.

Використовуючи (4), одержимо

з (4) маємо

(5)

Використовуючи рівномірну метрику, одержимо з (5) оцінку

(6)

буде мінімальним.

Чебишевим були побудовані многочлени

поліноми Чебишева першого роду.

і використовуючи тригонометричну тотожність

:

.

найменшу верхню грань абсолютних значень, тобто найменше відхиляється
від нуля. При цьому

0.

Лінійною заміною змінної

.

Повертаючись до оцінки (6), бачимо, що

:

Отже, якщо вузлами інтерполяції взяти вузли

то

.

, тому нерівність (6) обертaється в рівність. Враховуючи що

при будь яких вузлах інтерполяції, маємо

.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Записати формулу Лагранжа для рівновіддалених вузлів інтерполяції.

Довести інваріантність коефіцієнтів Лагранжа відносно лінійної
підстановки x=at+b.

функції f(x) інтерполяційним многочленом, побудованим по оптимальних
вузлах інтерполяції та відрізком ряду Тейлора.

Записати формулу коренів полінома Tn+1(x).

Записати формулу для визначення координат точок, де Tn(x) досягає
максимума.

Похожие записи

Реферат на тему:

Інтерполювання функцій

Задача про інтерполяцію функцій є однією з основних задач чисельного
аналізу. Формулюється вона таким чином.

, значення якої співпадають у вузлах сітки із заданими значеннями

. (1)

.

Інтерполянти, як правило, будуються у вигляді узагальнених поліномів

,

-невідомі параметри.

:

.

.

.

такий, що

.

та способи його побудови.

Якщо шукати ІП увигляді

то система ЛАР

, і, отже, єдиний розв’язок. Звідси випливає існування та єдиність
інтерполяційного полінома (2). Відомо багато форм запису
інтерполяційного поліному. Розглянемо побудову так званого
інтерполяційного поліному Лагранжа.

(коефіцієнти або фундаментальні поліноми Лагранжа):

0.

і дорівнює нулю у всіх інших вузлах. З цього випливає, що ІП

, (3)

.

Многочлен (3) називають інтерполяційним многочленом Лагранжа.

називається похибкою інтерполяції многочленом Лагранжа або залишковим
членом формули Лагранжа.

При практичному використанні інтерполяційних многочленів важливим є
знання похибки, яка виникає при інтерполяції.

така, шо

Одержимо цю формулу.

Для цього розглянемо функцію

(4)

дає оцінку. З цього випливає, що

.

Використовуючи (4), одержимо

з (4) маємо

(5)

Використовуючи рівномірну метрику, одержимо з (5) оцінку

(6)

буде мінімальним.

Чебишевим були побудовані многочлени

поліноми Чебишева першого роду.

і використовуючи тригонометричну тотожність

:

.

найменшу верхню грань абсолютних значень, тобто найменше відхиляється
від нуля. При цьому

0.

Лінійною заміною змінної

.

Повертаючись до оцінки (6), бачимо, що

:

Отже, якщо вузлами інтерполяції взяти вузли

то

.

, тому нерівність (6) обертaється в рівність. Враховуючи що

при будь яких вузлах інтерполяції, маємо

.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Записати формулу Лагранжа для рівновіддалених вузлів інтерполяції.

Довести інваріантність коефіцієнтів Лагранжа відносно лінійної
підстановки x=at+b.

функції f(x) інтерполяційним многочленом, побудованим по оптимальних
вузлах інтерполяції та відрізком ряду Тейлора.

Записати формулу коренів полінома Tn+1(x).

Записати формулу для визначення координат точок, де Tn(x) досягає
максимума.

Похожие записи