Реферат на тему:

Інтерполяційний многочлен Лагранжа.

Нехай відоме значення деякої функції f в n+1 різних точках х0, х1, …
хn, які позначені наступним чином:

Наприклад, ці значення отримані з експерименту, або знайдені із
допомогою достатньо важких обчислень.

Виникає задача наближеної відновленої функції f в деякій точці х.
Найчастіше для вирішення цієї задачі будується алгебраїчний многочлен
Ln(x) степеня n, який в точках xj ,отримує задані значення, і так далі

(1)

фактично має нульову степінь, але його теж будем називати
інтерполяційним многчленом n-го степеня.

Приблизне відновлення функції f по формулі

(2)

Називається інтерпеляцією функції f (з допомогою алгебраїчного
многочлена). Якщо х знаходиться за межами мінімального відрізка
вміщаючого всі точки інтерпеляції x0, x1,…,xn то зміну функції по
формулі (2) називають екстраполяцією.

Спочатку виляснемо питання існування і однорідності інтерполяційного
многочлена, а потім дослідимо хибність інтерпеляції, яка різниця між
лівою та правою частинами наближеного рівняння (2).

Теорема 1:

Існує єдиний інтерполяційний многочлен n-го степеня, відповідаючий умові
(1).

Доведення: Існування інтерполяційного многочлена безпосередньо
установим, виписавши його. Нехай n=1, тоді

(3)

При n=2

в, кінці в любому випадку при любому натуральному n

(4)

де

(6)

, викопано умови (1).

n-го степеня, задовольняючий умовам:

(7)

тоді згідно (1), (7)

(8)

теорема повністю доказана.

Інтерполяційний многочлен, приставлений у виді (5), називається
інтерполяційним многочленом Лагранжа, а функції (многочлени) (6) –
лагранжовими коефіцієнтами є і другі форми запису інтерполяційного
многочлена. Однак по теоремі (1) інтерполяційний многочлен n-го степеня
(точніше кажучи, степені не більше n), задовольняючий умовам (1),
єдиний.

, яке може служити контролем при обчисленні Лагранжеві коефіцієнтів
(6).

, то інтерполяційний многочлен для суми двох функцій рівний сумі
інтерполяційних многочленів для складених.

Приклад: Побудувати інтерполяційний многочлен Лагранжа по наступним
даним

і 0 1 2 3

хi 0 2 3 5

fi 1 3 2 5

Розв’язання: Згідно (5) при n=3 маємо

Усе можна написати рівняння:

(9)

точку х.

в наступному виді:

(10)

(11)

.

, і розберемо наступну функцію від t:

(12)

в якому випадку n+2-х точка х відрізка (а,в) на якому міняється t.

отримаєм:

Наступне,

і в співвідношенні з (9), (10),

(13)

, (14)

— деяка невідома точка.

15

а оцінка максимальної інтерполяції на всьому відрізку [a,b]

(16)

де Mn+1 — величина

Похожие записи