Пошукова робота на тему:

Інтегрування з допомогою заміни змінної. Інтегрування частинами.

План

Інтегрування частинами

Інтегрування часток

Заміна змінної

1. Інтегрування частинами

 

  або

Звідси

                                   (8.16)     

Формула (8.16) називається формулою інтегрування частинами в
невизначеному інтегралі.

Користуючись формулою (8.16), рекомендується обчислення інтегралів від
таких функцій :

 , хоч це теж не є абсолютною істиною . Іноді доводиться
експериментувати .

 теж здійснюється інтегрування частинами .

Для прикладу знайдемо

, знайдемо

.

:

Звідси     

Приклад 1 .

,

 . Звідси

.                       (8.17)

 – ціле число,

 .

 .

Тоді

 і

У новому інтегралі степінь величини понизився на одиницю, а це означає ,
що інтеграл став простішим , ніж був .

.

Отже , на основі формули (8.16) одержимо

  , знаходимо

.

Приклад 3.

 

Із останньої рівності одержимо

 .

Обчислимо тепер

.

, матимемо

 , про що мова буде іти пізніше.

2. Інтегрування часток

 то

.                            (8.18)

Користуючись цим , стають очевидними такі формули :

.

 – довільне дійсне число. Тоді

.

, то

   ,                          (8.19)

.

Приклади .

.                           

.

.

, то

.

3. Заміна змінної

 причому безпосередньо первісну ми знайти не можемо, але відомо, що
вона існує.

            Зробимо заміну змінної в підінтегральному виразі

 і в цьому випадку має місце формула

                                  (8.20)

 від обох частин рівності рівні між собою:

Ми тут використали правило диференціювання оберненої функції.

 від обох частин рівності (8.20) рівні, що й треба було довести.

 потрібно вибирати так, щоби можна було обчислити інтеграл, що стоїть в
правій частині рівності (8.20).

Фактично у п. 9.3.5 теж йшлося про заміну змінної, в чому можна
безпосередньо переконатися .

 .

За подальшого вивчення методів інтегрування розглядатимуться інші заміни
змінних .

Приклади .

 зводить інтеграл  до такого :

 і інтеграл набере вигляду

 

Похожие записи