Пошукова робота на тему:
Інтегрування з допомогою заміни змінної. Інтегрування частинами.
План
Інтегрування частинами
Інтегрування часток
Заміна змінної
1. Інтегрування частинами
або
Звідси
(8.16)
Формула (8.16) називається формулою інтегрування частинами в
невизначеному інтегралі.
Користуючись формулою (8.16), рекомендується обчислення інтегралів від
таких функцій :
, хоч це теж не є абсолютною істиною . Іноді доводиться
експериментувати .
теж здійснюється інтегрування частинами .
Для прикладу знайдемо
, знайдемо
.
:
Звідси
Приклад 1 .
,
. Звідси
. (8.17)
– ціле число,
.
.
Тоді
і
У новому інтегралі степінь величини понизився на одиницю, а це означає ,
що інтеграл став простішим , ніж був .
.
Отже , на основі формули (8.16) одержимо
, знаходимо
.
Приклад 3.
Із останньої рівності одержимо
.
Обчислимо тепер
.
, матимемо
, про що мова буде іти пізніше.
2. Інтегрування часток
то
. (8.18)
Користуючись цим , стають очевидними такі формули :
.
– довільне дійсне число. Тоді
.
, то
, (8.19)
.
Приклади .
.
.
.
, то
.
3. Заміна змінної
причому безпосередньо первісну ми знайти не можемо, але відомо, що
вона існує.
Зробимо заміну змінної в підінтегральному виразі
і в цьому випадку має місце формула
(8.20)
від обох частин рівності рівні між собою:
Ми тут використали правило диференціювання оберненої функції.
від обох частин рівності (8.20) рівні, що й треба було довести.
потрібно вибирати так, щоби можна було обчислити інтеграл, що стоїть в
правій частині рівності (8.20).
Фактично у п. 9.3.5 теж йшлося про заміну змінної, в чому можна
безпосередньо переконатися .
.
За подальшого вивчення методів інтегрування розглядатимуться інші заміни
змінних .
Приклади .
зводить інтеграл до такого :
і інтеграл набере вигляду
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
