Реферат на тему:

Інтегровані типи д-р 1-го порядку,

розв’язаних відносно похідної.

а). Неповні р-ня. ДР, яке не містить шуканої функції.

Має вигляд

(2.33)

функцією.

Тоді ф-я

(2.34)

.(2.35)

Особливих розвязків ДР (2.33) немає.

(2.36)

до x

Знаходимо с з умови (2.36)

(2.37) — загальний розвязок ДР (2.33) в формі Коші.

приймає нескінченне значення, то замість ДР (2.34) будемо розглядати
р-ня

(2.331)

.

Р-ня, яке не містить незалежної змінної має вигляд

(2.38)

. Замість (2.38) розглянемо ДР

(2.39)

ДР (2.39) не містить шуканої функції і воно розвязується аналогічно ДР
(2.33).

, y є (c,d), то

(2.40) – загальний рохвязок ДР (2.39) в області

.

(2.41) — загальний інтеграл в формі Коші.

.

.

Пр. 2.5

.

.

.

б) Рівняння з відокремлюванними змінними.

Розглянемо р-ня в диференціалах виду

(2.42),

— неперервні ф-ї своїх аргументів.

(2.43).

(2.44) – розвязок задачі Коші (2.36), (2.42). При данних припущеннях
особливих розвязків ДР (4.42) не має.

Рівняння вигляду

(2.45) –

називають р-ням з відокремлюваними змінними.

, отримуємо

(2.46).

Аналогічно записуємо

(2.47) –

загальний розвязок ДР (2.45) і

(2.48) –

, то

— розвязок ДР (2.45).

.

, то вони представляють собою особливі розвязки ДР (2.45).

.

і можуть бути особливими. Других особливих розвязків не має.

Пр. 2.6.

Знайти загальний розвязок ДР:

.

Розвязок:

.

.

.

.

.

в). Однорідні і узагальнено-однорідні ДР.

Розглянемо р-ня в диференціалах

(2.5),

являються однорідними функціями одніеї і тієї ж степені однорідності.

,

(2.49).

називаеться додатню-однорідною.

Однорідне р-ня завжди можна звести до рівняння вигляду

(2.50),

однорідна функція нулбового виміру.

(2.51). При цьому р-ня (2.5) приводиться до рівняння з
відокремлюваними змінними. Дійсно

,

,

,

,

,

,

.

(2.53).

. Других особливих розвязків ДР (2.5) не має.

, то це однорідне рівняння.

не дорівнюють 0. Можливі два випадки:

(2.56).

(2.58).

(2.59)

(2.60).

,

.

— загальний розвзок нашого рівняння.

має просто однорідне рівняння.

р-ня (2.5) являється р-ням з розділеними зміними. Особліви розвязки
досліджуються аналогічно.

загальний розвязок.

порядку.

порядку.

воно називається однорідним

(2.64).

(2.65)

Загальні властивості ОДР :

неперервні, то згідно теореми Пікара розвязок задачі Коші для ДР
(2.63) існує і являється єдиним;

ЛДР (2.63) не має особливих розвязків;

, так як в противному випадку нарушалися б умови єдиності розвязку
задачі Коші;

;

.

— константа, являється загальним його розвязком. Справедлива теорема.

(2.68) являється загальним розвязком неоднорідного ДР (2.62).

Теорема доводиться безпосередньою подстановкою (2.68) в

р-ня (2.62).

(2.69).

Розглянемо два методи интигрування неоднорідного ДР (2.67).

Метод Лагранжа (варіації довільної сталої).

,

(2.71).

загальний розв’язок ДР (2.62), який записаний через дві квадратури.
Довільна стала входить завжди в загальний розв’язок лінійно.

. З останнього співвідношення отримуємо ф-лу (2.71).

.

.

.

(2.74)

(2.76) яке вже являється лінійним.

не являється розв’язком ДР (2.74)

— загальний розвязок нашого р-ня.

Відомо, що деференц. – ліннійне р-ня.

.

Похожие записи