Реферат на тему:
Інтегровані типи д-р 1-го порядку,
розв’язаних відносно похідної.
а). Неповні р-ня. ДР, яке не містить шуканої функції.
Має вигляд
(2.33)
функцією.
Тоді ф-я
(2.34)
.(2.35)
Особливих розвязків ДР (2.33) немає.
(2.36)
до x
Знаходимо с з умови (2.36)
(2.37) – загальний розвязок ДР (2.33) в формі Коші.
приймає нескінченне значення, то замість ДР (2.34) будемо розглядати
р-ня
(2.331)
.
Р-ня, яке не містить незалежної змінної має вигляд
(2.38)
. Замість (2.38) розглянемо ДР
(2.39)
ДР (2.39) не містить шуканої функції і воно розвязується аналогічно ДР
(2.33).
, y є (c,d), то
(2.40) – загальний рохвязок ДР (2.39) в області
.
(2.41) – загальний інтеграл в формі Коші.
.
.
Пр. 2.5
.
.
.
б) Рівняння з відокремлюванними змінними.
Розглянемо р-ня в диференціалах виду
(2.42),
– неперервні ф-ї своїх аргументів.
(2.43).
(2.44) – розвязок задачі Коші (2.36), (2.42). При данних припущеннях
особливих розвязків ДР (4.42) не має.
Рівняння вигляду
(2.45) –
називають р-ням з відокремлюваними змінними.
, отримуємо
(2.46).
Аналогічно записуємо
(2.47) –
загальний розвязок ДР (2.45) і
(2.48) –
, то
– розвязок ДР (2.45).
.
, то вони представляють собою особливі розвязки ДР (2.45).
.
і можуть бути особливими. Других особливих розвязків не має.
Пр. 2.6.
Знайти загальний розвязок ДР:
.
Розвязок:
.
.
.
.
.
в). Однорідні і узагальнено-однорідні ДР.
Розглянемо р-ня в диференціалах
(2.5),
являються однорідними функціями одніеї і тієї ж степені однорідності.
,
(2.49).
називаеться додатню-однорідною.
Однорідне р-ня завжди можна звести до рівняння вигляду
(2.50),
однорідна функція нулбового виміру.
(2.51). При цьому р-ня (2.5) приводиться до рівняння з
відокремлюваними змінними. Дійсно
,
,
,
,
,
,
.
(2.53).
. Других особливих розвязків ДР (2.5) не має.
, то це однорідне рівняння.
не дорівнюють 0. Можливі два випадки:
(2.56).
(2.58).
(2.59)
(2.60).
,
.
– загальний розвзок нашого рівняння.
має просто однорідне рівняння.
р-ня (2.5) являється р-ням з розділеними зміними. Особліви розвязки
досліджуються аналогічно.
загальний розвязок.
порядку.
порядку.
воно називається однорідним
(2.64).
(2.65)
Загальні властивості ОДР :
неперервні, то згідно теореми Пікара розвязок задачі Коші для ДР
(2.63) існує і являється єдиним;
ЛДР (2.63) не має особливих розвязків;
, так як в противному випадку нарушалися б умови єдиності розвязку
задачі Коші;
;
.
– константа, являється загальним його розвязком. Справедлива теорема.
(2.68) являється загальним розвязком неоднорідного ДР (2.62).
Теорема доводиться безпосередньою подстановкою (2.68) в
р-ня (2.62).
(2.69).
Розглянемо два методи интигрування неоднорідного ДР (2.67).
Метод Лагранжа (варіації довільної сталої).
,
(2.71).
загальний розв’язок ДР (2.62), який записаний через дві квадратури.
Довільна стала входить завжди в загальний розв’язок лінійно.
. З останнього співвідношення отримуємо ф-лу (2.71).
.
.
.
(2.74)
(2.76) яке вже являється лінійним.
не являється розв’язком ДР (2.74)
– загальний розвязок нашого р-ня.
Відомо, що деференц. – ліннійне р-ня.
.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
