Реферат з математики

Геометрична прогресія та гармонічний ряд

1. Одним з найпростіших прикладів рядів є геометрична прогресія.

Ряд вигляду

(1)

називається геометричною прогресією, число q при цьому є знаменником
прогресії.

Покажемо, що геометрична прогресія (1) збігається тоді і тільки тоді,
коли її знаменник за модулем менше від одиниці:

. (2)

нехай Sn – п-а часткова сума ряду (1). Тоді

Звідси

(3)

, то із (3) знаходимо

й, отже,

(4)

; чому це так?)

, то із (3) маємо

. Якщо q=1, то

.

Якщо q= — 1, то

Отже, послідовність Sn розбіжна.

Таким чином, в усіх трьох останніх випадках геометрична прогресія
розбіжна.

2. Важливим у теорії рядів є гармонічний ряд, так називають ряд

Покажемо, що гармонічний ряд розбіжний.

. Нехай Sn – n–а часткова сума ряду. Тоді

, якщо a<0. , тобто гармонічний ряд розбіжний.

Похожие записи