Тема: Функції багатьох змінних. Означення, границя та неперервність,
похідні диференціали.

Як відомо, будь-який упорядкований набір з n дійсних чисел х1…,хn
позначається (х1,…,хn) або М(х1,…,хn) і називається точкою n-вимірного
арифметичного простору Rn; числа х1,…,хn називаються координатами точки
М(х1,…,хn). Відстань між точками М(х1,…,хn) і М/(х/1,…,х/n) визначається
за формулою

— множиною значень функції f.

D можна розглядати як функцію точок площини в тривимірному просторі з
фіксованою системою координат Оxyz. Графіком цієї функції називається
множина точок

яка визначає, взагалі кажучи, деяку поверхню в R3.

Функція не визначена в точках, в яких знаменник перетворюється в нуль.
Тому вона має лінією розриву пряму 2х + 3у + 4 = 0.

, розглянемо границю

.

Обчислюються частинні похідні за звичайними правилами і формулами
диференціювання, але при цьому всі змінні, крім xk, розглядаються як
сталі.

Частинними похідними 2-го порядку функції u=f(x1,…,xn) називаються
частинні похідні від її частинних похідних першого порядку. Похідні
другого порядку позначаються так:

Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні порядку вищого,
ніж другий.

Результат багатократного диференціювання функції по різних змінних не
залежать від черговості диференціювання за умови, що одержані при цьому
змішані частинні похідні неперервні.

, називається різниця

Функція u=f(M) називається диференційовною в точці М0, якщо скрізь в
околі цієї точки певний приріст функції можна подати у вигляді

.

називається вираз

.

Для диференціала du правильна формула

Якщо p достатньо мале, то для диференційовної функції правильна
наближена формула:

: d2u = d(du). Аналогічно визначається диференціал 3-го порядку d3u =
d(d2u). Взагалі, dku = d(dk-1 u).

, де х1…хn – незалежні змінні, символічно записуються у вигляді формули

яка формально розкривається за біномним законом.

, маємо:

Він визначає напрямок найшвидшого зростання функції:

Знайти grad u (M0).

Похожие записи