.

Формула Ньютона – Лейбніца (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 2072
Скачать документ

Реферат

На тему: Формула Ньютона – Лейбніца.

Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для най-
простіших функцій, таких, як y = k x, y = x? Для інших функцій,
наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється.

Виникає запитання: чи не можна обчислювати інтеграли іншим способом?
Такий спосіб був знайдений лише у ХVII ст. англійським вченим Ісааком
Ньютоном (1643 – 1727) і німецьким математиком Готфрідом Лейбніцом (1646
– 1716). Строге доведення формули Ньютон – Лейбніца дають у курсі
матема-тичного аналізу. Ми лише проілюструємо правильность формули
геометрич-ним міркуванням.

Нагадаємо задачу про площу криволінійної трапеції. Було встановленно, що

Виберемо довільну точку x є [ a; b]і проведемо через неї пенпендикуляр
хК до осі Ох. Площа фігури а А К х змінюється зі змінною х. Позначемо цю
функцію через S (x) і покажемо, що існує її похідна причина, при
чому S?(x)=?(x), де y=?(x) –
підінтегральна функція, графік якої обмежує криволінійну трапецію.
Інакше кажучи, покажемо, що S (x) є первісною для ?(x).

Надамо змінній x приросту ?x, вважаючи ( для спрощення міркування), що
?x > 0. Тоді й фенкція S (x) набуде приросту ?S (x). У курсі
математичного аналізу доводиться, що неперервна на відрізку[ a;
b]функція y=?(x )досягає на цьому найбільшого і найменшого значень.
Оскільки підінтегральна функція y=?(x ) є неперервною на
відрізку[x,x+?x], то вона досягає на цьому відрізку найменшого і
найбільшого значень. Отже,

m ?x < ? S (x) < M ?xПозначимо через F(x)будь-яку первісну для функції y=?(x ). За основною властивістю первісної будь-які первісні для однієї і тієї самої функції можуть відрізнятися лише сталим додатком C. ТомуS(x) = F(x)+ C. (1)При x=a криволінійна трапеція вироджується у відрізок a A, тому S(x) = 0.Підставивши у рівність (1) замість х число а , а замість S(x) число 0, одер-жимо C= - F(a). Після підстановки замість C у рівність (1) його значення маємоS(x) = F(x)-F(a). (2)Коли x=b, то площа криволінійної трапеції дорівнює числуS=S(b). Крім того, за цією умови рівність (2) матиме виглядS(b) = F(b)-F(a).Раніше було встановлено, що площа криволінійної трапеції дорівнюєbзначенню ? ?(x) dx. Тому можна зробити висновок, щоab? ?(x) dx = F(b)-F(a). (3)aЦе і є формула Ньютона-Лейбніца, яка показує, що значення інтегралу на відрізку[a;b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції при x=b i x=a.Різницю F(b)-F(a) позначають. Тому рівність (3) можна записати так:Розвязання роглянутих раніше двох задач про площі трикутника і фігури, обмеженої параболою, значно спрощується, якщо використати формулу Ньютона – Лейбніца. Справді, (кв. од.); (кв. од.).П р и к л а д 3. Обчислимо за формулою Ньютона – Лейбніца площу фігури,знизу – віссю Ох, а з боків – прямимиРозв’язання: ( кв. од.).Запишемо символічно основні властивості інтеграла, які випливають із властивостей первісної та формули Ньютона – Лейбніца. Їх неважко довести, користуючись означенням інтеграла:детобто якщо відрізок[a;b]розбито на двавідрізки точкою с, то інтеграл на відрізку[a;b]дорівнює сумі інтегралів на відрізках[a;b] i [a;c].деДоведіть самостійно перші три властивості. Останню властивість доведено в курсі математичного аналізу.Приклад 4. ОбчислитиРозв’язання:Приклад 5. ОбчислитиРозв’язання:Приклад 6. ОбчислитиРозв’яззати:(ab??,().щоSfxdx?.)Fxab?()()fxdxFxabab22202kkxxdxOABSkoko???????30333322kkxdxxOABSkoko??????42????xix222204cos2cos42cossin24???????????????????????????????xdxxS????????????????????,.3.,.2.1dxxdxxfdxxfdxxfkdxxfkdxxdxxfdxxxfbacababababababa??????????.??????Rk???????4.1,abkapkbpfkxpdxkftdt????,RkRp??????403cos?dxxx??dxx??2122dxx????????2443sin???

Похожие документы
Обсуждение
    Заказать реферат
    UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019