Реферат на тему:

Елементи теорії матриць

Основні поняття

Розглянемо ще один математичний об’єкт, пов’язаний із системою рівнянь
(1.1).

Означення. Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, яка має m
рядків і n стовпців. Якщо повернутися до системи рівнянь (1.1), то
коефіцієнти при невідомих у лівій частині якраз і утворюють таку
прямокутну таблицю:

.

означає, що в ній п’ять рядків і три стовпці. Якщо кількість рядків
матриці дорівнює кількості її стовпців, то матриця називається
квадратною.

Дві матриці рівні між собою, якщо вони мають однаковий розмір і всі їх
відповідні елементи рівні між собою.

, то матриця називається симетричною.

Квадратна матриця, в якої елементи головної діагоналі дорівнюють
одиниці, а всі інші нулю, називається одиничною матрицею:

.

Коли всі елементи матриці, що містяться по один бік від головної
діагоналі, дорівнюють нулю, то матриця називається трикутною.

Кожній квадратній матриці можна поставити у відповідність визначник,
який складається з тих самих елементів.

.

Якщо такий визначник відмінний від нуля, то матриця називається
неособливою, або невиродженою. Якщо визначник дорівнює нулю, то матриця
особлива, або вироджена.

Дії з матрицями

, будь-який

елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць

, тому за означенням можна утворити їх суму — матрицю

.

.

.

Очевидно, що для суми матриць і добутку матриць на число виконуються
рівності:

.

, кожний елемент можна знайти за формулою:

.

Кожний елемент матриці С утворюється як сума добутків відповідних
елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи

j-го стовпця матриці В, тобто за схемою:

.

.

Повернемось до системи рівнянь (1.1) і утворимо матриці: А —
коефіцієнтів при невідомих, Х — невідомих, В — вільних членів:

.

Тоді згідно з означенням добутку матриць систему рівнянь (1.1) можна
записати в матричному вигляді:

, (1.5)

який значно скорочує запис системи рівнянь.

Обернена матриця

.

, існує обернена матриця А–1. Розглянемо матрицю:

.

За правилом множення матриць елементи матриці С знаходимо за формулою:

. (1.6)

?

?J

O

U

???????????????

??

?

.

.

Отже, обернена матриця має вигляд:

.

Доведемо, що для матриці А матриця А–1 єдина. Для цього припустимо
протилежне. Нехай існує одна матриця С, така що АС = СА = Е. Тоді

САА–1 = С(АА–1) = СЕ = С,

а водночас

САА–1 = (СА)А–1 = ЕА–1 = А–1, звідси С = А–1.

Доходимо висновку, що початкове припущення неправильне, тобто обернена
матриця єдина.

 — матриця невироджена. Тоді для матриці А побудуємо обернену А–1 —
вона за тих припущень, які щойно зроблено, існує. Помноживши тепер
матричну рівність АХ = В зліва на матрицю А–1, дістанемо:

,

.

Останній вираз — це розв’язок системи лінійних рівнянь. Зауважимо, що в
такому вигляді можна записати розв’язок будь-якого матричного рівняння,
якщо матриця А задовольняє умови існування А–1.

Ранг матриці

і введемо ще одне важливе поняття.

, а най-

більший можливий ранг матриці може дорівнювати меншому з чисел m і n.

-го порядку, який повністю містить у собі мінор k-го порядку.

-го порядку і т. д.

Означення. Елементарними перетвореннями матриці А називаються такі її
перетворення:

заміна місцями двох рядків або двох стовпців матриці;

множення рядка або стовпця матриці на довільне відмінне від нуля число;

додавання елементів одного рядка або стовпця до відповідних елементів
іншого рядка або стовпця, попередньо помноженого на деяке число.

Теорема. Елементарні перетворення не змінюють рангу матриці.

Далі матриці, які мають рівні ранги, називатимемо еквівалентними
матрицями. Еквівалентні матриці об’єднуватимемо знаком «~» («тильда»).

ЛІТЕРАТУРА

Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.

Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.

Похожие записи