Реферат на тему:

Елементи аналітичної геометрії

Аналітична геометрія — розділ вищої математики, в якому геометричні
образи (точки, лінії, поверхні) вивчаються за допомогою алгебраїчних
методів.

Засновником аналітичної геометрії є французький математик і філософ Рене
Декарт (1596—1650). Він розробив і вперше застосував метод координат,
який дав змогу досліджувати геометричні залежності алгебраїчними
методами. Із будь-якою лінією (чи поверхнею) співставляється її
рівняння, а далі властивості цієї лінії (поверхні) вивчаються за
допомогою аналітичного дослідження відповідного рівняння.

1. Метод координат

В основу методу координат покладено побудову системи координат. Таких
систем існує багато. Ми ознайомимося з двома: прямокутною (чи
декартовою) і полярною системами координат.

Відрізок, обмежений точками А і В, називається напрямленим, якщо
вказано, яка з точок А і В вважається початком, а яка — кінцем відрізка.

і вважатимемо, що він напрямлений від початку до кінця.

, якщо ці напрями протилежні.

:

(1)

справджується рівність:

(2)

.

Згідно з формулою (2) дістаємо:

.

Координати на прямій.

Числова пряма

Візьмемо довільну пряму і виберемо на ній напрям (тоді вона стане
віссю), деяку точку О (початок координат) і одиницю масштабу для
вимірювання довжин відрізків (рис. 1).

Пряма з вибраним напрямом, початком координат і одиницею масштабу
називається координатною прямою.

Рис. 1

: х = ОМ. Це означатиме, що точка М лежить на координатній прямій на
відстані х одиниць масштабу від початку координат у додатному напрямі.
Число х називається координатою точки М. З означення величини відрізка
випливає, що коли напрям відрізка ОМ збігається з напрямом осі, то М
міститься праворуч від О і координата х додатна; якщо напрям відрізка ОМ
не збігається з напрямом осі, то М міститься ліворуч від О і координата
х від’ємна; нарешті, якщо точка М збігається з точкою О, то координата х
дорівнює нулю.

Той факт, що точка М має координату х, символічно записують так: М(х).

Отже, ми встановили відповідність між числами і точками координатної
прямої: кожній точці відповідає певне число — її координата, і кожному
числу — певна точка на координатній прямій; двом різним точкам
відповідають два різних числа. Така відповідність у математиці
називається взаємно однозначною.

Отже, числа можна зображувати точками координатної прямої, тому множину
всіх чисел називають числовою прямою (або числовою віссю), а будь-яке
число — точкою цієї прямої.

Відстань між двома точками

на прямій

d f ?

?

jZ

j

??

?

&

F

.

, дістаємо:

.

Прямокутна (декартова)

система координат на площині

Дві взаємно перпендикулярні осі Ох і Оу , що мають спільний початок О і
однакову одиницю масштабу (рис. 2), утворюють прямокутну, або декартову,
систему координат на площині.

Рис. 2

Вісь Ох називається віссю абсцис, а вісь Оу — віссю ординат. Точка О
перетину осей називається початком координат. Площина, в якій містяться
осі Ох і Оу, називається координатною площиною і позначається Оху.

Нехай М — довільна точка площини. Опустимо з неї перпендикуляри МА і MB
відповідно на осі Ох і Оу. Точки А і В перетину цих перпендикулярів з
осями називаються проекціями точки М на осі координат.

: х = ОА, у = ОВ. Число х називається абсцисою точки М, число у — її
ординатою.

Той факт, що точка М має координати х і у, символічно позначають так:
М(х; у). При цьому першою в дужках вказують абсцису, а другою —
ординату. Початок координат має координати (0; 0).

Таким чином, коли вибрано систему координат, кожній точці М площини
відповідає пара чисел (х; у) — її прямокутних координат і, навпаки,
кожній парі чисел (х; у) відповідає, причому лише одна, точка М на
площині Оху, така що її абсциса дорівнює х, а ордината дорівнює у.

Отже, прямокутна система координат на площині встановлює взаємно
однозначну відповідність між множиною всіх точок площини і множиною пар
чисел, що дає змогу при розв’язуванні геометричних задач застосовувати
алгебраїчні методи.

Осі координат розбивають площину на чотири частини; їх називають
чвертями, квадрантами або координатними кутами і нумерують римськими
цифрами I, II, III, IV так, як показано на рис. 3 (на ньому подано також
нерівності, що визначають знаки координат точок залежно від їхнього
розміщення).

Рис. 9

ЛІТЕРАТУРА

Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.

Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.

Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.

Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.

Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

О

М

В

М

у

х

А

О

у

х

І

ІІ

О

IV

ІІІ

у

х

x < 0, y > 0

x < 0, y < 0 x > 0, y < 0 x > 0, y > 0

Похожие записи