Реферат з математики

Дослідження на збіжність числових рядів (за допомогою часткових сум та
необхідної умови збіжності ряду)

Приклад 1.

. Записати п’ять перших ленів ряду.

Розв’язання.

Розв’язання.

Отже,

Приклад 2. Чи збігаються такі ряди:

Розв’язання .

, то ці ряди розбігаються.

Приклад 3. Дослідити на збіжність і знайти суми рядів:

Розв’язання.

то часткову суму Sп ряду можна записати так:

і ряд збігається.

б). У даному випадку

і

.

, а тому збігається.

Приклад 4. Дослідити на збіжність ряд

Розв’язання.

суму n перших членів даного ряду можна записати

Отже,

Як бачимо, ряд збіжностей і його сума дорівнює 1.

Знайти суму Sn – його п членів і суму ряду S.

Розв’язання.

Розкладемо загальний член ряду на суму найпростіших дробів:

Знайдемо часткову суму ряду

Для визначення суми ряду знайдемо границю

Розв’язання.

виконується.

а значить збігається.

Відповідь: ряд збігається.

Розв’язання.

і знайдемо його границю.

, то наслідком з необхідної умови збіжності ряд розбігається.

Відповідь: ряд розбігається.

, використовуючи необхідну умову збіжності.

Розв’язування.

Для цього ряду не виконується необхідна умова збіжності ряду.

Дійсно,

Таким чином, даний ряд збігається.

Приклад 9. Дано загальний член ряду:

Написати ряд в розгорнутому вигляді і перевірити, чи виконується
необхідна умова збіжності ряду.

Розв’язання.

а). Знаходимо

то необхідна ознака збіжності не виконується, отже ряд розбіжний.

б). Знаходимо

Проте зробити висновок про збіжність ряду в даному випадку неможливо.
Для встановлення збіжності ряду треба перевірити чи виконуються достатні
умови збіжності.

Розв’язання.

А тому, вихідний ряд збігається, як сума збіжних рядів і

користуючись означенням збіжності ряду.

Розв’язання .

Для визначення збіжності будь-якого ряду треба знайти часткову зрізану
суму Sп , яка в нашому випадку становить

де А, В, С – визначені коефіцієнти. Маємо

запишемо у вигляді

Тепер

Тоді

Переходячи до границі, маємо:

Приклад 12. Дослідити на збіжність ряди:

Розв’язання.

а). Ряд із загальним членом (-1)п-1 не є збіжним, оскільки не
виконується необхідна умова збіжності ряду.

суми якиїх відповідно дорівнюють:

маємо

Похожие записи