Реферат на тему:

Дослідження функції двох змінних

Екстремум функції двох змінних

.

Точки максимуму й мінімуму називаються точками екстремуму.

або дорівнюють нулю, або хоча б одна з них не існує.

. Якщо:

;

;

немає екстремуму.

, тоді потрібні додаткові дослідження.

на екстремум

.

.

.

4. Обчислити значення частинних похідних другого порядку в стаціонарних
точках.

і зробити висновки на базі теореми 5.21.

.

.

. Таким чином, у точці (1; 2) функція може мати екстремум.

.

.

Приклад. Дослідити на екстремум функцію двох змінних:

.

:

.

.

Отже, (0; 0) — стаціонарна точка.

:

.

4. У точці (0; 0)

.

.

5. Точка (0;0) — мінімум, хоча це ясно і безпосередньо.

Алгоритм знаходження екстремумів за допомогою матриці Гессе

.

.

ІІ. Складаємо матрицю Гессе

.

Можливі два випадки:

. Цей випадок потребує розглядання частинних похідних порядка більше 2.
Ми його розглядати не будемо.

.

.

— еліптична;

— еліптична

— гіперболічна

— від’єм. визн.

В. Сідлова

— невизначена

Приклади. Знайти екстремуми заданих функцій:

? Н — невизначена. Отже, точка (0; 0) — сідлова точка.

.

? Н — додатно визначена.

— точка мінімуму.

.

.

.

Зауваження. Ми навели певні аналітичні ознаки для знаходження
екстремумів. Існують і більш строгі ознаки. Але в деяких випадках
встановити, чи має функція мінімум або максимум, можна за умовою задачі.

Приклад. Показати, що прямокутний паралелепіпед з найбільшою бічною
поверхнею є куб.

— ребра паралелепіпеда.

— бічна поверхня паралелепіпеда, то

.

дві незалежні, нехай це будуть х і y, тоді

.

,

,

.

Значення х = 0, y = 0, очевидно, не можуть дати максимуму. Отже,

.

Розв’язавши ці рівняння разом із рівнянням

.

Ці рівняння мають єдиний розв’язок, і ним визначається максимум.

Приклад. На площині

знайти точку, найменш віддалену від початку координат.

на заданій площині від початку координат є

Коли ця відстань досягає мінімуму, то

тобто

Із рівняння площини маємо:

і підставимо в попереднє рівняння. Дістанемо

мають дорівнювати 0:

.

дає шуканий мінімум.

Знаходження найбільшого та найменшого значень неперервної функції на
замкненій обмеженій множині

.

(рис. 5.20).

Рис. 5.20

.

.

.

.

.

.

.

?

d ae j U ////////////iYYYYYYYYNYY

$

(

*

D

H

X

l

n

?

?

i

j

°

?

?

E

I

j

j

j

j

.

.

.

Умовний екстремум для функції двох змінних

— множина точок, що задовольняють рівняння

(5.6)

.

при обмеженнях (5.6).

Аналогічно вводяться поняття нестрогого умовного екстремуму.

Точки умовного максимуму та мінімуму називають точками умовного
екстремуму. Умовний екстремум інколи називають відносним екстремумом.

Прямий метод знаходження точок

умовного екстремуму (метод виключення)

Рис. 5.21

:

.

.

:

.

,

.

Таким чином, задана функція має умовний екстремум у точці (3; 3).

Метод Лагранжа знаходження точок

умовного екстремуму

дорівнює 1 у точках, що задовольняють рівняння зв’язку.

— множником Лагранжа.

задовольняли систему рівнянь:

є стаціонарною точкою функції Лагранжа і її координати задовольняють
рівняння зв’язку.

Тоді якщо за умови

(5.7)

має умовний строгий мінімум (максимум).

умовного екстремуму немає.

.

і її ранг дорівнює 1 в усіх точках, що задовольняють рівняння зв’язку.
Отже, можна скористатися методом Лагранжа. Запишемо функцію Лагранжа

.

Згідно з необхідними умовами дістанемо систему:

може мати умовний екстремум тільки в двох точках (–5; 4) і (5; – 4).

.

.

.

.

Метод найменших квадратів

— послідовність відповідних значень залежної змінної.

Необхідно дібрати пряму, яка «найліпше» виражала б за-

. Це означає, що відхилення фак-

тичних значень функції від дібраної прямої мають бути мінімальними.

.

Відхилення від фактичних значень функцій становлять:

.

Ці відхилення мають бути додатними або від’ємними, тому пряма
добирається так, щоб сума квадратів відхилень

.

, отже,

.

:

.

, які визначають пряму, що найліпше відбиває хід змінювання функції.

(на 1 тонну цементу за рік) за визначений період роботи цементної
промисловості характеризуються значеннями, які зведено в такій таблиці:

1 8 80

2 10 72

3 12 65

4 13,5 70

5 14 68

.

( Складаємо таку таблицю:

Рис. 5.22

.

Отже, необхідна умова існування мінімуму суми квадратів відхилень
подається так:

,

.

(рис. 5.22).

— послідовність відповідних значень залежної змінної.

утворюють деяку лінію. Нехай необхідно дібрати параболу, яка б
«найліпше» виражала залежність у від х. При цьому термін «найліпше»
означає, що сума квадратів відхилень дійсних значень функції від
дібраної параболи мінімальна.

Нехай

є дібрана парабола. Тоді

,

,

……………………,

.

Параболу дібрано найліпшим чином, якщо сума квадратів відхилень

мінімальна.

Необхідні умови існування мінімуму функції подаються залежностями:

.

Маємо

звідки

,

,

.

Ділячи обидві частини рівнянь на 2 і розбиваючи суми на доданки,
дістаємо

.

ЛІТЕРАТУРА

Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.

Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.

Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.

Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.

max

3

+

Похожие записи