Пошукова робота на тему:

Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними,
однорідні, лінійні, Бернуллі).

План

Рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними

Однорідні диференціальні рівняння першого порядку і рівняння, що
зводяться до однорідних

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Рівняння Бернуллі

12.2. Рівняння з відокремленими

й відокремлюваними змінними

            Якщо в диференціальному рівнянні першого порядку

                                            (12.1)

праву частину можна подати у вигляді

)  це рівняння можна записати так:

                                      (12.2)

, отримаємо

                                (12.3)

            Це співвідношення є загальним інтегралом рівняння (12.1).

, називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними.

            Диференціальне рівняння вигляду

                           (12.4)

   називається рівнянням з відокремлюваними змінними.

. Маємо

і, отже, загальний інтеграл рівняння, за аналогією з (12.2), має вигляд

.

 чоловік, приходимо до диференціального рівняння

                                          (12.5)

— коефіцієнт пропорціональності).

            Це диференціальне рівняння першого порядку з
відокремлюваними змінними. Подамо його у вигляді

.

            Загальний інтеграл рівняння

                               (12.6)

            Знайдемо інтеграл у лівій частині рівності (12.6):

).  Загальний інтеграл (12.6) має форму

.

:

                                  (12.7)

  та визначимо довільну сталу (у даному

, звідки

                                            (12.8)

            Підставимо вираз (12.8) у загальний розв’язок (12.7) і
спростимо результат. Отримаємо шуканий частинний розв’язок:

.                (12.9)

            Його графіком є так звана логістична крива (рис.12.1).

                                                                        
                                                                        
                      

                                                    Рис.12.1

, пропорційна добуткові концентрації цих речовин.

.

. Згідно з умовою

                                        (12.10)

 рівняння (12.10) запишемо у вигляді

або

                            (12.11)

.

            Цікаво відзначити, що рівняння (12.11) збігалося з рівнянням
(12.5). Вперше таке рівняння використано у 1845 р. і названо як рівняння
Ферхольста — Перла, застосовувалось воно для опису динаміки чисельності
популяції в біології. Зауважимо, що такий самий вигляд мають рівняння
інших процесів – наприклад, попиту на сезонні масові послуги на
підприємствах побутового обслуговування, а також випаровування вологи з
пористої речовини тощо.

 — рівняння процесу радіоактивного розпаду, залежності атмосферного
тиску від висоти, процесу розряду конденсатора через опір й ін.

12.3. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку і рівняння, що
зводяться до однорідних

            Рівняння першого порядку

справедлива тотожність

.

  є однорідним, бо 

.  

 в рівняння дістанемо

,

звідки

.

, отримуємо загальний розв’язок однорідного рівняння.

.

Тоді

.

,   звідки

.

.

            Приклад 3. Покажемо, як розв’язується  рівняння, наведене в
прикладі 3, за допомогою полярних координат.

 за формулами

.

            Звідси

            Отже,

.

Права частина рівняння у нових координатах набуває вигляду

            Прирівнюючи праву і ліву частини рівняння, дістанемо

.

            На основі властивості пропорції позбудемося дробів:

            Спрощуючи це рівняння, отримаємо

.

            Відокремлюємо змінні

.

            Інтегруємо                

.

.

.

            Зауваження.  До однорідних рівнянь зводяться диференціальні
рівняння вигляду

                                 (12.12)

 — сталі, підібрані таким чином, щоб рівняння (12.12) перетворилося на
однорідне рівняння вигляду

.

,

 слід підібрати так, щоб виконувались рівняння

).

. В цьому разі рівняння (12.12) подамо у вигляді

.                            (12.13)

.

            Перейшовши до нової змінної у рівнянні (12.13), одержимо
рівняння

,

у якому змінні легко відокремлюються.

            Приклад 4.   Розв’язати рівняння

.

. Підставимо нові змінні у вихідне рівняння:

.

 отримаємо алгебраїчну систему двох лінійних рівнянь

,

.

:

.

            Загальний інтеграл цього рівняння має вигляд

           

або

.

Враховуючи виконані заміни змінних, маємо:     

.

Отже, загальний інтеграл вихідного рівняння

або, після спрощень,

.

12.4. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

 Лінійними диференціальними рівняннями першого порядку називається
рівняння, лінійне відносно невідомої функції та її похідної:

                               (12.14)

.

, то рівняння

                               (12.15)

— неоднорідним.

            Однорідне рівняння (12.15) – це диференціальне рівняння з
відокремлюваними змінними. Відокремлюємо змінні:

.

            Загальний інтеграл рівняння

,

а загальний розв’язок однорідного рівняння (12.15)

                                  (12.16)

:

                       (12.17)

Підставимо (12.17) у рівняння (12.14):     

,

:

,                   (12.18)

— довільна стала. Отже враховуючи (12.18), загальний розв’язок (12.17)
рівняння (12.14) набуває вигляду

                         (12.19)

            Зауваження.  Метод варіації довільної сталої для рівняння
(12.14) можна реалізувати на практиці таким чином.

:

                                                      (12.20)

            Знайдемо похідну

                        (12.21)

У результаті підстановки функції (12.20) та похідної від неї (12.21) у
рівняння (12.14) отримаємо

або                

                                    (12.22)

 з рівняння

                                          (12.23)

, розв’язок якого

.

.

Це — диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. Звідси

.

            Отже, згідно з (12.21) загальний розв’язок рівняння (12.14)

,      (12.19а)

— довільна стала.

. Наприклад, диференціальне рівняння

можна подати у вигляді

— аргументом. Це ж саме рівняння можна записати й так:

— аргументом, то дістаємо лінійне рівняння.

            Розглянемо деякі приклади розв’язання лінійних
диференціальних рівнянь першого порядку.

           

:

а) методом варіації довільної сталої;

.

Р о з в ‘ я з о к. а) Згідно з методом варіації довільної сталої
спочатку розв’яжемо відповідне рівняння без правої частини:

.

.

 у вихідне рівняння:

.

— довільна стала.

Таким чином, загальний розв’язок має вигляд

.

:

.

довільна стала ) збігається як слід було чекати, із розв’язком,
знайденим раніше.

            Приклад 2.  При відстоюванні суспензії має місце повільне
осідання твердих частинок під дією сили ваги , якщо опір середовища
пропорційний швидкості осідання частинок, що осідають в рідині без
початкової швидкості.

 дістаємо рівняння

,

.

, спочатку відшукаємо загальний розв’язок рівняння. Використаємо метод
варіації довільної сталої. Відповідне однорідне рівняння має вигляд

.

            Після відокремлювання змінних та інтегрування отримаємо

.

.

,

 одержується, згідно з умовою, таке рівняння:

.

,

довільна стала. Інтегруючи, маємо

.

Тоді загальний розв’язок рівняння набуває вигляду

.

.

Отже, частинний розв’язок поставленої задачі матиме вигляд

.

— сталі):

.

, то це рівняння повністю збігається з диференціальним рівнянням,
розглянутим у прикладі 2, хоч описувані процеси зовсім різні.

 маємо диференціальне рівняння, яке зручно записати у вигляді

.

.

 знайдемо з рівняння

,

звідки

,

. Інтегруючи двічі частинами, отримаємо

,

 визначимо за допомогою рівності

.

 визначається виразом

.

12.5. Рівняння Бернуллі

            Диференціальне рівняння виду

,                            (12.24)

 відмінне від

— рівняння з відокремлюваними

  змінними).

:

. Оскільки

,

диференціальне рівняння Бернуллі перетворюється на рівняння

, можна отримати розв’язок рівняння Бернуллі.

, тобто так само, як і лінійне неоднорідне рівняння.

            Покажемо це на прикладі.

            Приклад .   Розв’язати рівняння Бернуллі

.

 або

.

 отримується рівняння з відокремлюваними змінними

, загальний інтеграл якого буде таким:

,

довільна стала. Отже, відповідь

.

12.6. Рівняння в повних диференціалах.

Інтегруючий множник

              Означення.  Диференціальне рівняння вигляду

                          (12.25)

 —  неперервні диференційовані функції,  для яких

виконується співвідношення

,                                              (12.26)

 — також неперервні функції.

, то виконується умова (12.26), і навпаки, з виконання умови (12.25)
випливає, що ліва частина рівняння (12.25) – повний диференціал (вперше
цю умову отримав член Петербурзької академії наук Л.Ейлер (1707-1783)).

.

            Оскільки

,

маємо

 визначаються за формулами

  . 

  та

, що й доводить рівність (12.26).

, завдяки якій диференціальне рівняння (12.25)  можна подати у формі

                                    (12.27)

, то інтегруючи, маємо

                                 (12.28)

, користуючись формулою (12.28):

                        (12.29)

 і користуючись умовою (12.26) для заміни підінтегральної функції, з
(12.29) отримуємо

.

   або

.

,

у вираз (12.28), отримаємо

.

            Це дозволяє записати загальний розв’язок рівняння (12.25)
(або те ж саме рівняння (12.27)) у вигляді:

— довільна стала.

Зауваження.  На практиці зручніше продиференціювати

.

            Приклад .  Розв’язати рівняння

            Р о з в ’ я з о к.  Позначимо

 рівні між собою:

.

.

:

.

,

— довільна стала.

 знайдено:

.

.

 таку, що рівняння

            (12.30)

буде рівнянням у повних диференціалах. Згідно з доведеним для цього
необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність, аналогічна рівності
(12.26):

,

або

.

Зведемо подібні члени

.

, отримаємо

         (12.31)

. Розв’язати його – це завдання не простіше, ніж інтегрування вихідного
рівняння. Розглянемо два частинні випадки, коли рівняння (12.31)
спрощується і його можна розв’язати.

.

, і рівняння (12.31) набуває вигляду

                               (12.32)

, то воно легко інтегрується.

.

Тоді рівняння (12.31) можна подати таким чином:

                         (12.33)

, рівняння (12.33) інтегрується.

.

            Р о з в ’ я з о к.   Знайшовши частинні похідні

переконуємося, що умова (12.26) не виконується.

. Рівняння (12.32) набуває вигляду

.

 не існує.

, і складемо рівняння (12.33):

.

, рівняння інтегрується. Знайдемо один з його частинних розв’язків:

та переконаємося, що коефіцієнти отриманого рівняння задовольнятимуть
умові (12.26). Маємо

  .                                                        

Тоді  

. Оскільки

, або

.

.

.

Тоді

,

і загальний інтеграл рівняння має вигляд 

Похожие записи