Реферат на тему:

Диференціальні рівняння першого порядку,

розв’язані відносно похідної

1. Рівняння Рікатті.

, (2.77)

де P(x), Q(x), R(x) – визначені неперервні на (a,b) .

0 ,так як при цьому диференційне

рівняння (2.77) вироджується в рівняння Бернуллі і лінійне відповідно.

При таких критеріях відносно функцій P(x) , Q(x), R(x)

.

Тому діференційне рівняння особливих розв’язків не має.

Властивості диференційного рівняння (2.77) :

а) Диференційне рівняння (2.77) інваріантно відносно перетворення :

; (2.78)

б) Диференційне рівняння (2.77) інваріантно відносно дробно-

(2.79)

будь-які неперервно-диференційовані функції на

, z-нова незалежна

змінна.

диференційне рівняння (2.77) приводиться до

(2.80)

диференційне рівняння (2.77) інтегрується

тільки в деяких випадках , а саме :

константи ; (2.81)

Це диференційне рівняння з розділеними змінними ;

константи; (2.82)

Це однорідне диференційне рівняння ;

константи ; (2.83)

Це диференційне рівняння , яке зводиться до диференційного рівняння
(2.81)

(2.84) інтегрується , так як узагальнено – однорідне

Побудова загального розв’язку диференційного рівняння (2.77)

в випадках , якщо відомі частинні лінійно-незалежні розв’язки.

диференційного рівняння (2.77) , то воно зводиться до рівняння
Бернуллі при n=2 .

(2.85) . Підставимо в (2.77) .

Звідки

то

.

, то загальній розв’язок знаходиться одного квадратурно.

являється частинним розв’язком

. А в цьому випадку його розв’язок знаходиться без квадратур

2. Рівняння в повних диференціалах

не має .

— загальний

Інтеграл .

— неперервно диференційовані.

А це означає,що

.

Теорема доведена.

вибрані вдало , то задача інтегрування спрощується.

— загальний інтеграл.

с=0 .

Цей розв’язок буде єдиний .

3. Інтегрувальний множник. Теореми про існування, неєдиність і
загальний вигляд інтегрувального множника.

,яке не являється рівнянням в повних диференціалах.

називається інтегрувальним множником, а

важко.

:

знаючи інтегрувальний множник ми можемо знайти всі особливі розв’язки .

; в) перевірити єдиність в кожній точці цих кривих ;

обмежена функція , то особливих розв’язків немає .

в заданій області , який має часткові похідні другого порядку , то це
рівняння має інтегрувальний множник .

задовільняють системі рівнянь

Теорема доведена .

.

, являється

інтегрувальним множником .

Теорема 2.7. (про загальний вигляд інтегрувального множника )

,

. Терема доведена .

Похожие записи