Реферат на тему:
Диференціальні рівняння першого порядку,
розв’язані відносно похідної
1. Рівняння Рікатті.
, (2.77)
де P(x), Q(x), R(x) – визначені неперервні на (a,b) .
0 ,так як при цьому диференційне
рівняння (2.77) вироджується в рівняння Бернуллі і лінійне відповідно.
При таких критеріях відносно функцій P(x) , Q(x), R(x)
.
Тому діференційне рівняння особливих розв’язків не має.
Властивості диференційного рівняння (2.77) :
а) Диференційне рівняння (2.77) інваріантно відносно перетворення :
; (2.78)
б) Диференційне рівняння (2.77) інваріантно відносно дробно-
(2.79)
будь-які неперервно-диференційовані функції на
, z-нова незалежна
змінна.
диференційне рівняння (2.77) приводиться до
(2.80)
диференційне рівняння (2.77) інтегрується
тільки в деяких випадках , а саме :
константи ; (2.81)
Це диференційне рівняння з розділеними змінними ;
константи; (2.82)
Це однорідне диференційне рівняння ;
константи ; (2.83)
Це диференційне рівняння , яке зводиться до диференційного рівняння
(2.81)
(2.84) інтегрується , так як узагальнено – однорідне
Побудова загального розв’язку диференційного рівняння (2.77)
в випадках , якщо відомі частинні лінійно-незалежні розв’язки.
диференційного рівняння (2.77) , то воно зводиться до рівняння
Бернуллі при n=2 .
(2.85) . Підставимо в (2.77) .
Звідки
то
.
, то загальній розв’язок знаходиться одного квадратурно.
являється частинним розв’язком
. А в цьому випадку його розв’язок знаходиться без квадратур
2. Рівняння в повних диференціалах
не має .
– загальний
Інтеграл .
– неперервно диференційовані.
А це означає,що
.
Теорема доведена.
вибрані вдало , то задача інтегрування спрощується.
– загальний інтеграл.
с=0 .
Цей розв’язок буде єдиний .
3. Інтегрувальний множник. Теореми про існування, неєдиність і
загальний вигляд інтегрувального множника.
,яке не являється рівнянням в повних диференціалах.
називається інтегрувальним множником, а
важко.
:
знаючи інтегрувальний множник ми можемо знайти всі особливі розв’язки .
; в) перевірити єдиність в кожній точці цих кривих ;
обмежена функція , то особливих розв’язків немає .
в заданій області , який має часткові похідні другого порядку , то це
рівняння має інтегрувальний множник .
задовільняють системі рівнянь
Теорема доведена .
.
, являється
інтегрувальним множником .
Теорема 2.7. (про загальний вигляд інтегрувального множника )
,
. Терема доведена .
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter