Реферат на тему:

Декартів (прямий) добуток множин. Відповідності, функції і відображення
1. Декартів (прямий) добуток множин

Окремо розглянемо ще одну дуже важливу операцію над множинами.

Декартовим (прямим) добутком множин A і B (записується A(B) називається
множина всіх пар (a,b), в яких перший компонент належить множині A
(a(A), а другий — множині B (b(B).

Тобто

Декартів добуток природно узагальнюється на випадок довільної скінченної
сукупності множин. Якщо A1, A2,…, An — множини, то їхнім декартовим
добутком називається множина

D = { (a1,a2,…,an) | a1(A1, a2(A2,…, an(An },

яка складається з усіх наборів (a1,a2,…,an), в кожному з яких i-й
член, що називається i-ю координатою або i-м компонентом набору,
належить множині Ai, i=1,2,…,n. Декартів добуток позначається через
A1( A2(…( An.

Набір (a1,a2,…,an), щоб відрізнити його від множини, яка складається з
елементів a1,a2,…,an, записують не у фігурних, а в круглих дужках і
називають кортежем, вектором або впорядкованим набором. Довжиною кортежу
називають кількість його координат. Два кортежі (a1,a2,…,an) і
(b1,b2,…,bn) однакової довжини вважаються рівними тоді і тільки тоді,
коли рівні їхні відповідні координати, тобто ai=bi, i=1,2,…,n. Отже,
кортежі (a,b,c) і (a,c,b) вважаються різними, в той час як множини
{a,b,c} і {a,c,b} — рівні між собою.

Декартів добуток множини A на себе n разів, тобто множину A(A(…(A
називають n-м декартовим (або прямим) степенем множини A і позначають
An.

Прийнято вважати, що A0 = ( (n=0) і A1 = A (n=1).

Приклад 1.9. 1. Якщо A = {a,b} і B = {b,c,d}, то

A(B = {(a,b),(a,c),(a,d),(b,b),(b,c),(b,d)},

A2 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}.

2. Якщо R — множина дійсних чисел або множина точок координатної прямої,
то R2 — це множина пар (a,b), де a,b(R, або множина точок координатної
площини.

Координатне зображення точок площини вперше було запропоновано
французьким математиком і філософом Рене Декартом, тому введена
теоретико-множинна операція і називається декартовим добутком.

3. Скінченна множина A, елементами якої є символи (літери, цифри,
спеціальні знаки тощо), називається алфавітом. Елементи декартового
степеня A називаються словами довжини n в алфавіті A. Множина всіх слів
в алфавіті A — це множина

Ai,

де e — порожнє слово (слово довжини 0), тобто слово, яке не містить
жодного символу алфавіту A.

Замість запису слів з An у вигляді кортежів (a1,a2,…,an) частіше
використовують традиційну форму запису слів у вигляді послідовності
символів a1a2…an, aj(A, j=1,2,…,n. Наприклад, 010111, 011, 0010,
100, 010 — слова в алфавіті B = {0,1}, а 67-35, -981, (450+12)/27,
349*2+17 — це слова в алфавіті C = {0,1, 2,3,4,5,6,7,8,9,+,-,*,/,(,)}.

Операція декартового добутку неасоціативна і некомутативна, тобто
множини (A(B)(C і A((B(C), а також множини A(B і B(A, взагалі кажучи,
нерівні між собою.

Зв’язок декартового добутку з іншими теоретико-множинними операціями
встановлюється такими тотожностями:

(A ( B) ( C = (A(C) ( (B(C),

(A(B) ( C = (A(C)((B(C),

A ( (B ( C) =(A(B) ( (A(C),
(1.8)

A ( (B(C) =(A(B)((A(C).

Проекцією на i-у вісь (або i-ою проекцією) кортежу w=(a1,a2,…,an)
називається i-а координата ai кортежу w, позначається Pri(w) = ai.

Проекцією кортежу w=(a1,a2,…,an) на осі з номерами i1,i2,…,ik
називається кортеж (ai1,ai2,…,aik), позначається Рri1,i2,…,ik(w) =
(ai1,ai2,…,aik).

Нехай V — множина кортежів однакової довжини. Проекцією множини V на i-у
вісь (позначається PriV ) називається множина проекцій на i-у вісь усіх
кортежів множини V: PriV = { Pri(v) | v(V }.

Аналогічно означається проекція множини V на декілька осей:

Pri1,i2,…,ikV = { Pri1,i2,…,ik(v) | v(V }.

Приклад 1.10. Pri1,i2,…,ik( A1 ( A1 (…( An ) = Ai1 ( Ai2 (… (
Aik.

Якщо V={(a,b,c),(a,c,d),(a,b,d)}, то Pr1V={a}, Pr2V={b,c},
Pr2,3V={(b,c),(c,d), (b,d)}.

2. Відповідності, функції і відображення

Відповідністю між множинами A і B називається будь-яка підмножина C(A(B.

Якщо (a,b)(C, то кажуть, що елемент b відповідає елементу a при
відповідності C.

Оскільки відповідності є множинами, то для їхнього задання
використовують ті самі методи, що й для довільних множин.

Крім того, відповідність можна задавати (або ілюструвати) за допомогою
так званого графіка відповідності. Нехай А={1,2,3,4,5} і B={a,b,c,d}, а
C = {(1,a),(1,d),(2,с),(2,d),(3,b),(5,a),(5,b)} — відповідність між A і
B. Позначимо через 1,2,3,4,5 вертикальні прямі, а через a,b,c,d —
горизонтальні прямі на координатній площині (рис.1.2,а). Тоді виділені
вузли на перетині цих прямих позначають елементи відповідності C і
утворюють графік відповідності

Зручним методом задання невеликих скінченних відповідностей є діаграма
або граф відповідності. В одній колонці розташовують точки, позначені
елементами множини A, у колонці праворуч — точки, позначені елементами
множини B. З точки a першої колонки проводимо стрілку в точку b другої
колонки тоді і тільки тоді, коли пара (a,b) належить заданій
відповідності. На рис.1.2,б зображено діаграму відповідності C із
попереднього абзацу.

а) б)

Рис.1.2.

Відповідність можна задавати, визначаючи співвідношення, яким мають
задовольняти її обидві координати. Наприклад, якщо розглянемо класичну
координатну площину R2=R(R, то маємо такі відповідності C1={(x,y) | x2 +
y2 = 1}, C2 = {(x,y) | y = x2 }, C3 = {(x,y)| |x|(1, |y|(1}. Графіком
відповідності C1 є коло радіуса 1 з центром у початку координат,
графіком C2 — квадратична парабола, а графіком C3 — всі точки квадрата з
вершинами (-1,-1),(-1,1),(1,1) і (1,-1).

Припустимо, що C(A(B деяка відповідність.

Множина Pr1C називається областю визначення, а множина Pr2C — областю
значень відповідності C (інші позначення — (С і (С відповідно).

Якщо Pr1C=A, то відповідність C називається всюди або повністю
визначеною. В противному разі відповідність називається частковою.

Образом елемента a(Pr1C при відповідності C називається множина всіх
елементів b(Pr2C, які відповідають елементу a.

Прообразом елемента b(Pr2C при відповідності C називається множина всіх
тих елементів a(Pr1C, яким відповідає елемент b.

Якщо A(Pr1C, то образом множини A при відповідності C називається
об’єднання образів усіх елементів з A. Аналогічно означається прообраз
деякої множини B(Pr2C.

Оскільки відповідності є множинами, то до довільних відповідностей
можуть бути застосовані всі відомі теоретико-множинні операції:
об’єднання, перетин, різниця тощо.

Додатково для відповідностей введемо дві специфічні операції.

Відповідністю, оберненою до заданої відповідності C між множинами A і B,
називається відповідність D між множинами B і A така, що

D ={(b,a) | (a,b)(C}. Відповідність, обернену до відповідності C,
позначають C-1.

Якщо задано відповідності C(A(B і D(B(F, то композицією відповідностей C
і D (позначається C(D ) називається відповідність H між множинами A і F
така, що H = { (a,b)| існує елемент c(B такий, що (a,c)(C і (c,b)(D }.

Розглянемо окремі важливі випадки відповідностей.

B. Зокрема, всі функції, які вивчаються в елементарній математиці, є
окремими випадками функціональних відповідностей з R2= R(R або функціями
типу R ( R.

B. Відображення називають також всюди або повністю визначеними
функціями.

Відображення типу A ( A називають перетвореннями множини A.

Через BA позначається множина всiх вiдображень з A в B.

Оскільки функція і відображення є окремими випадками відповідності, то
для них мають місце всі наведені вище означення: поняття областей
визначення та значень, поняття образу та прообразу елементів і множин та
ін. Зокрема, для функції f елементи множини Pr1f називають аргументами
функції, образ елемента a(Pr1f позначають через f(a) і називають
значенням функції f на a. Прообраз елемента b(Pr2f позначають через
f-1(b). Аналогічно позначаються образ і прообраз множини.

Нехай f:A(B функція з множини A в множину B, а g:B(C — функція з множини
B в множину C. Суперпозицією (композицією) функцій f і g, яка
позначається f(g, називається функція h:A(C така, що h(a) = g(f(a)) для
a(Pr1f(A і f(a)(Pr1g(B.

Відображення f називається сюр’єктивним (сюр’єкцією) або відображенням
на множину B, якщо Pr2f = B.

Відображення f називається ін’єктивним (ін’єкцією) або різнозначним
відображенням, якщо для кожного елемента b(Pr2f його прообраз f-1(b)
складається тільки з одного елемента. Іншими словами, різним елементам
множини A відповідають різні елементи множини B.

Нарешті, відображення, яке є одночасно сюр’єктивним і ін’єктивним,
називається бієктивним відображенням або бієкцією.

Бієктивні відображення називають часто також взаємно однозначними
відображеннями або взаємно однозначними відповідностями між множинами A
і B. Взаємно однозначні відображення відіграють велику роль в
математиці, зокрема, в теорії множин.

Таким чином, вiдповiднiсть є взаємно однозначною, тоді і лише тоді, коли
вона функцiональна, всюди визначена, сюр’єктивна та iн’єктивна.

Вiдповiднiсть iA = { (a,a) | a(A } називається тотожним перетворенням,
дiагональною вiдповiднiстю або дiагоналлю в A.

Наведемо приклади відповідностей, відображень та функцій.

Приклад 1.11. 1. Відповідність між клітинками і фігурами на шахівниці в
будь-який момент гри є функціональною, але не є відображенням, оскільки
не всі поля шахівниці зайняті фігурами.

2. Відповідність між натуральними числами і сумами цифр їх десяткового
запису є відображенням. Це відображення не є ін’єктивним, оскільки йому
належать такі, наприклад, пари, як (17, 8) і (26,8).

3. Відповідність, за якою кожному натуральному числу n(N відповідає
число 3n, очевидно, є взаємно однозначною відповідністю між множиною
всіх натуральних чисел і множиною натуральних чисел кратних 3.

4. Відповідність між множиною точок координатної площини R2 і множиною
всіх векторів із початком у точці (0,0) є взаємно однозначною.

1

2

3

4

5

a

b

c

d

A

B

Похожие записи