Пошукова робота на тему:
Числові ряди. Збіжність і розбіжність. Сума ряду. Дії над збіжними
рядами. Необхідна ознака збіжності. Гармонічний ряд.
План
Числові ряди. Збіжність і розбіжність
Сума ряду
Дії над збіжними рядами
Необхідна ознака збіжності
Гармонічний ряд
ЧИСЛОВІ РЯДИ
1 Ряд. Сума ряду
Означення 1. Нехай задана нескінченна послідовність чисел
Вираз
(13.1)
називаються членами ряду.
ою частинною сумою ряду:
. (13.2)
Означення 3. Якщо існує скінчена границя
(13.3)
то її називають сумою ряду (13.1) і говорять, що ряд збігається.
не існує або дорівнює нескінченності, то говорять, що ряд (13.1)
розбігається і суми не має.
Приклад 1. Розглянемо ряд
).
її членів обчислюється за формулою
.
Тоді
, який розбігається
.
В цьому випадку
границі немає і ряд в цьому випадку розбігається.
Таким чином, геометрична прогресія збігається тільки тоді,
коли її знаменник за абсолютною величиною менший одиниці.
на простіші дроби
і
Теорема 1. На збіжність числового ряду не впливає відкидання
або додавання скінченого числа його членів.
. Тоді маємо:
і, навпаки. А це доводить вірність даної теореми.
то ряд
Теорема доведена.
Теорема 3. Якщо ряди
, то ряди
Д о в е д е н н я. Частинні суми даних рядів мають вигляд
і
що і доводить дану теорему.
2. Необхідна ознака збіжності ряду
При дослідженні рядів одним із головних питань є питання про
те, чи збігається даний числовий ряд. Нижче будуть розглянуті достатні
ознаки збіжності рядів. Тут ми розглянемо необхідну ознаку збіжності
ряду, тобто встановимо умову, при невиконанні якої ряд розбігається.
Д о в е д е н н я. Нехай ряд (13.1) збігається, тобто має
місце рівність
сума ряду; але тоді має місце також рівність
Віднімаючи почленно із першої рівності другу, одержимо:
Отже
що й потрібно було довести.
, то числовий ряд розбігається.
Приклад. Ряд
Ряд
називається гармонічним рядом. Цей ряд розбігається, хоча й
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter