Пошукова робота на тему:

Числові ряди. Збіжність і розбіжність. Сума ряду. Дії над збіжними
рядами. Необхідна ознака збіжності. Гармонічний ряд.

План

Числові ряди. Збіжність і розбіжність

Сума ряду

Дії над збіжними рядами

Необхідна ознака збіжності

Гармонічний ряд

ЧИСЛОВІ РЯДИ

                  1 Ряд. Сума ряду

Означення 1. Нехай задана нескінченна послідовність чисел

Вираз

                          (13.1)

 називаються членами ряду.

ою частинною сумою ряду:

.                                 (13.2)

            Означення 3. Якщо існує скінчена границя

                                          (13.3)

то її називають сумою ряду (13.1) і говорять, що ряд збігається.

 не існує або дорівнює нескінченності, то говорять, що ряд (13.1)
розбігається і суми не має.

            Приклад 1. Розглянемо ряд

).

 її членів обчислюється за формулою

.

Тоді

 , який розбігається

  .

В цьому випадку

границі немає і ряд в цьому випадку розбігається.

            Таким чином, геометрична прогресія збігається тільки тоді,
коли її знаменник за абсолютною величиною менший одиниці.

   на простіші дроби

     і

            Теорема 1. На збіжність числового ряду не впливає відкидання
або додавання скінченого числа його членів.           

. Тоді маємо:

 і, навпаки. А це доводить вірність даної теореми.

 то ряд

 Теорема доведена.

            Теорема 3. Якщо ряди

, то ряди

            Д о в е д е н н я. Частинні суми даних рядів мають вигляд

 і

що і доводить дану теорему.

2. Необхідна ознака збіжності ряду

            При дослідженні рядів одним із головних питань є питання про
те, чи збігається даний числовий ряд. Нижче будуть розглянуті достатні
ознаки збіжності рядів. Тут ми розглянемо необхідну ознаку збіжності
ряду, тобто встановимо умову, при невиконанні якої ряд розбігається.

            Д о в е д е н н я. Нехай ряд (13.1) збігається, тобто має
місце рівність

сума ряду; але тоді має місце також рівність

Віднімаючи почленно із першої рівності другу, одержимо:

Отже

що й потрібно було довести.

, то числовий ряд розбігається.

            Приклад. Ряд

            Ряд

називається гармонічним рядом. Цей ряд розбігається, хоча й

Похожие записи