Пошукова робота

Класифікація суджень

Знаки логічних сполучників:

л — кон’юнкція (приблизно відповідає граматичному сполучнику «і»);

v — нестрога (слабка) диз’юнкція (відповідає граматичному сполучнику
«або»);

у — строга (сильна) диз’юнкція (відповідає… — «або.., або…»);

—»— імплікація (відповідає… — «якщо…, то…»);

<-> — еквіваленція (відповідає… — «якщо і тільки якщо…»;

заперечення (цей знак пишеться над вислов

люванням, відповідає частці «не» і читається — «хибно, що…»).

Технічні знаки:

( — ліва дужка;

) — права дужка;

, — кома.

Перелічені знаки — знаки пропозиційних змінних, логічних сполучників і
технічні знаки — становлять собою алфавіт логіки висловлювань, або
пропозицій-ної логіки.

Що таке формула логіки висловлювань?

По-перше, будь-яка пропозиційна змінна є формулою логіки висловлювань.
По-друге, якщо F і F є формулами логіки висловлювань, то формулами
будуть і «FAFJ», «FVFJ», «FyFj», «F-tFj» «F-t-Fj». По-третє, якщо F є
формулою логіки висловлювань, то F також буде формулою.

Послідовність знаків «Av», «wl», «vAv», «AB» не є формулами логіки
висловлювань подібно до аналогічних виразів у математиці.

Щоб «перекласти» вираз природної мови на мову логіки висловлювань,
необхідно:

1) виділити всі прості речення1 природної мови;

2) позначити їх знаками відповідних пропозиційних змінних;

3) встановити граматичні сполучники, які мають місце в міркуванні і
пов’язують прості речення природної мови у складні;

:При цьому прості речення з однорідними членами нерідко розглядають як
складні. Наприклад: «Він поет і майстер живопису» (АлВ), тобто «Він
поет, і він майстер живопису».

4) позначити ці сполучники відповідними знаками (символами) логічних
сполучників;

5) записати вираз, що аналізується, з допомогою відповідних логічних
знаків.

Наприклад: «Почалася сесія, і роботи додалося» — (АлВ); «Якщо
чотирикутник має попарно паралельні сторони і прямі кути, то він є
прямокутником» — (АлВ)С.

Логіка висловлювань дає можливість на підставі знання логічного значення
(істинності чи хибності) простих висловлювань і таблиць істинності
логічних зв’язок робити висновок про логічне значення складних
висловлювань. Щоправда, існують випадки, коли істин-нісне значення
складних висловлювань залежить від таблиць істинності логічних зв’язок і
зовсім не залежить від істинності чи хибності простих висловлювань.Щоб
навчитися визначати логічне значення складних висловлювань, розглянемо
таблиці істинності логічних зв’язок, які, до речі, є вичерпною
характеристикою цих зв’язок, яка не йде ні в яке порівняння з посиланням
на їх аналогію з граматичними сполучниками.

Таблиця істинності кон’юнкції

А В АлВ

і і і

і X X

X і X

X X X

З таблиці видно, що кон’юнкція істинна лише тоді, коли всі кон’юнкти
істинні (всі, а не два, бо їх може бути й більше). В усіх інших випадках
кон’юнкція хибна. Так, кон’юнктивне судження «Всі ромби мають рівні
сторони і взаємно перпендикулярні діагоналі» істинне, а судження «Всі
ромби мають рівні сторони і кути» хибне.

Нестрога диз’юнкція є хибною лише тоді, коли всі диз’юнкти хибні. В усіх
інших випадках вона є істинною.

Наприклад:

1) «Новий Лондон знаходиться в Австралії або в Канаді»;

2) «О.С.Пушкін — поет або прозаїк»;

3) «Гегель був філософом або фізиком».

Таблиця істинності нестрогої (слабкої) диз’юнкції

А В AvB

і і і

і X і

X і і

X X X

Перше диз’юнктивне висловлювання є хибним, оскільки обидва диз’юнкти
(члени диз’юнкції) є хибними. Новий Лондон знаходиться не в Австралії і
не в Канаді, а в двадцять другому штаті США — штаті Коннектикут.

Друге і третє висловлювання істинні, бо в другому висловлюванні обидва
диз’юнкти є істинними, а в третьому — один, перший.

Таблиця істинності строгої (сильної) диз’юнкції

А В AvB

і X

і X і

X і і

X X X

Строга диз’юнкція є істинною тоді, коли один і лише один диз’юнкт є
істинним. В іншому разі вона буде хибною.

Наприклад:

1) «Цей кут є або гострим, або прямим, або тупим »;

2) «Цього літа ми поїдемо відпочивати або в Ялту, або в Скадовськ».

Перше висловлювання є істинним, бо будь-який кут неодмінно належить до
одного і тільки одного з названих різновидів. А друге висловлювання може
виявитися як істинним (за умови, що його автор відпочиватиме в
зазначений час в одному і тільки в одному з названих міст), так і хибним
(коли його автор відпочиватиме «цього літа» в обох названих містах або
не відпочиватиме в жодному з них).

Таблиця істинності імплікації

А В А->В

і і і

і X X

X і і

X X і

Імплікація є хибною лише тоді, коли антецедент (перша частина
імплікації) є істинним, а консеквент (друга частина імплікації) —
хибним. В усіх інших випадках імплікація є істинною.

Наприклад: «Якщо робітник старанно працює, то він своєчасно одержує
платню». Це висловлювання буде хибним лише за умови, коли перше судження
(«Робітник старанно працює») є істинним, а друге («Він своєчасно одержує
платню») — хибним.

Еквівалентне висловлювання є істинним за умови, коли обидві його
складові є одночасно або істинними, або хибними.

Таблиця істинності еквіваленції

А В А<н>В

і і іі X XX і X

X X і

Наприклад: «Якщо ця геометрична фігура — прямокутник, то вона є
паралелограмом з прямими кутами». Це висловлювання буде істинним лише за
умови, що обидві його частини матимуть однакове логічне значення, тобто
будуть або одночасно істинними, або одночасно хибними.

Таблиця істинності заперечення

А А

і X

X і

Заперечення перетворює істинне висловлювання на хибне, а хибне — на
істинне. Наприклад:

«Відень — столиця Австрії»;

«5×5 = 50».

Вдавшись до операції заперечення, ми перетворимо істинне висловлювання
на хибне («Хибно, що Відень — столиця Австрії), а хибне — в істинне
(«Хибно, що 5 х 5 = 50»).

Типи складних висловлювань

Логіка висловлювань дає змогу на підставі знання логічного значення
(істинності чи хибності) простих висловлювань і таблиць істинності
логічних зв’язок робити висновки про істинність чи хибність складних
висловлювань. Наприклад, дано висловлювання «А—> —>BVCAD» І ВІДОМО, ЩО А
— істинне, В — істинне, С — хибне і D — хибне. Завдання полягає в тому,
щоб визначити логічне значення названого складного висловлювання.

Щоб виконати це завдання, треба взяти до уваги, по-гіерше, логічні
значення простих висловлювань, а по-друге — дані таблиць істинності
відповідних логічних зв’язок. До того ж треба пам’ятати черговість
логічних операцій: спочатку виконується кон’юнкція, потім диз’юнкція,
імплікація і т. д. (подібно до того, як у математиці спочатку виконують
множення і ділення, а потім додавання і віднімання).

Визначаючи логічне значення висловлювання «А—> -+BVCAD», здійснимо
послідовно відповідні операції:

С (хиба) л D (хиба) дає хибу;

2) В (істина) v хиба дає істину;

3) А (істина) —> істина дає істину.

Отже, при наведених логічних значеннях простих висловлювань складне
висловлювання «A-BVCAD» виявилося істинним. Проте можуть трапитися
випадки, коли логічні значення деяких простих висловлювань у складному
нам невідомі. Чи можна визначити логічне значення складних висловлювань
у такому разі? Іноді можна. Наприклад, є складне висловлювання «BVCA
AD», В якому В — істинне, а логічні значення простих висловлювань С і D
— невідомі. Орієнтуючись на таблицю істинності нестрогої диз’юнкції й
враховуючи черговість логічних операцій, неважко дійти висновку, що це
висловлювання є істинним. Загалом висловлювання «BVCAD» можна розглядати
як нестрогу диз’юнкцію: «BV(CAD)». Оскільки в цій диз’юнкції один
диз’юнкт (В) істинний, то й диз’юнкція загалом буде істинною, незалежно
від логічного значення другого диз’юнкта — (CAD).

І, нарешті, здавалося б, зовсім безглузде запитання: а чи трапляються
складні висловлювання такої конструкції, логічне значення яких можна
визначити за умови повної відсутності знань про істиннісне значення їх
складників, тобто відповідних простих висловлювань?

Так! Як це не парадоксально.

Наприклад:

1. AvBvA.

2.A->(BvB).

З.АА(ВА’В).

4.AvA.

Перше і друге висловлювання істинні, а третє і четверте — хибні.

Перше висловлювання істинне тому, що це нестрога диз’юнкція, яка є
істинною за умови, що хоча б один диз’юнкт є істинним. А в цьому
висловлюванні завжди є істинним один із диз’юнктів: або А, або не-А.

Друге висловлювання теж істинне, бо загалом воно є імплікативним з
істинним консеквентом («BvB»). A імплікація не може бути хибною за
умови, що її консеквент є істинним (про це свідчить таблиця істинності
імплікації).

Третє висловлювання хибне, бо кон’юнкція є хибною, якщо хоч один
кон’юнкт хибний. А в цьому висловлюванні другий кон’юнкт («ВлВ») є
хибним.

Четверте висловлювання («AvA») теж хибне, бо диз’юнкція «AvA» є
істинною, а її заперечення (риска над цим висловлюванням) перетворює
його на хибне.

Перше і друге висловлювання не просто істинні, а «завжди істинні», тобто
такі, істинність яких не залежить від істинності чи хибності їх
складників. «Завжди істинні» висловлювання (формули) називають законами
логіки. їх називають ще «тотожно істинними», «логічно істинними»,
«тавтологіями», «універ-сально-загальнозначимими».

Третє і четверте висловлювання є теж не просто хибними, а «завжди
хибними», тобто такими, хибність яких не залежить від логічного значення
простих висловлювань, їх складників. «Завжди хибні» висловлювання
(формули) ще називають логічними суперечностями .

Переважна ж більшість складних висловлювань є такими, істиннісне
значення яких не можна визначити без врахування істинності чи хибності
їх складників. Такі висловлювання називаються виконуваними
(здійсненними, невизначеними).

У логіці розроблено спеціальні методи, з допомогою яких з’ясовують, до
якого типу належить те чи інше складне висловлювання (формула), тобто
встановлюють, чи є воно «завжди істинним» (законом логіки), «завжди
хибним» (логічною суперечністю) чи виконуваним.

Розглянемо один із таких методів — метод таблиць істинності.

Таблиці істинності логічних зв’язок, з якими ми вже ознайомились, можна
застосовувати і для визначення істиннісноґо значення складних
висловлювань. Ці таблиці будують за схемою.

У перший рядок таблиці вписують спочатку прості висловлювання
(пропозиційні змінні), потім ті складові висловлювання, що містять одну
логічну зв’язку, за ними — ті, що містять дві зв’язки і т. д.
Завершується рядок висловлюванням, яке аналізується. Кожному складнику
висловлювання в першому рядку таблиці відводиться клітинка, кожна з яких
розпочинає відпо єний стовпчик.

Наприклад, висловлювання «(AVB)AB» так вписується в таблицю:

А В В AvB (AvB)vB

Y і

Оскільки до складу досліджуваного висловлювання входять лише дві
пропозиційні змінні (А, В), то рядків у таблиці буде чотири (коли б
пропозиційних змінних було три, то кількість рядків подвоїлася б).

Заповнюючи таблицю, впишемо в перший та другий стовпчики усі припустимі
набори логічних значень пропорційних змінних «А» і «В». Значення «В »
встановлюється відповідно до значень «В» згідно з таблицею істинності
зв’язки «заперечення».

Значення «AvB» встановлюється відповідно до значень «А» і «В» згідно з
таблицею істинності нестрого! диз’юнкції. Логічне значення
досліджуваного висловлювання «(AVB)ABJ> встановлюється відповідно до
значень «AvB» і «В» згідно з таблицею істинності кон’юнкції.

А В В AvB (AVB)AB

і і X і X

і X і і і

X і X і X

X X і X X

Оскільки в останньому стовпчику таблиці траплявся різні логічні значення
(тобто як «істина», так і &ба»), то це висловлювання є виконуваним.

А В А АлА (АлА)ч>В

і і X X і

і X X X іX і і X і

X X і X і

Логічна суперечність

А В А AvB АлА (AvB)л (АлА)

і і X і X X

і X X і X X

X і і і X X

X X і X X X

Метод таблиць істинності ефективний при з’ясуванні типу складних
висловлювань, які містять дві-три пропозиційних змінні. Якщо ж
пропозиційних змінних у висловлюванні більше, то вдаються до методу
аналітичних таблиць [92] та інших методів.

Навіть коли висловлювання містить три пропози-ційні змінні, таблиці
істинності вже є громіздкими:

А В с А АлВлА (АлВлА)ч>С

і і і X X

і І X X X

і X і X X

і X X X X

X і і і X

X і X і X

X X і і X

X X X і X і

З’ясувавши сутність і значення логіки висловлювань (пропозиційної
логіки), неважко здогадатися про її неуніверсальний характер. Це
виявляється в тому, що існують такі міркування, правильність яких не
можна обґрунтувати з допомогою числення висловлювань, тобто
абстрагуючись від внутрішньої структури простих висловлювань. Так,
правильність міркування «Всі метали — електропровідники, отже, деякі
електропровідники — метали» залежить не лише від логічних зв’язків між
висловлюваннями, а й від їх внутрішньої будови. Цей та інші факти
свідчать про необхідність такої логічної теорії, яка б брала до уваги
суб’єктно-предикатну структуру простих висловлювань і ввела б нові
логічні константи: «V»— квантор загальності і «З» — квантор існування.
Вираз «Vx» читають: «для будь-якого х…», а вираз «Зх» — «існує такий
х…».

Така теорія створена. Вона називається логікою предикатів, або теорією
квантифікації. До того ж ця теорія — це розширення логіки висловлювань,
тому всі закони останньої є одночасно і законами логіки предикатів (але
не навпаки!). Предметом цієї логіки є також лише дескриптивні
висловлювання, які мають два логічні значення: «істина» і «хиба».

Мова логіки предикатів — це штучна мова, пристосована до аналізу
логічної структури простих висловлювань. До неї належать список
відповідних знакових засобів (алфавіт) і визначення правильно
побудованих виразів. Такими виразами є терми і формули.

Знакові засоби мови логіки предикатів поділяють на технічні і
нетехнічні, а останні, у свою чергу, — на логічні і нелогічні. До
нелогічних термінів належать насамперед імена і предикатори.

Ім’я — термін, що позначає будь-який предмет.

Предикатор — термін, що позначає ту чи іншу властивість предмета або
відношення.

Предикатори, що виражають властивості предметів, називаються
одномісними, а предикатори, які виражають відношення між предметами, —
неодномісни-ми (двомісними, тримісними тощо). Предметним значенням
предикаторів вважають множини, елементами яких є або окремі предмети,
або їх послідовності (наприклад, пари предметів).

Логічними термінами, які входять до складу простих висловлювань, є
квантор загальності та квантор існування.

Алфавіт логіки предикатів

І. Нетехнічні знаки. До нетехнічних належать нелогічні і логічні знаки:
предметні (індивідні) константи, предметні (індивідні) змінні,
предикатні символи, знаки логічних сполучників і знаки кванторів.

1. Предметні (індивідні) константи: а, Ь, с, а;, br сг.. Ці знаки
використовують для позначення власних імен природної мови («Чернігів»,
«Гегель», «Тетерів»).

2. Предметні (індивідні) змінні: х, у, z, x’, yr zr Якщо предметні
константи пов’язують з конкретними власними іменами, то предметні змінні
замінюють будь-яке ім’я відповідної предметної сфери («місто», «людина»,
«річка»).

. Предикаторні константи: Pn, Q», R», Sn, Pnr Qnr Rnv Snr.. Цими знаками
позначають предикатори природної мови. Верхній індекс вказує на їх
місткість, а нижній — на порядковий номер. Так, одномісний пре-дикатор
можна записати як Р\ двомісний — як Р2 тощо (прикладом одномісного
предикатора може стати вираз «бути електропровідним», двомісного — «бути
дешевшим, ніж», а тримісного — «розташовуватися між»).

4. Знаки логічних сполучників (ці знаки відомі нам з логіки
висловлювань): «—», «л», «v», «v», «—>», «<-»». 5. Знаки кванторів: V — знак квантора загальності і З — знак квантора існування. II. Технічні знаки: ( — ліва дужка; ) — права дужка; , — кома. Перелічені технічні знаки в логіці предикатів служать своєрідними знаками пунктуації. Алфавіт універсальніших штучних мов логіки предикатів поповнюється й деякими іншим знаками. Визначення правильно побудованих виразів У мові логіки предикатів є два види правильно побудованих виразів (п.п.в.) — це терми і формули. Визначення терма: 1. Будь-яка предметна константа є термом. 2. Будь-яка предметна змінна є термом. Іншими словами, символи а, Ь, с... (як предметні константи) і символи х, у, z... (як предметні змінні) є термами, чого не можна сказати про символи Р, Q, R тощо. Визначення формули: 1. Якщо t , г2,..., t — терми і П". є п-місним предикатором то Пп. (rr t2, .... tj є формулою.1 2. Якщо А є формулою, то й А (не-А) є формулою. 3. Якщо А і В є формулами, то формулами є й такі висловлювання, як «ААВ», «AVB», «AVB», «А—>В», «А<->В».

4. Якщо А є формулою, ах — предметною змін

ною, то й «ЗхА» і «VxA» теж є формулами 2.

Жоден інший вираз не є формулою.

Формули, наведені в першому пункті, називають простими, або атомарними,
а всі інші — складними, або молекулярними. Так, вираз Р1 — це знак
одномісного предикатора, ах — предметна змінна, яка є термом. Вираз же
Р1 (х, R (а)) не можна вважати формулою, бо R(a) не є термом.

Щоб перекласти на мову логіки предикатів висловлювання природної мови,
необхідно:

— всі кванторні слова замінити відповідно кванто

рами загальності чи існування (V, 3);

— всі слова, які є власними іменами, замінити предметними (індивідними)
константами (а, Ь, с…);

— всі слова, які є загальними іменами, замінити предметними
(індивідними) змінними (х, у, 2…);

— всі слова, які позначають властивості предметів, замінити одномісними
предикаторами, а слова, що позначають відношення, — двомісними чи
багатомісними предикаторами.

Після цього можна записати формулу в цілому. Розглянемо кілька прикладів
перекладу висловлювань природної мови на мову логіки предикатів.

1Верхній індекс «п» (п>1) вказує на те, яким є предика-тор: одномісним,
двомісним, тримісним. А нижній «і» свідчить про довільність предикатора.

2Символи tr t2 tn; 27″.; А, В належать не до знаків мови логіки
предикатів,»а до знаків метамови, з допомогоюякої говориться про вирази
логіки предикатів. 1. «Всі квадрати — ромби». Позначивши кванторне слово
«всі» знаком «V», «квадрати» — «х», а «ромби» — «Р», одержимо формулу
«УхР(х)». Це висловлювання можна зобразити засобами мови предикатів і
по-іншому «Ул: (P(x)-Q(x))», де «Р» і «<3» позначають відповідно властивості «бути квадратом» і «бути ромбом». Цей вираз читається: «Для будь-якого х вірно, що коли х є квадратом, то він є ромбом». 2. «Деякі ромби — квадрати» — 3X(Q(X)AP(X)), що означає «Існують такі х, для яких вірно, що х є ромбом і квадратом». 3. «Деякі ромби не квадрати» — 3X(Q(X)AP(X)), що означає: «Існують такі х, для яких вірно, що х — ромб і х не є квадратом». 4. «Жоден квадрат не є трикутником» — Vx (P(x)—> —>R(x)), що означає: «Для будь-якого х
вірно, що коли х є квадратом, то він не є трикутником». Зв’язані та
вільні змінні

Приписування до предиката квантора загальності чи квантора існування
називається операцією зв’язування квантором.

Квантифікація може здійснюватися одночасно по відношенню до кількох
пропозиційних функцій, а також при одночасному використанні кількох
кванторів. Тому необхідно враховувати сферу дії кожного квантора, ту
частину квантифікованої функції, на яку поширюється дія того чи іншого
квантора. Так, у формулі \/x(P(x)~>3y(Q(x)vR(y))) сферою дії квантора
загальності є вся частина формули, розташована справа від цього квантора
(тобто P(x)~>3y(Q(x)vR(y ) ), а сферою дії квантора існування — тільки
Q(x)vR(y). Змінна, яка розташована безпосередньо після квантора і
входить у сферу його дії, називається зв’язаною змінною, а змінна, яка
не входить до сфери дії квантора, — вільною.

Розглянемо відмінність між вільними і зв’язаними змінними на такому
прикладі:

Ух (P(x)->R(u))A3y(Q(x,y)vR(x,z)).

Тут дужки вказують на сферу дії кожного квантора. Вільні змінні (змінні,
що вільно входять до формули) підкреслено. Лише вони є справжніми
змінними, а зв’язані змінні називають фіктивними. Справді, змінна — це
те, замість чого можна підставити одне з її значень і одержати
осмислений вираз, проте зв’язані змінні не задовольняють цієї умови.

Формули \/хР(х) і УуР(у) різняться лише своїми фіктивними змінними, тому
вони розглядаються як різні способи запису одного і того ж висловлювання
і називаються конгруентними.

Формули, в яких усі індивідні змінні зв’язані, називаються замкненими.
Ці формули є символічними записами певних висловлювань, істинних або
хибних. А формули, до складу яких входять вільні індивідні змінні, є
символічними записами пропозиційних форм, які неможливо однозначно
оцінити як істинні чи хибні. Такі формули називають відкритими.

Змінну, яка вільно входить до формули, можна замінити на іншу індивідну
змінну. Причому, якщо змінна, що вводиться у формулу, відрізняється від
усіх інших індивідних змінних цієї формули, то всі вільні входження
індивідних змінних є вільними. У цьому разі фактично відбувається лише
переіменуван-ня індивідної змінної (наприклад, х на г). Якщо ж під час
заміни індивідної змінної (скажімо, х на z) виявиться, що в цій формулі
вже є входження 2 і до того ж зв’язане, то може виникнути ситуація, яку
називають колізією змінних, коли в результаті заміни, скажімо, х на 2,
вільні входження індивідної змінної перетворюються на зв’язані. У
правильних міркуваннях така (некоректна) заміна неприпустима, оскільки
вона може призвести до хибних тверджень. Так, заміна вільної індивідної
змінної х у формулі Зу(х < у) на у є некоректною — Зг/(у < у), оскільки перетворює істинне висловлювання на хибне: «Існує таке число (у), яке є більшим за себе». Ознайомившись із наведеними поняттями, можна починати розгляд системи виводу в логіці предикатів. Ця система містить правила виводу логіки висловлювань і правила введення й усунення кванторів. Досі йшлося про логіку предикатів першого ступеня, в якій квантори зв'язують предметні змінні. Проте, щоб охопити всі вирази природної мови, не Достатньо ні логіки висловлювань, ні логіки предикатів першого ступеня. В розмовній мові трапляються предикати не лише від предметних змінних, а й від предикатів. Іншими словами, бувають ситуації, коли виникає потреба в мові ширшого порядку. Йдеться про можливість побудови мови логіки предикатів другого, третього, четвертого чи будь-якого іншого ступеня порядку. Для роздумів Крім традиційного, можна було б запропонувати й інші визначення судження, скажімо, як форми мислення, з допомогою якої встановлюється відношення між обсягами понять: у стверджувальних — як сумісних, тобто або тотожних, або перехресних, або таких, що перебувають у відношенні підпорядкування, в заперечних — як несумісних. Щоправда, обсяг предиката частково заперечного судження є несумісним лише з тією частиною обсягу суб'єкта, яка дійсно в ньому мислиться. Так, у судженні «Тільки деякі ромби не належать до квадратів» квадрати повністю виключаються не з усієї множини ромбів, а лише з певної їх підмножини. При додатковій інформації можна встановити, що квадрати повністю виключаються із підмножини не прямокутних ромбів. , . ? ‚ gd‰+› & gd‰+› gd‰+› . ‚ " B d x ? f//////i///aaaaaaaaaaaaaaaa gd‰+› & *J*\*h*t*oooooooooooooooooooooooooooo & & gd‰+› KcM OfSaSDU.X?XIXOXdZ:\iiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa d2dHd^dtd?doooooooooooooooooooooooooooo …a…6†oooooooooooooooooooooooooooo ??·?eUioooooooooooooooooooocccooo gd‰+› Dа червона» троянда мислено включається до обсягу поняття «червона». Ця істина фактично визнається при встановленні розподіленості термінів у судженні. Мають місце суперечності й при з'ясуванні структури судження. Так, розкриваючи структуру судження, цілком слушно стверджують, що суб'єкт судження може виражатися як групою граматичного підмета, так і групою граматичного присудка. Наприклад, у судженні «Риба дихає зябрами», яке є відповіддю на запитання «Хто дихає зябрами?», суб'єктом є поняття «ті, хто дихає зябрами», а предикатом — «риба». Та визнавши цю незаперечну істину, автори підручників тут же відмовляються від неї, стверджуючи, ніби суб'єкт займає перше місце в судженні і, як правило, супроводжується відповідними кванторними словами («всі», «жоден», «деякі» тощо). Парадоксально, що студенти не помічають цієї метаморфози. Спантеличені словами викладача логіки про те, що предмет думки може виражатися не лише групою граматичного підмета, а й групою граматичного присудка, вони відразу заспокоюються, коли викладач відмовляється від своїх слів, завжди ставлячи на перше місце суб'єкт, а на друге -— предикат («Всі S є Р», «Деякі S є Р»). Не виключена можливість, що такий підхід до аналізу суджень, коли на перше місце ставиться суб'єкт, має певний сенс. Та про це необхідно відверто заявити, скажімо, так: «Пам'ятаючи, що суб'єкт і предикат судження можуть виражатися як групою підмета, так і групою присудка, домовимося, що в подальшому вивченні суджень ми будемо ставити на перше місце суб'єкт і виражатимемо його, як правило, групою підмета. В іншому разі аналіз суджень буде ускладненим, оскільки вивченню будь-якого аспекту теми «Судження» знову і знову передуватиме визначення його конкретної структури. До того ж таке визначення поза контекстом і актом мовлення неможливе. А пізніше, вивчаючи операцію обернення, необхідно знову повернутися до цього питання, зазначивши, що з допомогою цієї операції можна домогтися того, щоб суб'єкт судження завжди був на першому місці. Визначити розподіленість термінів судження формально-логічними засобами вдається не завжди, що в кінцевому підсумку негативно виявляється в процесі міркування. Встановлюючи розподіленість термінів судження, треба враховувати лише його форму, а не зміст. При цьому слід брати до уваги і ту обставину, що основним завданням при аналізі суджень, які нам пропонуються (як аргументи доведення чи засновки умовиводів), є з'ясування їх будови. Так, суб'єкт судження «Всі люди мають високу мораль» може здатися нерозподіленим на тій підставі, що фактично не всі люди належать до високоморальних. Але ж при цьому ми свавільно змінили кількісну характеристику запропонованого нам судження. Кванторне слово «всі» свідчить про те, що суб'єкт цього судження розподілений, а предикат — невизначений (як предикат стверджувального судження), хоча при врахуванні змісту він виявився б розподіленим, оскільки всі високоморальні належать до людей. Класифікуючи судження, треба віднести судження існування до атрибутивних. Ніхто не стане заперечувати, що наявність буття є атрибутом усіх речей у прямому розумінні цього слова. Непереконливим є і поділ суджень на ймовірні та достовірні. Формально-логічні критерії не дають змоги відрізнити взяті поза контекстом справді достовірні судження від імовірних. Адже ніхто не стане заперечувати, що судження «Мабуть, усі метали електропровідні» за формально-логічними критеріями має ймовірнісний характер, а судження «Немає сумніву в тому, що Сонце є супутником Землі» є достовірним. Тому поділ суджень на ймовірні і достовірні потребує уточнення. Це стосується і визначення цих суджень у системі формальної логіки. Недосконалим видається і «логічний квадрат». Справді, якщо часткові судження (7, О) вважати визначеними («Тільки деякі S є Р», «Тільки деякі S не є Р»), то два суперечних судження можуть бути одночасно хибними, а істинним виявиться третє судження, що суперечить закону виключеного третього, який твердить: із двох суперечних суджень одне неодмінно істинне, друге — хибне, а третього і бути не може. Так, судження «Жоден метал не є електропровідним» і «Тільки деякі метали електропровідні» є одночасно хибними, а істинним виявиться третє судження «Всі метали електропровідні». Якщо ж часткові судження вважати невизначеними (тобто формулу «Деякі S є (не є) Р» інтерпретувати як «Принаймні деякі S є (не є) Р»), то виникає інша проблема: два суперечних судження можуть виявитися протилежними з усіма відомими наслідками, насамперед тим, що вони можуть бути одночасно хибними. Як же ми, викладачі логіки, виходимо з цього глухого кута? Намагаємося довести студентам, ніби з двох суперечних суджень одне неодмінно істинне, оскільки невизначене часткове судження фактично містить у собі два судження «Деякі S (а можливо, і всі S) є Р». Якщо закон виключеного третього уже своєю назвою не припускає можливості третього, то в невизначеному частковому судженні третє мислиться з самого початку («А можливо, і всі S є Р»; «А можливо, і жодне S не є Р»). У символічній логіці, зокрема в логіці висловлювань, аналогічні проблеми розв'язуються іншими засобами і коректніше. Так, з істинності судження а з необхідністю випливає хибність в, і навпаки. При цьому а означає будь-яке за кількістю і якістю судження, а в є судженням про вихідне судження — «Хибно, що а...». Багато позитивного пишуть про символічну логіку, її значення. Проте, наскільки автору відомо, ніхто не висвітлює питання про втрати логічної науки від недооцінки традиційної логіки. Цікаво було б зіставити, зокрема, вчення традиційної логіки про складні судження і логіку висловлювань та логіку предикатів і з'ясувати питання, чи всі здобутки цього вчення збереглися в логіці висловлювань. Загальна характеристика законів логіки Ще філософи Давнього світу здогадувалися про те, що зв'язки між думками в структурі міркування не залежать від волі того, хто міркує, а в міркуваннях є щось таке, що виступає як примусова сила стосовно суб'єкта мислення — людини. Скажімо, стверджуючи, що всі люди — егоїсти, автор цього судження (бажає він цього чи ні) називає егоїстом і себе. Здогад про наявність названих примусових сил (йдеться про об'єктивні, тобто незалежні від свідомості й волі людини закони, які діють у сфері мислення) був конкретизований у працях Арістотеля, котрий сформулював три із чотирьох основних законів логіки, — закони тотожності, суперечності й виключеного третього. Четвертий закон — закон достатньої підстави, — вважають деякі науковці, сформулював І\-В. Лейбніц, хоча подібні думки висловлювали й інші мислителі, зокрема Е. Паскаль. Перелічені закони логіки назвали основними на тій підставі, що вони виражають такі корінні риси логічно правильного мислення, як визначеність, ПОСЛІДОВНІСТЬ, несуперечливість1 і обґрунтованість думок. Несуперечливість є виявом послідовності мислення. Загальне визначення закону логіки тривалий час було нечітким, розпливчастим, надто широким. Закон мислення визначали як «внутрішній, необхідний, істотний зв'язок між думками» [49]. Іноді до перелічених ознак закону мислення додавали ще одну — загальність. Назване визначення відіграло певну гносеологічну роль, проте воно не давало можливості відрізнити справжні закони логіки від їх виявів — численних необхідних зв'язків між думками. Був час, коли висловлювалися твердження, ніби всі закони логіки вже відомі. А тим часом за допомогою засобів математичної (символічної) логіки було доведено, що законів мислення існує багато. Закони логіки мають загальнолюдський характер. їх повинні дотримуватися всі люди, незалежно від того, до якої раси, нації, соціальної групи вони належать. Якби люди керувалися не одними й тими самими законами мислення, то діяльність таких інституцій, як Організація Об'єднаних Націй, була б неможливою. Проте одна справа, що люди «повинні дотримуватися», а інша — чи дотримуються вони цих законів. Так, представники радикальних, фанатично налаштованих політичних партій та релігійних організацій, як правило, «не в ладах» з логікою. Всезагальність, універсальність законів логіки виявляється і в тому, що вони діють у всіх сферах людського мислення. Сучасна логіка визначає закон мислення як «завжди істинне» висловлювання (формулу). Сформульовані таким чином закони використовуються при розв'язанні складних логічних задач у кібернетиці, теорії релейно-контактних схем, у роботі електронно-обчислювальних машин, автоматичних пристроїв, математичній лінгвістиці тощо. Закон тотожності (скільки кожна річ, хоча й змінюється, проте зберігає свою визначеність у межах міри, то й думки про речі мають бути чітко визначеними. На сторожі визначеності думок і стоїть цей закон. Закон тотожності: кожна думка має бути чіткою за обсягом, ясною за змістом і залишатися незмінною в ході одного й того ж міркування. Цей закон спрямований безпосередньо проти нечітких, неясних, розпливчастих думок, а опосередковано — проти їх двозначності та багатозначності. Закони логіки переконливо ілюструються на прикладах міркувань, у яких ці закони порушено. Проаналізуємо таке міркування: Вулкани — гори. Гейзери — вулкани. Отже, гейзери — гори. У цьому міркуванні порушено закон тотожності, оскільки поняття «вулкан» у першому судженні означає результат виверження у формі застиглої лави, а в другому — власне виверження і до того ж у вигляді води або пари. Причиною невиправданого ототожнення названих понять є невизначеність їх обсягу. В першому судженні ця невизначеність зумовлена відсутністю кванторного слова, а в другому — тим, що поняття «вулкан» тут відіграє роль предиката стверджувального судження. Оскільки в сучасній логіці абстрагуються не лише від змісту, а часто й від обсягу думок, беручи до уваги лише їх логічне значення (істинність чи хибність), то закони логіки, зокрема й закон тотожності, набувають тут гранично абстрактного характеру: «Будь-яке висловлювання є тотожним стосовно самого себе». Це означає, що, незалежно від кількості вживань висловлювання в деякому міркуванні, це висловлювання не повинно змінювати свого значення. Закон тотожності в математичній (сучасній) логіці формулюється ще й так: якщо висловлювання є істинним, то воно є істинним. Наприклад: «Якщо трава зелена, то вона зелена» [93]. Схема закону: «А є А». В сучасній логіці цей закон виражають такими схемами: А—>А («Якщо А, то А»); А++А («А тоді і тільки тоді, коли А»).

Щоб дотримуватися закону тотожності, треба знати відповідну сферу
об’єктивної дійсності, про яку йдеться в міркуванні; вміло користуватися
синонімами й омонімами; використовувати найновішу наукову термінологію;
не вдаватися до полеміки, попередньо не визначивши тезу доведення і
основних понять, якими доводиться оперувати в процесі полеміки. При
цьому не слід забувати, що закони логіки іноді порушують навмисне
(йдеться про софізми).

Закон несуперечності

Закон несуперечності: два судження, в одному з яких щось стверджується,
а в другому те саме, в той же час і в тому ж відношенні заперечується,
не можуть бути одночасно істинними.

Згідно з відомими висновками за «логічним квадратом» цей закон можна
сформулювати й так: два протилежні (контрарні) судження, як і два
суперечні, не можуть бути одночасно істинними. З того ж таки «квадрата»
випливає, що принаймні одне з цих суджень є хибним («принаймні одне…»,
бо деякі з названих суджень, а саме протилежні, обидва бувають одночасно
хибними).

Об’єктивною основою закону несуперечності є те, ще один і той самий
предмет не може одночасно мати і не мати одну й ту ж властивість.

Іноді запитують: а чому цей закон не діє на «квадраті» між судженнями
типу / та О? І це запитання виправдане, оскільки на перший погляд
здається, ні би з визначення умов, за яких логічний квадрат має сенс, і
формулювання закону суперечності випливаєвисновок про те, що і ці
судження не можуть бути одночасно істинними. Адже «логічний квадрат» має
сенс тоді, коли йдеться про одне і те саме, в один і той же час, в
одному й тому ж відношенні, але в судженнях, різних за своєю формою (А,
Е, І, О). Оскільки ж судження типу І та О взяті з «квадрата», то в них
ідеться про одне і те саме. При цьому в одному випадку щось
стверджується про це «одне і те саме», а в другому — заперечується.
Звідси нібито випливає висновок, що ці судження не можуть бути одночасно
істинними. Щоб розв’язати названу суперечність, необхідно уточнити
поняття «одне і те саме». Так, у судженнях «Деякі метали тонуть у воді»
і «Деякі метали нетонуть у воді» йдеться про «одне й те саме» у тому
розумінні, що суб’єктом обох цих суджень виступає поняття «метали», і не
про «одне й те саме», бо мають ся на увазі різні метали. Фактичні
суб’єкти названих суджень («метали, які тонуть у воді» і «метали, що не
тонуть у воді») є несумісними, суперечними поняттями.

Схема закону несуперечності: АлА («Хибно, що А і не-А одночасно
істинні»). Суперечні судження руйнують міркування. Виявлення
суперечностей в існуючих теоріях — необхідна умова їх удосконалення (чи
заміни).

Закон виключеного третього

Закон виключеного третього: із двох суперечних суджень одне неодмінно є
істинним, друге — хибним, а третього і бути не може. Якщо закон
несуперечності діє і між суперечними, і між протилежними судженнями, то
закон виключеного третього діє лише між суперечними судженнями —
загальностверджувальним і частковозаперечним, загалmнозаперечним і
частковостверджувальним, одиничним стверджувальним і одиничним
заперечним. Між протилежними судженнями цей закон не може діяти, бо вони
можуть бути одночасно хибними. Щоб діяти, необхідно прийняти одне і
тільки одне рішення. Це вимагає визнання істинності одного і лише одного
з двох суперечних суджень: «або.._ або…». Схема закону виключеного
третього : AvA («або А, або не-А»). Закон достатньої підстави

Необхідною рисою логічно правильного мислення є його доведеність,
обґрунтованість. Даний закон нерозривно пов’язаний з цією рисою
мислення. Закон достатньої підстави: достовірною треба вважати тільки ту
думку, істинність якої достатньо обгрунтована.

Цей закон не тільки дозволяє, а й змушує нас сумніватися в істинності
(чи хибності) будь-яких думок. Важко перебільшити гуманістичний
потенціал цього закону. Адже він, забороняючи приймати на віру будь-які
думки, тим самим захищає право кожної людини на сумніви, власні погляди,
переконання, світогляд.

Далеко не всі логіки надають положенню про необхідність обґрунтованості
думок статусу логічного закону. При цьому вдаються до вагомих
аргументів, зокрема таких, що формулювання положення, яке претендує на
статус закону достатньої підстави, не піддається формалізації, його не
можна переконливо виразити засобами сучасної логіки у вигляді формули.

Проте не можна ігнорувати специфіку законів традиційної логіки, смисл
яких не вичерпується засобами математичної логіки.

Закон подвійного заперечення

Закон подвійного заперечення — логічний закон, згідно з яким заперечення
дає твердження, із твердження випливає його подвійне заперечення, а
подвійне заперечення рівносильне твердженню.

Закон подвійного заперечення розглядають і як назву кількох законів,
які, хоч і відрізняються один від одного, та разом з тим перебувають в
органічному взаємозв’язку. Це стосується і назв багатьох інших законів.
Закон зняття подвійного заперечення: подвійне заперечення дає
твердження. Цей закон дозволяє відкидати подвійне заперечення.
Наприклад: «Ці друзі не належать до ненадійних. Отже, вони належать до
надійних» (або: «Якщо хибно, що ці друзі ненадійні, то вони надійні»).

Закон подвійного заперечення був відомий ще античним мислителям V—IV ст.
до н. е., зокрема Зено-ну Елейському TaJTopriio.

Схема закону: А—>А («Коли хибно, що хибно, що-А, то А»).

Закон введення подвійного заперечення: із твердження випливає його
подвійне заперечення.

Цей закон дозволяє вводити подвійне заперечення. Наприклад: «М. Шолохов
— автор «Тихого Дону». Отже, М. Шолохов не є неавтором «Тихого Дону»
(або: «М. Шолохов — автор «Тихого Дону». Отже, хибно, ніби М. Шолохов є
неазтором «Тихого Дону»).

Схема закону: А—>А («Якщо А, то хибно, ніби не-А»). Повний закон
подвійного заперечення: подвійне заперечення рівносильне відповідному
твердженню.

Наприклад: «Це число не є непростим тоді і тільки тоді, коли воно
просте» (або «Хибно, що це число непросте тоді і тільки тоді, коли воно
просте»).

Схема закону:A-tA («Хибно, що не-А тоді і тільки тоді, коли А»). Як
слушно зауважує І. Хоменко, «…логічний сполучник «заперечення» в
природній мові не завжди виражається словами «невірно, що…», або
часткою «не». Можливі також інші варіанти» [89]. Це необхідно брати до
уваги. При цьому автор наводить приклад вислову, в якому нараховується
аж п’ять заперечень {«Не є правим той, хто не погоджується із
спростуванням твердження, що на цей раз необачно було б наполягати на
тому, що цей злочин вчинив не Н.» [89]. У наведеному вислові заперечення
застосовується п’ять разів. Відкинувши, згідно із законом зняття
подвійного заперечення, два подвійних заперечення, одержуємо «Н. не
вчинив цього злочину». Закон ідемпотентності

Закон ідемпотентності (лат. «що зберігає той самий ступінь») — логічний
закон, який стверджує, що повторення будь-якого висловлювання через «і»
(кон’юнкцію) чи «або» (диз’юнкцію) рівнозначне самому висловлюванню. Цей
закон дозволяє виключати з міркування повторення одного й того ж
висловлювання.

Закон ідемпотентності для кон’юнкції: повторення висловлювання через «і»
(кон’юнкцію) рівнозначне самому висловлюванню.

Змістовні приклади вияву цього закону мають досить банальний вигляд:
висловлювання «Квадрати мають прямі кути, і квадрати мають прямі кути»
рівнозначне висловлюванню «Квадрати мають прямі кути ». Схема закону:
(АлА)<-*А («А і А тоді і тільки тоді, коли А»). Закон ідемпотентості для диз'юнкції: повторення висловлювання через «або» (диз'юнкцію) рівнозначне самому висловлюванню. Схема закону: (AvA)<->A («А або А тоді і тільки тоді, коли А»). Закон
комутативності\

Закон комутативності (лат. commutatio «зміна») — логічний закон, який
дозволяє міняти місцями висловлювання, зв’язані логічними сполучниками
«і» (кон’юнкція) та «або» (диз’юнкція).

Закон комутативності для кон’юнкції: висловлювання, зв’язані логічним
сполучником «і» (кон’юнкція), можна міняти місцями. Наприклад,
висловлювання «Ознаки є істотними і загальними» рівнозначне
висловлюванню «Ознаки є загальними й істотними». Схема закону:
(АЛВ)<->(ВЛА) («А і Б тоді і тільки тоді, коли В і А»). Закон
комутативності для диз’юнкції: висловлювання, зв’язані логічним
сполучником «або» (диз’юнкція), можна міняти місцями. Наприклад,
висловлювання «Міркування є правильним або неправильним» адекватне
висловлюванню «Міркування є неправильним або правильним». Схема закону:
(AvB)+->(BvA) («А або В тоді і тільки тоді, коли В або А»). Однак існує
відмінність між значенням слів «і», «або» та деяких інших у природній
мові і штучній (мові сучасної логіки). Так, якщо сполучник «і» вказує на
послідовність подій, то міняти місцями висловлювання, зв’язані таким
сполучником, не можна. Наприклад: «Закінчився перший етап будівництва, і
розпочався другий».

Дія закону комутативності не поширюється на логічний сполучник «якщо…,
то…» (імплікацію), оскільки висловлювання «А—>В» не рівнозначне
висловлюванню «В—>А», про що свідчить таблиця істинності імплікації.

Для правильної заміни підстави і наслідку в імплікації логіка вдається
до закону контрапозиції.

Закони контрапозиції

Закон контрапозиції — логічний закон, який дозволяє з допомогою
заперечення міняти місцями антецедент і консеквент.

Розрізняють закони простої контрапозиції і складної контрапозиції.
Перший закон простої контрапозиції: якщо з першого висловлювання
випливає друге висловлювання, то із заперечення другого висловлювання
випливає заперечення першого висловлювання.

Схема закону: (А—>В)—> (В->А) («Коли відомо, що якщо А, то В, то якщо
не-В, то не-А»).

Наприклад: «Коли відомо, що якщо сума цифр числа ділиться на 3, то це
число ділиться на 3, тоді істинно, що якщо число не ділиться на 3, то
сума його цифр теж не ділиться на З».

Другий закон простої контрапозиції: якщо із заперечення першого
висловлювання випливає заперечення другого, то з другого висловлювання
випливає перше висловлювання.

Схема закону: (А—>В)—>(В->А). («Коли відомо, що якщо не-А, то не-JB, то
якщо В, то А»).

Наприклад: «Коли відомо, що якщо сума цифр числа не ділиться на 3, то й
це число не ділиться на З, тоді істинно, що якщо це число ділиться на 3,
то й сума його цифр ділиться на З».

Третій закон простої контрапозиції: якщо з першого висловлювання
випливає заперечення другого висловлювання, то з другого висловлювання
випливає заперечення першого висловлювання.

Схема закону: (А—>В)->(В-*А). («Коли відомо, що якщо А, то не-В, то якщо
В, то не-А»).

Наприклад: «Коли відомо, що якщо ромб має два гострі кути, то він не є
квадратом, то якщо ромб є квадратом, то він не має двох гострих кутів».
Четвертий закон простої контрапозиції: якщо із заперечення першого
висловлювання випливає друге висловлювання, то із заперечення другого
висловлювання випливає перше висловлювання.

Схема закону: (А->В)->(В->А). («Коли відомо, що якщо не-А, то В, то якщо
не-В, то А»).

Наприклад: «Якщо відомо, що коли число не ділиться на два, то воно
непарне, то якщо число не є непарним, то воно ділиться на два». Закони
складної контрапозиції

Перший закон складної контрапозиції: з першого і другого висловлювань
випливає третє висловлювання тоді і тільки тоді, коли з першого
висловлювання і заперечення третього висловлювання випливає заперечення
другого висловлювання.

Схема закону: ((АлВ)—>С)<->((АлС)->В) («Коли відомо, що з А і В випливає
С, то тоді і тільки тоді з А і не-С випливає не-Б»). Другий закон
складної контрапозиції: з першого висловлювання випливає друге або третє
висловлювання тоді і тільки тоді, коли із заперечення другого
висловлювання випливає заперечення першого висловлювання або третє
висловлювання. Схема закону: (A—>(BvC))<->(B—>(AvC)) («Коли відомо, що
якщо А, то В або С, то тоді і тільки тоді з не-S випливає не-А або С»).

Закон асоціативності

Закон асоціативності — логічний закон, який дозволяє по-різному
поєднувати висловлювання, з’єднані з допомогою логічних сполучників «і»
(кон’юнкція), «або» (диз’юнкція) тощо.

Закон асоціативності для кон’юнкції: висловлювання, з’єднані логічним
сполучником «і» (кон’юнкція), можна поєднувати з допомогою дужок
по-різному.

Схема закону: ((АЛВ)ЛС)<->(АЛ(ВЛС))(«(А і В) і С тоді і тільки тоді,
коли А і (В і С)»).

Закон асоціативності для диз’юнкції: висловлювання, з’єднані логічним
сполучником «або» (диз’юнкція), можна поєднувати з допомогою дужок
по-різному.

Схема закону: ((AvB)vC)<-*(Av(BvC)) («(А або В) або С тоді і тільки тоді, коли А або (В або С)»). Закон дистрибутивності Закон дистрибутивності — логічний закон, який дозволяє розподіляти один логічний сполучник стосовно іншого. Закон дистрибутивності кон'юнкції стосовно диз'юнкції: у формулах можна розподіляти кон'юнкцію стосовно диз'юнкції. Схема закону: (Ал(BvC)<->((АлВ)V(AAC)) («А і (В або С), якщо і тільки якщо (А і В) або
(А і Cj»).

Закон дистрибутивності диз’юнкції стосовно кон’юнкції: у

формулах можна розподіляти диз’юнкцію стосовно кон’юнкції. Схема закону:
(AV(BAC)<-*((AVB)A(AVC)) («А або (В і С), якщо і тільки якщо (А або В) і (А або С)»). Закони де Моргана Закони де Моргана — логічні закони, які пов'язують заперечення, кон'юнкцію і диз'юнкцію. Перший закон де Моргана: заперечення кон'юнкції еквівалентне диз'юнкції заперечень. Схема закону: (AAB)<->(AVB) («Хибно,
що А і В тоді і тільки тоді, коли хибно, що А, або хибно, що В»).

Другий закон де Моргана: заперечення диз’юнкції еквівалентне кон’юнкції
заперечень.

Схема закону: (AVB)<->(AAB) («Хибно, що А або В тоді і тільки тоді, коли
хибно, що А і хибно, що В»).

Закони де Моргана дають можливість, використовуючи заперечення, виражати
логічну зв’язку «кон’юнкція» через логічну зв’язку «диз’юнкція», і
навпаки.

Похожие записи