Реферат

на тему:

Класична логіка предикатів

План

Предикат.

Логіка предикатів.

Числення предикатiв.

Відмітні риси логіки предикатів.

Закони логіки висловлень і логіки предикатів.

Список використаної літератури.

Предикат.

Предикат — в традиційній логіці один з двох термінів думки, а саме
той, в якому щось мовиться про предмет мови (суб’єкт). До кінця 19 ст. у
логіці суб’єкт думки, як правило, ототожнювався з граматичним підметом,
а предикат — з іменною частиною граматичного присудка, що виражається,
наприклад, прикметником. традиційним огглядом, форма присудка
(предикативний зв’язок) зводилася до атрибутивного зв’язку, т. про
означала, що предмету (суб’єктові) властива певна ознака. Розвиток
математичної логіки сів до перегляду цій точці зору.

Новий погляд характеризується узагальненням поняття «Предиката»
на основі поняття особливого роду функції — логічної (або
пропозіциональної) функції, значеннями якої служать вислови (або їх
істинне значення — «істина» і «брехня»). Напр., вислову «Сократ є
людина» в традиційному розумінні відповідала схема «S є Р». Якщо S і Р
розглядати як змінні, що мають різні області значень: S — область
«індивідуальних предметів», а Р — область «розумінь, напр., при виборі
поняття «людина» як значення змінної Р отримаємо вираз «S є людина», або
вираз «.. .є людина» (де крапки замінюють букву S), так ще, по суті,
функцію від однієї змінної, яка стає висловом (приймає значення «істина»
або «брехню»), коли на місце крапок (або змінній S) ставлять ім’я
деякого суб’єкта (напр., «Сократ»), що грає тут звичайну роль аргументу
функції. Аналогічно цьому вираз «…більше, чим…» є функція від двох
змінних, а вираз «…находится між… і…» — функція від трьох змінних
і т.п.

В математичній логіці функції, значеннями яких служать вислови
(або їх істинне значення «відмітка» і «брехня»), і називають предикат Т.
обр., новий погляд на логічну структуру думки зводиться до того, що
традиційні поняття предиката і суб’єкта замінюються відповідно на точні
математичні поняття функції і її аргументів. Відповідно до цього
предикат визначаються на множинах (областях предметів), елементи
доелементи яких служать аргументами, або значеннями відповідних змінних,
нове трактування предикат додає необхідну спільність логічному
міркуванню, яке об’єднує висновки не тільки силогізму, але і
несилогізму, а функціональна форма запису відкриває широкі можливості
для формалізації висловів будь-якій науковій теорії.

Логіка предикатів.

Логіка Предикатів — або: Функціональна логіка, теорія квантифікації,
логіка квантора, — основной розділ сучасної (математичної, символічної)
логіки, в якому описуються виводи, що враховують внутрішню
(суб’єктний-предикативну) структуру висловів. Логіка Предикатів є
розширеним варіантом логіки висловів.

У Логіці Предикатів — на додаток до засобів логіки висловів
-вводяться логічні оператори » («для всіх») і $ («для деяких» або
«існує»), звані кванторами спільності і існування відповідно. Для
виявлення субъектно-предикативної структури висловів вводиться
нескінченний перелік індивідних змінних: х, у, z …, х1, у1, zl …, що
представляють різні об’єкти, і нескінченний перелік предикативних
змінних: Р, Q, R …, Р1, Q1, Л1 …, представляючої властивості і
відношення об’єктів.

Індивідні змінні приймають значення в довільній (непорожній)
області; разом з цими змінними можуть вводитися індивідні константи, або
імена власні. Запис («х) Р (х) означає «Всякий х володіє властивістю Р»;
($х)Р(х) — «Деякі х володіють властивістю Р»; ($x)Q(xy) — «Існує х, що
знаходиться відносно Q з у» і так дальше. Індивідна змінна, що входить в
область дії квантора по цій перемінній, називається зв’язаною; змінна,
що не є зв’язаною, називається вільною.

Так, у всіх трьох приведених формулах змінна х зв’язана, в
останній формулі переменна у вільна. Справжньою змінною є тільки
свобідна змінна: замість неї можна підставити одне з її значень і
отримати осмислений вираз. Зв’язані перемінні називаються фіктивними.
Формула Логіки Предикатів називається загальнозначною, якщо вона істинна
в кожній інтерпретації. Тавтологія логіки висловів является окремим
випадком загальнозначної формули. У Логіки Предикатів, на відміну від
логіки висловів, немає ефективного процесу, дозволяє для довільно узятої
формули вирішити, є вона загальнозначна чи ні.

Числення предикатiв.

Числення висловлень, що розглядалось у попереднiх роздiлах, як
алгебра висловлень i як формальна (аксiоматична) теорiя, є важливою i
невiд’ємною складовою частиною всiх числень математичної логiки. Однак
воно є занадто бiдним для опису та аналiзу найпростiших логiчних
мiркувань науки i практики.

Однiєю з причин цього є те, що у численнi висловлень будь-яке просте
висловлення розглядається як вихiдний об’єкт дослiдження, неподiльне
цiле, позбавлене частин i внутрiшньої структури, яке має лише одну
властивiсть — бути або iстинним, або хибним.

Для того, щоб побудувати систему правил, яка дозволяла б проводити
логiчнi мiркування для виведення нетривiальних правильних висновкiв з
урахуванням будови i змiсту простих висловлень, пропонується формальна
теорiя, що дiстала назву числення предикатiв.

Теорiя предикатiв починається з аналiзу граматичної будови простих
висловлень i грунтується на такому висновку: простi висловлення
виражають той факт, що деякi об’єкти (або окремий об’єкт) мають певнi
властивостi, або що цi об’єкти знаходяться мiж собою у певному
вiдношеннi.

Наприклад, в iстинному висловленнi «3 є просте число» пiдмет «3» — це
об’єкт, а присудок «є просте число» виражає деяку його властивiсть.

У латинськiй граматицi присудок називається предикатом, звiдси цей
термiн i увiйшов у математичну логiку. Головним для логiки предикатiв є
саме друга складова речення-висловлення — присудок-властивiсть. Вона
фiксується, а значення об’єкта пропонується змiнювати так, щоб кожен раз
отримувати осмисленi речення, тобто висловлення.

Наприклад, замiнюючи у наведеному вище висловленнi 3 на 1, 5, 9 або 12,
матимемо вiдповiдно такi висловлення: «1 є просте число», «5 є просте
число», «9 є просте число», «12 є просте число», з яких друге є
iстинним, а решта — хибними висловленнями.

Таким чином, можна розглянути вираз «x є просте число», який не є
висловленням, а є так званою пропозицiйною (висловлювальною) формою.
Тобто формою (або формуляром), пiсля пiдстановки в яку замiсть параметра
(змiнної) x об’єктiв (значень) з певної множини M, дiстаємо висловлення.

Аналогiчно можна трактувати, наприклад, пропозицiйнi форми «a є
українцем», «b i c є однокурсники», «c важче d», або «точка x лежить мiж
точками y i z». У першi двi з них можна пiдставляти замiсть параметрiв
a, b i c прiзвища конкретних людей. У третю замiсть c i d назви
будь-яких об’єктiв (предметiв), якi мають вагу. Для четвертої множиною M
значень змiнних x, y i z є множина точок певної прямої.

Перша з цих пропозицiйних форм задає, як i в наведенiй ранiше формi,
певну властивiсть для об’єкта a. Iншi три форми описують деякi
вiдношення мiж вiдповiдними об’єктами.

Розглянувши конкретнi приклади i коротко зупинившись на мотивацiї та
змiстовнiй iнтерпретацiї подальших понять, перейдемо до формальних
математичних означень.

n-мiсним предикатом P(x1,x2,…,xn) на множинi M називається довiльна
функцiя типу Mn?B, де B = {0,1} — бульовий (двiйковий) алфавiт.

Множина M називається предметною областю, або унiверсальною множиною, а
x1,x2,…,xn — предметними змiнними, або термами предиката P.

Множина елементiв (a1,a2,…,an)?Mn таких, що P(a1,a2,…,an) = 1
називається областю iстинностi (або характеристичною множиною) предиката
P.

Якщо P(a1,a2,…,an) = 1, то згiдно з логiчною iнтерпретацiєю будемо
говорити, що предикат P є iстинним на (a1,a2,…,an). У противному разi,
казатимемо, що предикат P є хибним.

Взагалi кажучи, можна означити так званий багатосортний предикат, як
функцiю типу M1?M2?…?Mn?B, дозволивши різним його аргументам приймати
значення з рiзних множин. Iнодi це буває доцiльним; однак частiше в
логiцi предикатiв використовують наведене ранiше означення.

Неважко зрозумiти, що пропозицiйна форма є одним зi способiв задання
предиката.

Для n = 1 предикат P(x) називається одномiсним або унарним, для n = 2
P(x,y) — двомiсним або бiнарним, для n = 3 P(x,y,z) — трьохмiсним або
тернарним предикатом.

Очевидно, що коли в n-арному предикатi P(x1,x2,…,xn) зафiксувати деякi
m змiнних (тобто надати їм певних значень з множини M), то отримаємо
(n-m)-мiсний предикат на множинi M. Це дозволяє вважати висловлення
нульмiсними предикатами, якi утворено з багатомiсних предикатiв
пiдстановкою замiсть усiх їхнiх параметрів певних значень з предметної
областi. Таким чином, висловлення можна розглядати як окремий випадок
предиката.

Для довiльної множини M i довiльного n iснує взаємно однозначна
вiдповiднiсть мiж сукупнiстю всiх n-мiсних предикатiв на M i множиною
всiх n-арних вiдношень на M. А саме, будь-якому предикату
P(x1,x2,…,xn) вiдповiдає вiдношення R таке, що (a1,a2,…,an)?R тодi i
тiльки тодi, коли P(a1,a2,…,an) = 1. Очевидно, що при цьому R є
областю iстинностi предиката P.

Крiм того, за будь-якою вiдповiднiстю C мiж множинами A i B (тобто
C?A?B) можна побудувати бiнарний двосортний предикат P(x,y) таким чином:

P(a,b) = 1 тодi i тiльки тодi, коли (a,b)?C для a?A i b?B.

Зокрема, будь-якiй функцiональнiй вiдповiдностi або функцiї f: Mn?M
можна поставити у вiдповiднiсть (n+1)-мiсний предикат P на M такий, що
P(a1,a2,…,an,an+1) = 1 тодi i тiльки тодi, коли f(a1,a2,…,an) =
an+1.

Отже, такi фундаментальнi математичнi поняття як вiдповiднiсть (зокрема,
функцiя), вiдношення, висловлення можна розглядати як окремi випадки
бiльш загального поняття предиката.

Відмітні риси логіки предикатів.

Символічну логіку поділяють на логіку висловлень і логіку
предикатів. Логіка предикатів ґрунтуєтнся на логіці висловлень.

Якщо логіка висловлень ігнорує структуру простих висловлень, вивчаючи
тільки правильність зв’язків між ними, то логіка предикатів зосереджує
свою увагу саме на структурі висловлень

У логіці предикатів розрізняють логіку предикатів першого ступеня
(порядку) і логіку предикатів більш високая ступенів (порядків).

З часів Арістотеля (384— 322 до н. е.) у логіці існує поняття
«судження». Давньогрецький філософ означав його як думку, що стверджує
чи заперечує що-небудь про що-небудь.

Структурно судження складається з суб’єкта, предиката й
дієслова-зв’язки. Так, у судженні «Хома Брут є київський філософ» ім’я
«Хома Брут» є суб’єктом (5), вираз «київський філософ» — предикатом (Р),
а дієслово «є» — І зв’язкою.

Наприкінці XJX ст. математик і логік Г. Фреге піддай гострій критиці
традиційне тлумачення структури судження, продемонструвавши своє
критичне ставлення до ція традиції на прикладі двох речень:

«Греки завдали поразки персам при Платеях»; «Перси були розбиті
греками при Платеях».

Граматична відмінність між цими реченнями полягає І зміні активної
форми («греки завдали») на пасивну («роя биті греками»), тобто в першому
реченні суб’єктом є «греки», а в другому — «перси».

У живій мові часто буває так: те, що раніше виступало у ролі
суб’єкта (підмета), відносно легко може стати предикатом (присудком), і
навпаки. Але в такому разі відмінність має лінгвістичний характер, а не
строго логічний. Незважаючи на це, дані речення мають одне й те саме
значення істинності. У зв’язку з цим Фреге вважав, що словесний порядок,
який спирається на граматичне розмежування суб’єкта й предиката, не має
значення для логіки.

Необхідність переосмислити сутність іменування в логіці була зумовлена
введенням Фреге понять «функція» і «аргумент». На його думку,
номінативний вираз («ім’я») можна поділити не тільки на суб’єкт й
предикат, а й на функцію і аргумент, що більше відповідає логіці, яка
орієнтується на математику, а не на психологію чи лінгвістику. Вчений
неодноразово наголошував, що поняття «функція» і «аргумент» лише
маркірують структурні особливості певного виразу, не зачіпаючи його
смислового змісту.

Запропонований фрегівський погляд на процес номінації (іменування)
був корисним для логіки тим, що давав змогу користуватися під час
логічного аналізу теоретико-множинними уявленнями (наприклад: функція як
відображення однієї множини в іншій множині), в результаті чого предикат
стали розглядати як пропозиційну функцію форми F(x).

Вчення про пропозиційні функції та квантори є найважливішим внеском
Фреге в сучасну логіку.

Пропозиційна функція за означенням є мовною конструкцією, яка
містить змінну. Ця конструкція за підстановки будь-якого значення для
даної змінної перетворюється на висловлення.

Тобто пропозиційною є така функція, яка співвідносить представників
певної предметної області з областю значень істинності.

Відомо, що вираз форми F(x) (де F — властивість певного індивіда х)
являє собою таку елементарну пропозиційну функцію, з якої одержують
елементарне (просте) висловлення, замінивши змінну позначеннями
конкретних індивідів. Наприклад: F(x) -> «х зелений» -» «трава зелена».

Отже, пропозиційна функція може стати висловленням тоді й тільки
тоді, коли аргумент (змінна) набуває конкретного предметного значення.
Уведення поняття «пропозиційна функція» надає математичної строгості
логічному аналізові висловлень (пропозицій).

Щоб побудувати складну пропозиційну функцію, необхідно здійснити певні
операції. У логіці символи цихі операцій називають кванторами, а самі
операції — кван-тифікацією пропозиційних функцій.

Хоч ідея квантифікації належить Фреге, автором термінів «квантор»
і «квантифікація» є американський вчений Ч. С Пірс (1839- 1914).

[email protected]???????????

gdi y

точно формулювати та строго доводити принципи логіки, на підставі яких
одні висловлення можна коректно виводити з інших.

Здавалося б, з поняттям «предикат» у логіці покінчено раз і
назавжди. Проте цей термін залишився: ним користуються, коли треба
вказати на можливість логічного аналізу структури висловлень. У такому
випадку термін «предикат» набув метафоричного значення. Так, у Д.
Гіль-J Берта, американського математика й логіка С. Кліні (1909— 1994)
цей термін вживається для позначення пропозиційної функції.

За допомогою предикації (пропозиційної функції) здійснюється
поєднання одиничного й загального термінів.

Логіки поділяють терміни на одиничні (сингулярні), загальні й
порожні. Одиничнії термін позначає один об’єкт, загальний — кілька
об’єктів; порожній термін не позначає жодного об’єкта.

Предикацію схематично зображують так: «х є F» (у традиційній
логіці це має вигляд «iS» є Р»). За допомогою символів пропозиційної
функції предикацію записують! так: F(x).

Закони логіки висловлень і логіки предикатів.

Різноманітність властивостей і відношень охоплює розширена логіка
предикатів, тобто логіка предикатів більш високого ступеня. Зокрема,
предикати другого ступеня (предикати предикатів) відображають
властивості, притаманні властивостям індивідів. Цю ієрархію можна
продовжувати скільки завгодно, та логіки зазвичай користуються
предикатами першого й другого ступенів.

Взявши до уваги вказані характерні риси логіки предикатів,
розглянемо застосування операцій логіки висловлень до предикатів на
прикладі найпростішого випадку одномісних предикатів.

Нехай М — певна множина, на якій означено предикати. Назвемо цю множину
областю. Кожному одномісному предикатові форми F{x) можна поставити у
відповідність множину елементів а з області М, для якої F(a) істинне.
Позначимо цю підмножину як Л^ і виконаємо зворотну операцію, а саме:
кожній множині, що належить М, можна поставити у відповідність предикат
Р(х), що являє собою висловлення, істинне тоді й тільки тоді, коли хє N.
Предикат Р(х) набуває значення «істина» на N і значення «ложність» поза
N. Отже, N є N. Така відповідність між підмножинами множини М і
одномісними предикатами, означеними на множині М, взаємно-однозначна.

Як відомо, теоретико-множинною сумою N{ u N2 двох множин УУ, і N2
називається множина, яка містить усі елементи множини /V, і всі елементи
множини N2. Teopeтико-множинним добутком, або перетином, /V, п N2 двох
множин /V, і N2 називається множина всіх елементів, які належать і
множині N{, і множині N2.

Таким чином, булеві операції ->, &, v над одномісними предикатами
відповідають операціям над множинами. Ці операції називаються перетином,
об єднанням і доповненням множин.

Якщо закони логіки висловлень застосовуються до виразів, котрі за
будь-якого розподілу значень істинності своїх пропозиційних змінних
набувають значення «істина», то з деякими поправками аналогічні закони
діють і в логіці предикатів. Що стосується поправок, то в даному випадку
слід ураховувати таке: якщо перетворення пропозиційної функції форми «х
має властивість Р» на істинне висловлення залежить передусім від обраної
індивідної області, то закони логіки предикатів треба шукати у виразах,
які не залежать від тієї чи іншої області індивідів як значень змінних,
але є значущими для будь-яких непорожніх областей. Річ у тім, що логіка
предикатів розглядає предикати взагалі, тобто вона цікавиться структурою
висловлень, незалежно від їхнього конкретного смислового змісту. Тому
закони логіки предикатів заявляють про себе в таких виразах, які не
залежать від конкретних значень предикатних змінних і є правильними для
будь-яких їхніх значень.

Одним із таких законів є закон виключеного третьог (середнього). У
символічному записі цей закон має вигляд:

\x(F(x) v Н F{x)).

Зауважимо, що в логіці є два формулювання одержання правильних
умовиводів. Перше постає у вигляд’ правил виведення, а друге — у вигляді
логічних законів.

Логічні правила — це своєрідні директивні вказівки, які базуються
на логічних законах і дають змогу визнавати правильними висловлення, що
утворені в результаті виведення з істинних посилок.

Законами логіки висловлень і предикатів називаються схеми побудови
істинних складних висловлень.Інакше кажучи, закони логіки висловлень і
предикатів — це такі вирази, яким за будь-яких підстановок значень
замість змінних завжди відповідає істинне висловлення. До цих законів,
які ще називають теоремами, належать:

1. Закон виключеного третього

2. Закон несуперечності

3. Закон подвійного заперечення:

4. Закон контрапозиції:

5. Закони, що характеризують кон’юнкцію:

6. Закони імплікативних силогізмів.

7. Закони, що характеризують диз’юнкцію.

8. Закони, що характеризують еквіваленцію (еквівалентність

9. Закони де Моргана.

Деякі вчені (Л. Е. Я. Брауер, Г. Вейль, А. Гейтінг) не визнають
універсальними законами логіки закон виключеного третього та закон
подвійного заперечення.

Традиційний для класичної логіки закон несупереч-ності мало кого
цікавить сьогодні, бо з нього випливає досить незначна кількість
нетривіальних теорем. Іноді закон несуперечності формулюють так: два
суперечні одне одному висловлення не можуть бути одночасно істинними.

Одним із цікавих законів логіки є закон контрапозиції. Розглянемо
його на такому прикладі.

Припустімо, Остап Бендер обіцяв Лоханкіну, що якщо буде час, то
сплатить за кімнату. Якщо Бендер тримає своє слово, але не сплачує
Лоханкіну, то висновок такий: у Бендера не було часу відвідати
Лоханкіна. Шляхом таких міркувань визнаємо істинним таке умовне
висловлення:

Якщо вірно, що (якщо (у Бендера буде час), то (Бендер відвідає
Лоханкіна)), то (якщо (Бендер не відвідав Лоханкіна), то це означає, що
(у Бендера не було часу)).

Це речення містить звороти «вірно, що» і «це означає, що», форма
яких у даному випадку не має принципового значення. До речі, підстановка
в логічні схеми (формули) конкретних значень із буденної мови часто
звучить штучно, навіть ріже слух, та логіки на це не зважають, тим
більше, що з такими підстановками вони майже не мають справи.

Можна вважати, що зворот «вірно, що якщо р, то q» означає те саме,
що «якщо р, то q». З цього випливає, що в наведеному прикладі легко
можна позбутися громіздких граматичних конструкцій. У результаті
матимемо:

Якщо (якщо (у Бендера буде час),

то (Бендер відвідає Лоханкіна)),

то (якщо (Бендер не відвідав Лоханкіна),

то (у Бендера не було часу)).

Заперечення всього висловлення можна розглядати як заперечення
всередині висловлення. Наприклад, висловлення «Невірно, що Бендер
відвідає Лоханкіна» означає те саме, що й «Бендер не відвідає
Лоханкіна».

На законі контрапозиції ґрунтується так зване непряме доведення, або
reductio ad absurdum (лат. — зведення до\ нісенітності). Тобто замість
того, щоб доводити р -> q, можна довести -і q -> -> p.

Слід мати на увазі, що кон’юнкція є переставною, або комутативною
(лат. commutatio — зміна), оскільки її члени \ можна міняти місцями. При
цьому приймається така ло-гічна теорема:

Якщо (р і q), то (<7 і р). Наприклад: Якщо ((Федір Микитович Хворобйов — запеклий монархіст) і (Волга впадає в Каспійське море)), то ((Волга впадає в Каспійське море) і (Федір Микитович Хворобйов — запеклий монархіст)). Маючи істинну кон'юнкцію, можна визнати істинним будь-який з її членів. Наприклад: Якщо (р і q), то р. Якщо (р і а), то q. Приймемо також до уваги теорему, відповідно до якої, разом із визначенням істинності двох висловлень, визнають істинність їхньої кон'юнкції, а саме: Якщо р, то (якщо q, то (р і q)). Надзвичайно важлива роль у приведених умовиводах належить імплікації. Відомо, що більшість наукових законів мають форму імплікацій. Характерним є й те, що багато рішень, які приймаються (у тому числі й безвідповідальні), також виражаються у формі імплікацій. Імплікації можуть бути як посилками умовиводів, так і висновками. Тому в логічних міркуваннях надається велике значення таким теоремам, які дають змогу з двох посилок, що є імплікаціями, робити певні висновки, котрі також є імплікаціями. Подібні теореми називаються імплікативни-ми силогізмами. Визнаючи за дві посилки дві імплікації (два імпліка-тивні висловлення) з однією й тією самою умовою істинності, маємо як висновок імплікацію (імплікативне висловлення) з тією самою умовою істинності. Крім того, консеквент даної імплікації являтиме собою кон'юнкцію консеквентів обох посилок. Відповідно за теорему логіки визнаємо такий вираз: Закон імплікативного силогізму виражає властивість транзитивності умовного висловлення. У математиці транзитивність (лат. transitus — перехід) — це властивість величин, яка полягає в тому, що якщо перша величина порівнянна з другою, а друга — з третьою, то перша величина порівнянна з третьою. Наприклад: якщо х - у і у = z, то х = Z. Не можна не сказати ще про одну логічну теорему, пов'язану з імплікативними силогізмами, а саме: Диз'юнкція, так само як і кон'юнкція, є комутативною (переставною). Наприклад, якщо хто-небудь стверджує, що «Паніковський — гусокрад або Паніковський не любить гусячого м'яса», то так само правильним буде твердження «Паніковський не любить гусячого м'яса або Паніковський — гусокрад». У такому випадку перехід від одного висловлення до іншого здійснюється на підставі теореми Досить цінною теоремою, що характеризує диз'юнкцію, є така: Еквіваленція також комутативна. Наприклад: Якщо (р тоді й тільки тоді, коли q), то (q тоді й тільки тоді, коли р).Наведемо основну теорему, яка характеризує еквіва-ленцію:У зв'язку з теоремою еквіваленції слід зазначити, що в математиці й у математичній логіці часто трапляються відношення, котрі виражають ту чи іншу подібність між розглядуваними об'єктами. У математиці такими об'єктами є, наприклад, подібні геометричні фігури, а в логіці — еквівалентні висловлення. Ці відношення подібності називаються в математиці відношеннями еквівалентності, але їх не можна плутати з відношеннями еквіваленції в логіці. Для математичних відношень еквівалентності характерні певні властивості: 1. Рефлексивність: кожний предмет еквівалентний самому собі (х= х). 2. Симетричність: якщо х еквівалентний у, то у еквівалентний х, тобто (х = у) —>((/= х).

3. Транзитивність: якщо х еквівалентний у, а у еквіва- І

; лентний z, то х еквівалентний z, тобто ((х= у) & (у= z)) —> |\

Відношення еквівалентності можна виразити формулами логіки
предикатів. Для цього записують у вигляді аксіом рефлексивність,
симетричність і транзитивність. Готові результати будуть такими:

Згідно з цим правилом, якщо певний індивід множини має якусь
властивість, то можна зробити висновок, що існує хоча б один індивід,
якому ця властивість притаманна.

На відміну від логічних законів, які імперативно вимагають, щоб
висновок був завжди істинним, логічні правила менш жорсткі. Вони надають
можливість визнавати за істинні нові висловлення залежно від того, який
вигляд мають висловлення-посилки, вже визнані за істинні.

Одним з основних правил умовиводу є вже знайоме правило
відокремлення («modus ponens»), яке говорить, що умовивід є правильним,
якщо з двох істинних посилок маємо істинний висновок. Більш строго це
правило читається так: якщо істинна якась імплікація й істинна її умова,
то має бути істинним і її висновок. Розглянемо приклад.

Вище наведено схему правильного умовиводу в тому Розумінні, що,
підставляючи замість літер р і q конкретні висловлення, матимемо в
результаті правильний умовивід, тобто правильність умовиводу з логічних
міркувань полягає в тому, що до уваги береться тільки форма наявних у
ньому посилок, абстрагуючись від їх змісту.

Повертаючись до питання про загальнозначущість еквіваленції,
зазначимо, що еквіваленція в логіці предикатів так само, як і в логіці
висловлень, тільки тоді буде загальнозначущою, коли значення істинності
її членів за однакових значень їхніх змінних збігаються:

Зауважимо, що в логіці предикатів не існує такого простого способу
розв’язування умовиводів, як таблиці істинності в логіці висловлень.
Більше того, взагалі немає способу, який можна було б сміливо
використовувати для розв’язання будь-яких виразів логіки предикатів.
Зазвичай розв’язуваний вираз намагаються звести до виразу логіки
висловлень.

Однією з цікавих проблем логіки предикатів є проблема
аксіоматизації, що упирається у проблему вирішення. Як відомо, проблема
вирішення полягає у пошуку способу, за допомогою якого скінченним числом
кроків можна вирішити, яким є логічний вираз — загальнозна-чущим,
виконуваним чи

суперечним. Одним із видів процедури вирішення у логіці висловлень є
таблиці істинності.

Якщо для якоїсь області логічних побудов не існує процедури
вирішення, то зазвичай намагаються з’ясувати, чи є дані вирази
загальнозначущими. При цьому враховують, що кожний Вираз, виведений із
загальнозначущого виразу, сам є загальнозначущим. Таким чином, якщо із
загальнозначущих виразів удається вивести за допомогою відповідних
перетворень, додержуючись правил виводу, розв’язний вираз, то можна з
повним правом вважати, що знайдено індивідуальне доведення для даного
виразу. Проте на практиці знайти таке доведення для будь-якого виразу
часто буває дуже й дуже важко, оскільки тут багато що залежить від
професійного досвіду, інтуїції, а також від дотримання певних загальних
положень.

Список використаної літератури.

1. Кондаков Н. И. Введение в логику. — М.: Наука, 1967.

2. Хоменко Х.Х. Логіка — юристам. — К.: Четверта хвиля, 1997.

3. Бочаров В.А., Маркин В.Й. Основы логики. -М, 1994.

4. Жеребкін В.Є. Логіка.- Харків-К., 1999.

5. Светлов В.А. Практическая логика.- СПб., 1995.

6. Гейтманова А.Д. Учебник по логике. Москва 1995г.

7. Тофтул М.Г. Логіка. – К.: Академія, 1999.

8. Хоменко І.В., Алексюк І.А. Основи логіки. – К.: Золоті

ворота, 1996.

Похожие записи