План

Вступ

Виведення формули Сімпсона

Обчислення інтеграла за формулою Сімпсона

Приклад

Програма на мові Pascal

Висновок

Використана література

Вступ

Обчислювальну техніку останніми разами широко застосовують у всіх сферах
діяльності людини. Вона стала каталізатором науково–технічного процесу.

Історія розвитку обчислювальної техніки починається з 1945 року, коли
американський вчений Фал Нейман та інші визначили основні принципи
побудови ЕОМ (так звані основні принципи програми управління).

У 1946 р. в Пенсильванському університеті було побудовано першу машину –
“Машину 1-го покоління”. Найхарактернішою ознакою цих машин було
використання електричних ламп. Потім з’явилися зовнішні запам’ятовуючі
пристрої – пристрої вводу інформації. Лампові машини мали великі
габарити, у них була мала ємкість оперативної пам’яті, було слабке
математичне забезпечення. Пізніше з’явилися напівпровідникові пристрої.
Ці машини були більш надійними, мали менші габарити. На початку 60-тих
років була розроблена технологія виробництва інтегральних схем. Це
вирішило проблеми надійності і цінноссті машин ЕОМ.

З 1968 р. Починається ІІІ покоління ЕОМ. Використовується постійна
пам’ять. Важливим кроком в цьому поколінні є використання дисплея,
з’явилась уже клавіатура. З середини 80-тих років поряд з машинами
ІІІ-го покоління з’являються машини ІV-го покоління. Характерною
особливістю ІV-го покоління є використання інтегральних систем.

Обчислювальні машини можна використовувати ефективно лише за умови
глибокого знання чисельних методів математики.

Бурхливий розвиток ЕОМ сприяв широкому процесу математизації науки,
техніки і господарства в цілому. Саме розробка і застосування
математичних методів розв’язування прикладних задач на базі ЕОМ є
предметом сучасної прикладної математики.

Математика – одна з найдавніших наук – виникла з практичних потреб
людини.

Застосування швидкодіючих ЕОМ для розв’язування складних прикладних
задач сформувало новий спосіб проведення теоретичних досліджень на базі
математичних моделей – обчислювальний експеримент.

Виділяють 5 етапів технологічного циклу обчислювального експерименту,
побудова математичної моделі задачі, розробка методу розв’язування
математичної моделі, програмування, розрахунки на ЕОМ, аналіз
результатів розрахунків і застосування.

Завдяки обчислювальному експерименту вдалося розв’язати не тільки багато
важливих прикладних задач, а й перевірити гіпотези класичної математики.

Відомо топологічною задачею є проблема 4-рьох фарб. Ця гіпотеза була
підтверджена в 1976 р. американським математиком Аппелем і Хакеном за
допомогою ЕОМ.

Виведення формули Сімпсона.

, де f(x) – неперервна на [x0-h; x0+h] разом зі своїми похідними до
четвертого порядку включно, можна використати інтерполеційний многочлен
Лагранжа 2-го порядку, графік якого проходить через точки (x0-h;
f(x0-h)),(x0; f(x0)) і (x0+h; f(x+h)) і проінтегрувати його по х у межах
від х0-h до x0+h.

1, де А і В – невідомі коофіцієнти, а R(f) – залишковий член.

Щоб дістати рівняння, з яких можна визначити коофіцієнти А і В, подамо
функції f(x), f(x0-h) i f(x0+h) в околі точки х0 за допомогою формули
Тейлора. Маємо:

,

,

.

, для залишкового члена R(f) дістанемо:

.

.

За цих значень А і В залишковий член квадратурної формули 1.

.

Але f(iv) неперервна на [х0-h,x0+h], тому існує точка [x0-h,x0+h] така,
що

, 2

Таким чином, триточкову квадратурну формулу 1 можна записати так:

3

.

і до кожного з відрізків [x2k;x2k+2],(k=0,1,…,n-1) застосовують
формулу Сімпсона 3.

.

.

Таким чином дістанемо узагальнену формулу Сімпсона із залишковим членом
вигляду:

. 4

Залишковий член узагальненої формули Сімпсона:

5

Звідси дістаємо таку оцінку абсолютивної похибки чисельного інтегрування
за узагальненою формулою Сімпсона:

,

6

, або, що те саме відрізок [a;b] треба поділити на n рівних частин, де

7

.

Користуючись цією таблицею

знайдемо: Іан = 0,38177448 ? 0,3817745.

Тому для залишкового члена R(f) за формулою 6
(a=0;b=1;h=0.1M4=5)дістанемо |R(f)|?0.278х10-5.

, а значення підінтегральної функції f у вузлах xk(k=0.1,…,10)
обчислювали з точністю 0.5х10-7 тобто ?f=0.5х10-7.

для повної абсолютної похибки чисельного інтегрування функції
f(x)=xcosx знаходимо таку оцінку:

?І=0.278х10-5+0.5х10-7+0.2х10-7=0.285х10-5<0.3х10-5. . . . за формулою: , поклавши n=2,4,8,16 (це відповідає n=0,25;0,125;0,0625;0,03125). Знайдемо І2=0,38182200; І4=0,3817763; І8=0,38177346; І16=0,38177333. А це означає, що І2 має три, І4 – п’ять, І8 – шість правильних значущих десяткових цифр. Що ж до І16, то тут усі вісім цифр правильні. . program integral: {інтеграл розв’язаний методом Сімпсона} cons a=0:b=1:h=0.01; var n,s:real; i: integer; begin s:=cos(a)*exd(cos(2*a))+cos(b)*exd(cos(2*b)); n:=(b-a)/h; i:=1; while i<=n-1 do begin s:=s+4*cos(a+i*h)*exd(cos(2*(a+i*h))); i:=i+2; end; i:=2; while i<=n-2 do begin s:=s+2*cos(a+i*h)*exd(cos???????††?????††???††???????†?????? writeln(‘Результат’); writeln(‘За методом Сімпсона значення інтегралу’); writeln(‘І= . s:1:6’); writeln(‘’); end. Результат: За методом Сімпсона значення інтегралу: І=1.546057 Висновок Дана курсова робота дала мені можливість набути теоритичних і практичних знань по обчисленню інтегралів методом Сімпсона. Використана література К. П. Баглаєв – “Обчислювальна математика та програмування” М., 1990 Гаврилюк – “Чисельні методи” Коломийський коледж комп”ютерних наук Курсова робота На тему:”

Похожие записи