План
Вступ
Виведення формули Сімпсона
Обчислення інтеграла за формулою Сімпсона
Приклад
Програма на мові Pascal
Висновок
Використана література
Вступ
Обчислювальну техніку останніми разами широко застосовують у всіх сферах
діяльності людини. Вона стала каталізатором науково–технічного процесу.
Історія розвитку обчислювальної техніки починається з 1945 року, коли
американський вчений Фал Нейман та інші визначили основні принципи
побудови ЕОМ (так звані основні принципи програми управління).
У 1946 р. в Пенсильванському університеті було побудовано першу машину –
“Машину 1-го покоління”. Найхарактернішою ознакою цих машин було
використання електричних ламп. Потім з’явилися зовнішні запам’ятовуючі
пристрої – пристрої вводу інформації. Лампові машини мали великі
габарити, у них була мала ємкість оперативної пам’яті, було слабке
математичне забезпечення. Пізніше з’явилися напівпровідникові пристрої.
Ці машини були більш надійними, мали менші габарити. На початку 60-тих
років була розроблена технологія виробництва інтегральних схем. Це
вирішило проблеми надійності і цінноссті машин ЕОМ.
З 1968 р. Починається ІІІ покоління ЕОМ. Використовується постійна
пам’ять. Важливим кроком в цьому поколінні є використання дисплея,
з’явилась уже клавіатура. З середини 80-тих років поряд з машинами
ІІІ-го покоління з’являються машини ІV-го покоління. Характерною
особливістю ІV-го покоління є використання інтегральних систем.
Обчислювальні машини можна використовувати ефективно лише за умови
глибокого знання чисельних методів математики.
Бурхливий розвиток ЕОМ сприяв широкому процесу математизації науки,
техніки і господарства в цілому. Саме розробка і застосування
математичних методів розв’язування прикладних задач на базі ЕОМ є
предметом сучасної прикладної математики.
Математика – одна з найдавніших наук – виникла з практичних потреб
людини.
Застосування швидкодіючих ЕОМ для розв’язування складних прикладних
задач сформувало новий спосіб проведення теоретичних досліджень на базі
математичних моделей – обчислювальний експеримент.
Виділяють 5 етапів технологічного циклу обчислювального експерименту,
побудова математичної моделі задачі, розробка методу розв’язування
математичної моделі, програмування, розрахунки на ЕОМ, аналіз
результатів розрахунків і застосування.
Завдяки обчислювальному експерименту вдалося розв’язати не тільки багато
важливих прикладних задач, а й перевірити гіпотези класичної математики.
Відомо топологічною задачею є проблема 4-рьох фарб. Ця гіпотеза була
підтверджена в 1976 р. американським математиком Аппелем і Хакеном за
допомогою ЕОМ.
Виведення формули Сімпсона.
, де f(x) – неперервна на [x0-h; x0+h] разом зі своїми похідними до
четвертого порядку включно, можна використати інтерполеційний многочлен
Лагранжа 2-го порядку, графік якого проходить через точки (x0-h;
f(x0-h)),(x0; f(x0)) і (x0+h; f(x+h)) і проінтегрувати його по х у межах
від х0-h до x0+h.
1, де А і В – невідомі коофіцієнти, а R(f) – залишковий член.
Щоб дістати рівняння, з яких можна визначити коофіцієнти А і В, подамо
функції f(x), f(x0-h) i f(x0+h) в околі точки х0 за допомогою формули
Тейлора. Маємо:
,
,
.
, для залишкового члена R(f) дістанемо:
.
.
За цих значень А і В залишковий член квадратурної формули 1.
.
Але f(iv) неперервна на [х0-h,x0+h], тому існує точка [x0-h,x0+h] така,
що
, 2
Таким чином, триточкову квадратурну формулу 1 можна записати так:
3
.
і до кожного з відрізків [x2k;x2k+2],(k=0,1,…,n-1) застосовують
формулу Сімпсона 3.
.
.
Таким чином дістанемо узагальнену формулу Сімпсона із залишковим членом
вигляду:
. 4
Залишковий член узагальненої формули Сімпсона:
5
Звідси дістаємо таку оцінку абсолютивної похибки чисельного інтегрування
за узагальненою формулою Сімпсона:
,
6
, або, що те саме відрізок [a;b] треба поділити на n рівних частин, де
7
.
Користуючись цією таблицею
знайдемо: Іан = 0,38177448 ? 0,3817745.
Тому для залишкового члена R(f) за формулою 6
(a=0;b=1;h=0.1M4=5)дістанемо |R(f)|?0.278х10-5.
, а значення підінтегральної функції f у вузлах xk(k=0.1,…,10)
обчислювали з точністю 0.5х10-7 тобто ?f=0.5х10-7.
для повної абсолютної похибки чисельного інтегрування функції
f(x)=xcosx знаходимо таку оцінку:
?І=0.278х10-5+0.5х10-7+0.2х10-7=0.285х10-5program integral: {інтеграл розв’язаний методом Сімпсона} cons a=0:b=1:h=0.01; var n,s:real; i: integer; begin s:=cos(a)*exd(cos(2*a))+cos(b)*exd(cos(2*b)); n:=(b-a)/h; i:=1; while iВисновок Дана курсова робота дала мені можливість набути теоритичних і практичних знань по обчисленню інтегралів методом Сімпсона. Використана література К. П. Баглаєв – “Обчислювальна математика та програмування” М., 1990 Гаврилюк – “Чисельні методи” Коломийський коледж комп”ютерних наук Курсова робота На тему:”
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter