Реферат на тему:
Зворотна кутова засічка
1. Суть зворотної кутової засічки
Зворотною кутовою засічкою називають побудову на місцевості, в якій
координати невідомого пункта Р визначають за координатами трьох вихідних
пунктів Т1, Т2, Т3 і виміряними на пункті Р кутами (1 і (2 на вихідні
пункти (рис.6.9)
Рис. 6.9. Зворотна одноразова засічка
Засічку, показану на рис. 6.9, називають зворотною одноразовою засічкою.
В зворотній одноразовій засічці відсутній контроль виміряних кутів (1 і
(2, отже координати пункта Р також визначаються безконтрольно.
Якщо на пункті Р виміряти ще хоча б один додатковий напрямок на пункт Т4
з відомими координатами, то будемо мати зворотну багаторазову засічку
(рис.6.10).
Рис.6.10. Зворотна багаторазова засічка
:
.
Це такі варіанти засічок:
1) на пункти Т1, Т2, Т3;
2) на пункти Т1, Т2, Т4;
3) на пункти Т2, Т3, Т4;
4) на пункти Т1, Т3, Т4.
Інструкція [1] дозволяє застосовувати лише багаторазові засічки.
2. Формули для обчислення координат пункту Р із зворотної одноразової
засічки
Задача визначення положення точки на площині за трьома відомими точками
відома як задача Потенота. Відомо біля ста способів її розв’язання.
Розглянемо один з найбільш простих і зручних способів, у якому
застосовується формула Деламбра.
Розглянемо рис. 6.9.
На пункті з невідомими координатами виміряні кути (1 і (2 на пункти Т2 і
Т3 від напрямку Т1, який прийнятий за початковий.
Позначимо дирекційні кути (1, (2, (3 на напрямки Т1, Т2, Т3 відповідно,
причому
(2=(1+(1, (6.20)
(3=(1+(2. (6.21)
Застосовуючи формулу оберненої геодезичної задачі, запишемо рівняння
. (6.22)
В цих рівняннях три невідомих: ХР, уP, (1. Якщо розв’язати систему
(6.22), знайдемо невідомі координати ХР, уP точки Р і дирекційний кут (1
першого напрямку.
Візьмемо вираз tg((1+(1) і перетворимо його.
Відомо, що
. (6.23)
Помножимо чисельник і знаменник правої частини на ctg(1. Після
перетворень отримаємо:
. (6.24)
Аналогічно запишемо
(6.25)
Підставимо (6.24) в друге рівняння, а (6.25) у третє рівняння системи
(6.22), після чого матимемо
(6.26)
(6.27)
Перетворимо отримані вирази
(6.28)
(6.29)
Віднімемо (6.28) від (6.29) і
з першого рівняння системи (6.20)
(6.31)
і підставимо його у (6.30).
Відкинувши однакові члени в лівій і правій частинах, запишемо
Зведемо подібні:
і з цього рівняння запишемо
; (6.32)
Отримане рівняння називається формулою Деламбра. За цією формулою
знаходимо дирекційний кут (1 і потім дирекційні кути
. (6.33)
Координати пункту Р можемо знайти двічі з прямої засічки за формулами
(6.16). При цьому треба прийняти до уваги, що tg(АР=tg(РА, а
tg(ВР=tg(РВ.
Отже
. (6.34)
3. Проектування зворотних засічок
Як було сказано раніше, Інструкція [1] дозволяє застосування лише
багаторазових засічок. Тому проектують зворотну засічку як мінімум на
чотири пункти: Т1, Т2, Т3 і Т4 (див.рис.6.10), які знаходяться на
віддалях 0.3–5 км від пункту Р.
Найбільш вигідним є варіант, коли шукана точка Р лежить посередині
чотирикутника, утвореного вихідними пунктами.
Сумнівні результати можуть бути одержані в випадку, коли точка Р
знаходиться поблизу кола, яке проходить через вихідні пункти. Задача
стає невизначеною, якщо точка Р лежить на цьому колі (рис. 6.11). Таке
коло називається небезпечним.
Рис. 6.11 Випадок невизначеності зворотної багаторазової засічки
Оцінку проекту зворотної засічки зручно виконати графічним методом.
Виконують її окремо для двох варіантів одноразових засічок на 3
напрямки. Вибирають два з чотирьох варіантів, а саме:
на пункти Т1, Т2, Т3;
на пункти Т1, Т2, Т4;
на пункти Т1, Т3, Т4;
на пункти Т2, Т3, Т4,
які найбільше підходять за розміщенням для зворотної засічки.
Методика оцінки проекту полягає в наступному (покажемо на варіанті 1:
пункти Т1, Т2, Т3).
На чистому аркуші ставлять точку Р і з неї проводять промінь, який
приймають за напрямок на пункт Т1, від нього відкладають кути (1 і (2 і
проводять через них промені в напрямках Т2 і Т3 (рис. 6.11).
.
Рис. 6.12 Оцінка проекту зворотної засічки.
отримують трикутник зі сторонами (1, яка лежить проти кута (1,
стороною (2, яка лежить проти кута (2 і третьою стороною (3. Цей
трикутник називають оберненим.
Середня квадратична помилка в положенні пункта Р може бути знайдена за
формулою
(6.35)
;
(1, (2, (3 — довжини сторін оберненого трикутника, зняті графічно з рис.
6.12 в тому ж прийнятому масштабі, F — площа оберненого трикутника, яку
можна обчислити як
на (2, або за формулою Герона
,
, то М отримаємо в метрах.
Аналогічну оцінку виконують для другого варіанту зворотної одноразової
засічки, наприклад на пункти Т1, Т2, Т4 і отримують друге значення МIIр.
За остаточне значення приймають середнє вагове
. (6.38)
Якщо Мр не перевищує величини 0.2 мм в масштабі знімання для
незабудованих територій і 0.3 мм в масштабі знімання для забудованих
територій [1,п.5.1.3], роблять висновок, що запроектована засічка
відповідає необхідним вимогам.
4. Польові виміри
Кутові виміри в зворотній багаторазовій засічці виконують теодолітами
Т30, 2Т30, 2Т30П або їм рівноточними. Застосовують спосіб кругових
заходів. Напрямки на пункти Т1, Т2, Т3, Т4 вимірюють двома заходами з
перестановкою лімба між заходами 180?/2=90?. Різниці в напрямках,
отриманих з двох заходів, не повинні перевищувати 45?.
5. Обчислення координат пункта Р
Обчислення координат пункта Р виконують з двох одноразових зворотніх
засічок за двома з чотирьох можливих варіантів. У кожному з варіантів
використовують формули: (6.32), (6.33) і (6.34). Різниці в координатах
ХР та УР, отриманих із двох одноразових засічок не повинні перевищувати
величини 2 м для знімань в масштабі 1:5 000, 0.8 м для знімань в
масштабі 1:2000 і 0.4 м для знімань в масштабі 1:1000.
За остаточне значення ХР та УР беруть середнє арифметичне із двох
варіантів засічок.
4.3. Задача Ганзена
Суть задачі Ганзена полягає у визначенні координат двох точок Р і Q,
якщо відомі координати двох вихідних точок А (ХА, УА) і В (ХВ, УВ) та
виміряні кути (1, (2, (3 і (4 (рис. 6.11)
Рис. 6.11 Задача Ганзена
Кути (1, (2, (3 і (4 вимірюють в точках Р і Q двома круговими заходами
теодолітами не менше 30? точності. Різниці приведених до загального нуля
однойменних напрямків з двох заходів на пунктах Р і Q не повинні бути
більшими за 45?.
Відомо багато методів розв’язання цієї задачі.
Нижче приводиться метод розв’язання задачі, запропонований Ганзеном.
Задачу розв’язують в такій послідовності:
Довжину лінії РQ умовно приймають рівною довільній довжині, наприклад,
(РQ)?=1000 м.
Розв’язують (АРQ і (ВРQ, звідки знаходять умовні значення сторін
; (6.39)
.
Невідомі кути (1 і (2 при вихідних точках А і В знаходять з (АQB.
Для цього записують систему з двох рівнянь, а саме:
. (6.40)
,
З розв’язання якої знаходять кути (1 і (2.
В цій системі перше рівняння — очевидне, випливає з суми кутів
трикутника, яка дорівнює 180?, друге — залежність тангенсів піврізниці і
півсуми двох кутів трикутника.
Подаємо доведення цієї залежності, запропоноване С.І.Гургулою.
Відома теорема:
Якщо
, (6.41)
то
. (6.42)
Справді, з (6.42)
(6.43)
Виконаємо перетворення рівності (6.43)
,
звідки
тобто з рівності (6.42) отримали рівність (6.41).
Запишемо для (АQB:
за теоремою синусів
, (6.44)
а отже, за аналогією до (6.41) і (6.42) запишемо:
; (6.45)
Перетворимо (6.45)
тобто доведено друге рівняння системи (6.40)
Аналогічно знаходять невідомі кути (2 та ?1 з (АРB.
Запишемо для цього трикутника таку систему з двох рівнянь:
, (6.46)
Після знаходження кутів (1 та ?2, (2 та ?1 обчислюють довжину сторони
АВ=l? в умовних одиницях двічі:
. (6.47)
Дійсна сторона АВ=l відома
. (6.48)
Одержують коефіцієнт переходу від умовних одиниць до дійсних
. (6.49)
Обчислюють дійсну довжину PQ
. (6.50)
З допомогою формули (6.49) знаходять дійсні сторони S1, S2, S3, S4.
За дирекційним кутом сторони АВ і кутами (1, (2, ?1, ?2 знаходять
дирекційні кути всіх сторін фігури АВQР, а за виміряними кутами (1, (2,
(3, (4 — дирекційні кути сторін РQ і QP.
За сторонами S1, S2, S3, S4 і їх дирекційними кутами знаходять приростки
координат і двічі знаходять координати точок Р і Q.
Контролем обчислень може служити визначення за отриманими координатами
точок Р і Q довжини і дирекційного кута сторони РQ.
Найбільш вигідним для визначення координат точок Р і Q є варіант, коли
фігура АВQР є ромбом.
Література
1. Інструкція з топографічного знімання у масштабах 1:5000, 1:2000,
1:1000 та 1:500. Київ: ГУГКіК, 1999.
2. Инструкция по нивелированию I, II, III и IV классов. — М.: «Недра»,
1990.
3. Інструкція про типи центрів геодезичних пунктів (ГОНТА – 2.01,
02–01–93). — К.: ГУГКіК, 1994.
4. Основні положення створення Державної геодезичної мережі України.
Затв. пост. Кабміну України від 8.06.98 № 844.
5. Руководство по топографическим съемкам в масштабах 1:5000, 1:2000,
1:1000, 1:500. Высотные сети. — М.: «Недра», 1976.
6. Селиханович В.Г. Геодезия. — М.: «Недра», 1981.
7. Справочник геодезиста (в двух книгах). — М.: «Недра», 1975.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
