Реферат на тему:
Вирівнювальні обчислення в тріангуляції
1. Загальні положення з вирівнювання геодезичних мереж корелатним
методом
В даний час існує багато методів вирівнювання геодезичних мереж.
Найбільш поширеним в даний час є вирівнювання мереж корелатним або
параметричним методом.
Розглянемо суть вирівнювання геодезичних вимірів корелатним методом.
Нехай в геодезичній мережі виконано n вимірів, які приводять до
виникнення r умов (при цьому r
використовуючи невизначені множники Лагранжа (колерати) ki. З цією метою
складають нормальні рівняння, які мають вигляд:
. (2.54)
Із розв’язку рівнянь системи (2.54) знаходимо колерати ki, а потім за
відомими формулами поправки
. (2.55)
2. Вирівнювання тріангуляції колератним методом
Нагадаємо, що тріангуляція — це метод побудови геодезичної мережі за
допомогою трикутників, в яких виміряні тільки кути. Поряд з цим, для
побудови мережі використовують такі фігури як геодезичний чотирикутник
та центральну систему (рис. 2.40).
а) в)
Рис. 2.37. Типові фігури в тріангуляції:
а) геодезичний трикутник, в) центральна система
Для обчислення координат пунктів геодезичної мережі необхідні вихідні
дані. Такими вихідними даними можуть бути координати двох суміжних
пунктів А(XA, YA) і B(XB, YB), або координати одного пункту А(XA, YA),
вихідна сторона SA-B та вихідний дирекційний кут (AB (рис. 2.38).
а) в)
Рис. 2.38. Вихідні дані для обчислення координат пунктів:
а) координат двох вихідних пунктів, в) координати одного вихідного
пункту, вихідна сторона та вихідний дирекційний пункт
Мережу тріангуляції, у якій є тільки необхідні вихідні називають
вільною. Якщо в мережі є надлишок вихідних даних, то вона є невільною.
Наприклад, мережа тріангуляції (рис. 2.39) є невільною, так як в ній є
додаткові координати пункту F(XF, YF).
Рис. 2.39. Невільна мережа тріангуляції
Зауважимо, що при вирівнюванні тріангуляцій виникає задача обчислення
сторін трикутників мережі. Для цього використовують теорему синусів.
Наприклад, для отримання значення сторони ВС, коли відома сторона SA-B
та кути в ABC (рис. 2.39) матимемо:
, (2.56)
Звідки
. (2.57)
В мережі трикутників тріангуляцій, сторони які є спільними для двох
трикутників називають зв’язуючими. Напроти зв’язуючих сторін лежать
зв’язуючі кути (1, 3, 4, 6, …, 12). При цьому при нумерації кутів
найнижчою цифрою позначають кут трикутника, який лежить напроти вихідної
сторони, і найвищою кут, який лежить напроти сторони, що є вихідною для
наступних обчислень. Інші сторони трикутників називають проміжними,
напроти них лежать проміжні кути.
Зауважимо, що проблема вирівнювання виникає як для вільних так і
невільних мереж. Важливою передумовою є надлишок вимірів та вихідних
даних в геодезичній мережі.
2.1. Види умовних рівнянь
Умовне рівняння фігур
В трикутнику, в якого є відомі три плоскі кути виникає умова фігури.
Дана умова ставить вимогу, щоб сума плоских кутів трикутника дорівнювала
180 (рис. 2.40), тобто
Рис. 2.40. Трикутник
(2.58)
Підставивши замість найймовірніших значень кутів їх виміряні, маємо
(2.59)
Коефіцієнти при поправках в кути відповідно до формул системи (2.52)
будуть:
. (2.60)
Таким чином, згідно системи (2.53) лінійне рівняння поправок буде:
. (2.61)
Умовне рівняння горизонту
Дане рівняння виникає в центральній системі. Дана умова вимагає, щоб
сума кутів виміряних в даному пункті по горизонту дорівнювала 360?.
Наприклад, для рис. 2.39 маємо
(2.62)
Коефіцієнти при поправках в кути будуть
, (2.63)
де
WГ=2(+5(+8(+11(–360?. (2.64)
Враховуючи (2.63) і (2.64) умовне рівняння горизонту буде
(2.65)
Полюсне умовне рівняння
Полюсна умова ставить вимогу, щоб після вирівнювання значення будь-якої
сторони мережі обчислювалось однозначно незалежно від схеми обчислення.
Дане рівняння виникає в центральній системі та геодезичному
чотирикутнику.
Полюсне умовне рівняння в центральній системі. Розглянемо мережу
тріангуляції, яка складається із центральної системи (рис. 2.41).
Рис. 2.41. Центральна система
Приймемо сторону АО за вихідну. Тоді, використовуючи теорему синусів
послідовно знайдемо сторони ВО, СО і в кінцевому випадку знову прийдемо
до сторони АО, тобто
. (2.66)
З останнього рівняння системи (2.66) маємо
. (2.67)
Підставивши в формулу (2.67) замість найймовірніших значень кутів їх
виміряні отримуємо
. (2.68)
Для зручності обчислень чисельник позначимо через D1, а знаменник через
D2. Тоді формулу (2.68) можна представити у вигляді
. (2.69)
Для визначення коефіцієнтів при поправках знайдемо часткові похідні від
функції WП (2.69) по змінних (виміряних кутах). Маємо
, що тотожно одиниці і не впливає на значення коефіцієнтів, але значно
спрощує вирази для їх обчислення.
Таким чином з врахуванням (2.69) та (2.70) в кінцевому вигляді полюсне
рівняння в лінійному вигляді буде:
. (2.71)
Полюсне умовне рівняння в геодезичному чотирикутнику.
В геодезичному чотирикутнику (рис. 2.42) можливі два методичні підходи
до складання полюсної умови.
Рис. 2.42. Геодезичний чотирикутник
Перший методичний підхід полягає в тому, що за полюс умовно приймають
точку О пересічення діагоналей. В цьому випадку методика складання
умовного рівняння полюсу аналогічна його складанню в центральній
системі. Прийнявши за вихідну сторону АО, послідовно із розв’язку
трикутників АВО, ВСО, СDO і DAO знайдемо значення вихідної сторони АО.
Звідси маємо:
. (2.72)
Або
. (2.73)
Замінивши найймовірніші значення кутів їх виміряними, отримаємо:
. (2.74)
Позначимо
. (2.75)
З врахуванням позначень (2.75) (2.74) прийме вигляд
(2.76)
Коефіцієнти при поправках в кути мають вигляд
. (2.77)
Тоді рівняння поправок в лінійному вигляді буде
(2.76)
Другий методичний підхід полягає в тому, що за полюс вибирають вершину
чотирикутника з найбільшим значенням тупого кута (наприклад, т. А, рис.
8). В цьому випадку, прийнявши за вихідну сторону АВ, знайдемо двічі
значення сторони АD. Один раз знайдемо цю сторону із розв’язку
трикутника АВD, а другий із послідовного розв’язку двох трикутників АВС
і АСD Маємо:
, (2.79)
. (2.80)
Прирівнявши праві частини рівнянь (2.79) і (2.80) отримаємо
, (2.81)
або
. (2.82)
Після заміни найймовірніших значень кутів їх виміряними маємо
(2.83)
Позначивши
, (2.84)
, (2.85)
формулу (2.83) можемо представити
. (2.86)
Знайдемо коефіцієнти при поправках в кути
. (2.87)
З врахуванням (2.86) і (2.87) в кінцевому вигляді рівняння буде
. (2.88)
Умовне рівняння дирекційних кутів
Дане рівняння виникає в мережі, де є надлишкові значення дирекційних
кутів (рис. 2.43).
Складемо рівняння зв’язку для кінцевих вихідних дирекцій них кутів ?АВ і
?EF. З цією метою визначимо “ходову” лінію, тобто лінію, по якій будемо
передавати дирекційні кути.
Рис. 2.43. Мережа з надлишковими дирекцій ними кутами
Нехай ця лінія буде BCDE. В цьому випадку маємо
. (2.89)
Замінивши найймовірніші значення їх виміряними, маємо
(2.90)
Коефіцієнти при поправках кути будуть
, (2.91)
З врахуванням (2.91) отримаємо
(2.92)
Базисне умовне рівняння
Рівняння даного виду виникає при наявності в мережі надлишкових значень
сторін (рис. 2.44). Нехай в даній мережі відомі є значення сторін SAB i
SBC. Рівняння зв’язку має вигляд
. (2.93)
Замінивши найймовірніші значення кутів їх виміряними маємо
Рис. 2.44. Мережа з надлишковими вихідними сторонами
Коефіцієнти при поправках в кути будуть
. (2.95)
З врахуванням (2.94) і (2.95) маємо
, (2.96)
або
. (2.97)
Координатні умовні рівняння
При наявності в мережі надлишкових координат виникають координатні
умовні рівняння.
Запишемо координатні умовні рівняння для ланки трикутників тріангуляції
(рис. 2.45).
Рис. 2.45. Мережа з надлишковими координатами
Нехай відомі координати пунктів А, В, Е. Проведемо передачу координат по
ходовій лінії B, C, D, E. Складемо рівняння зв’язку для абсцис,
. (2.98)
Значення сторін та дирекцій них кутів можна вирахувати за формулами
, (2.99)
. (2.100)
Підставивши в формули (2.98)–(2.100) замість найймовірніших значень
кутів їх виміряні маємо
(2.101)
Визначимо коефіцієнти при поправках в кути. Для цього знайдемо часткові
похідні від функції (2.101) з врахуванням (2.99)–(2.100). Маємо
. (2.102)
З врахуванням формул (2.102) рівняння абсцис приймає вигляд
. (2.103)
Для того, щоб значення коефіцієнтів при поправках в кути були не надто
великими (близькими до одиниці) всі члени рівняння (2.103) розділимо на
величину k?10n, де k і n вибрані довільні числа. В кінцевому результаті
маємо
(2.104)
Розглянемо виведення умовного рівняння для ординат. Для цього випадку
рівняння зв’язку має вигляд
(2.105)
Значення величини Sij та ?ij обчислюють за формулами (2.99) та (2.100).
Підставивши в формулу (2.105) замість найймовірніших значень величин Sij
та ?ij їх значення, отримані по виміряним кутам, маємо
(2.106)
Визначимо коефіцієнти при поправках в кути з врахуванням формул (2.99),
(2.100). Маємо
. (2.107)
З врахуванням формул (2.106) і (2.107) рівняння поправок має вигляд
(2.108)
Розділивши всі члени рівняння (2.108) на величину k?10n, де k і n
підбирають таким чином, щоб коефіцієнти при поправках були близькі до
одиниці. Маємо
. (2.109)
2.2. Про допустимі значення вільних членів умовних рівнянь
Для оцінки якості виміряних кутів проводять підрахунок граничних
(допустимих) значень вільних членів умовних рівнянь.
При заданій довірчій ймовірності Р гранична помилка
M=m · t, (2.110)
де
m — середня квадратична помилка виміряних кутів;
t — коефіцієнт, який знаходять за виразом
відповідно критерію Шовене находять за формулою
можна знайти величину t за формулою (2.111). Для знаходження величини
t існують спеціальні таблиці.
В реальних випадках при числі трикутників в тріангуляції 12–16 значення
величини t коливаються незначно і t?2,5. На основі цього (2.110) буде
. (2.113)
Запишемо умовне рівняння для фігури
. (2.114)
Переходячи до нормального рівняння маємо
.
Із (2.155) маємо
. (2.116)
При вирівнювання повинна задовольнятися вимога
. (2.117)
Відомо, що
. (2.118)
Звідси
. (2.119)
Підставивши у формулу (2.119) замість m його граничне значення,
отримаємо граничне значення вільного члена
. (2.120)
Зауважимо, що в мережі тріангуляції величину m можна вирахувати за
формулою Фереро
, (2.121)
n — кількість трикутників.
При виведенні граничного значення вільного члена горизонту маємо
. (2.122)
Звідки
, (2.123)
де
. (2.124)
і
. (2.125)
В загальному випадку умовне рівняння полюсу має вигляд
. (2.126)
Нормальне рівняння
(2.127)
і
. (2.128)
Для дирекцій них кутів умовне рівняння є
. (2.129)
Нормальне рівняння
.
З врахуванням цього
. (2.131)
Базисне умовне рівняння має вигляд
. (2.132)
Нормальне рівняння
(2.133)
і
. (2.134)
Або з врахуванням помилок вихідних сторін маємо
. (2.135)
Координатні умовні рівняння мають вигляд
(2.136)
або позначивши коефіцієнти при поправках відповідно А1, А2, …, Аn
маємо
. (2.137)
Звідки нормальне рівняння
(2.138)
і
. (2.139)
З врахуванням помилок вихідних координат
. (2.140)
Аналогічно
, (2.141)
і
, (2.142)
де Ві — коефіцієнт при поправках в умовному рівнянні ординат.
2.3. Підрахунок числа умовних рівнянь
Розглянемо рис. 2.46. Нехай на місцевості зафіксовані дві точки А і В. З
рисунку видно, що визначення положення Р1 достатньо виміряти два кути 1
і 2. відклавши величини цих кутів в пересіченні напрямків із пунктів А і
В, знайдемо положення пункту Р1. Вимір кута 3 в пункті Р1 буде
надлишковим і це призводить до виникнення умови фігури. Для знаходження
наступної точки, Р2 необхідно виміряти два кути (4, 5) в пунктах А і Р1.
За методом, наведеним вище, отримаємо положення пункту Р2.
Вимір кута 6 в пункті Р2 є надлишковим. Таким чином, якщо в мережі число
всіх вимірів N, де n — число всіх пунктів мережі кількість умовних
рівнянь (надлишкових вимірів) S буде:
. (2.143)
Рис. 2.46. Мережа з надлишковими вимірами
Якщо в мережі буде е число надлишкових вихідних даних, то
. (2.144)
Методика розв’язування умовних рівнянь способом найменших квадратів
розглядується в курсі “Математична обробка геодезичних вимірів”. Ми лиш
зупинимось на оцінці точності вирівняних величин.
2.4. Оцінка точності вирівняних величин
Для оцінки точності мережі тріангуляції обчислюють середню квадратичну
помилку кута, вага якого прийнята за одиницю. З метою оцінки точності
окремих елементів мережі складають вагові функції для цих елементів. Як
правило, вагову функцію складають для найбільш “слабшого” елементу
мережі. Таким найбільш “слабшим” елементом є елемент найбільш віддалений
від вихідних пунктів. Розглянемо мережу тріангуляції (рис. 2.47).
Рис. 2.47. Рисунок для складання вагової функції
Нехай виміри на всіх пунктах мережі є рівноточними. Оцінимо найбільш
“слабшу” сторону. Такою стороною в даному випадку є сторона CD. Вагова
функція для цієї сторони буде
. (2.145)
За формулою
(2.146)
знаходять обернену вагу.
В даній формулі f, a, b відповідні коефіцієнти при поправках вагової
функції першого та другого умовних рівнянь.
Середню квадратичну помилку одиниці ваги вираховують за формулою
, (2.147)
де v — поправки в результати вимірів,
r — кількість умовних рівнянь.
Тоді середню квадратичну помилку сторони CD вираховують за виразом
переходять до відносної
. (2.149)
3. Параметричний метод вирівнювання
Суть параметричного методу вирівнювання полягає в тому, що безпосередньо
із результатів вирівнювання знаходять поправки в деякі величини, які
називають параметрами. Як правило, при вирівнюванні планових геодезичних
мереж в якості параметрів приймають координати невідомих пунктів. Таким
чином, із процесу вирівнювання знаходять поправки до наближених
координат невідомих пунктів. Зауважимо, що координати невідомих пунктів
повинні бути напере відомі. Маючи поправки в координати, по відомим
формулам стає можливим знайти при потребі поправки в результати вимірів.
В параметричному методі поправку в кожний вимір представляють як функцію
поправок в координати пунктів, які зв’язує даний вимір.
Найбільш поширеними геодезичними вимірами є напрямки та їх похідні кути,
а також довжини ліній.
3.1 Параметричні рівняння поправок
Параметричне рівняння поправок для напрямків.
Нехай нульовий штрих лімба займає напрямок РО. Через пункт Р проведемо
лінію РS паралельну осьовому меридіану зони, в якій виконують виміри.
Таким чином, кут між напрямком РS і напрямком на будь-який пункт, (А, В,
…, К) буде представляти собою дирекційний кут даного напрямку.
Кут між лінією РS і напрямком РО нульового штриха лімба позначають ZP.
Кут ZP називають орієнтуючим. Звідси, орієнтуючий кут є дирекційним
кутом нульового штриха лімба.
Рис. 2.48. Орієнтуючий кут та виміряні напрямки
, які називають орієнтованими. Таким чином, можна записати
, (2.151)
де
;
— наближене значення орієнтуючого кута;
— поправка в орієнтуючий кут.
Наближене значення орієнтуючого кута можна отримати за формулами
— наближені значення дирекційних кутів напрямків
РА, РВ, …, РК.
. З врахуванням системи (2.151) можна записати
, (2.153)
Або в загальному вигляді
. (2.154)
Із рівняння (2.154) маємо
, (2.155)
де
. (2.156)
Виразимо поправку в дирекційний кут через поправки в координати пунктів.
Для цього використаємо формулу
— наближені координати пункту І;
— наближені координати пункту Р.
Диференціюючи рівняння отримаємо:
. (2.158)
Або
. (2.159)
Звідси
. (2.160)
Введемо позначення
сторони виражають в кілометрах, а поправки в координати визначають в
дециметрах.
З цією метою водять величини
. (2.162)
Переходячи від диференціалів до кінцевих приростків, з врахуванням
(2.161) та (2.162) формула (2.155) прийме вигляд
. (2.163)
Можливі чотири випадки складання рівнянь виду (2.163):
спостереження ведуть з пункту, де відомі координати на пункт з
невідомими координатами:
; (2.164)
спостереження ведуть з пункту, де невідомі координати на пункт,
координати якого відомі:
; (2.165)
спостереження ведуть з пункту з відомими координатами на пункт,
координати якого теж відомі:
; (2.166)
у випадку проведення спостережень з пункту, координати якого невідомі на
пункт, координати якого також визначають, використовують формулу
(2.163).
Параметричне рівняння поправок для кутів.
в кут, який утворений двома напрямками РI i PJ . Маємо
Рис. 2.49. Схема вимірювання кута ?ij на пункті Р.
, (2.167)
, (2.168)
, (2.169)
де
. (2.170)
Параметричне рівняння поправок до дирекційних кутів
Значення дирекційного кута визначають за формулою
. (2.171)
Диференціюючи дану формулу, отримаємо
(2.172)
або
. (2.173)
Звідси
(2.174)
або
. (2.175)
Після скорочення маємо
. (2.176)
Замінивши диференціали кінцевими приростками, отримаємо
. (2.177)
де
— виміряне значення дирекційного кута.
З врахуванням позначень (2.161) та (2.162) формулу (2.178) в кінцевому
результаті можна представити у вигляді
. (2.179)
Методика розв’язування рівнянь поправок розглядається в курсі
“Математична обробка геодезичних вимірів”. Ми лиш зупинимось на оцінці
точності вирівняних величин.
3.2 Оцінка точності в параметричному методі вирівнювання
Зі способу найменших квадратів відомо, що середню квадратичну помилку
одиниці ваги ? визначають за формулою
, (2.180)
де v — поправки в результаті вимірів,
r — число надлишкових вимірів.
Зауважимо, що при використанні даного методу вирівнювання геодезичної
мережі безпосередньо із рішення нормальних рівнянь отримують поправки в
координати невідомих пунктів. Маючи ці поправки можна за формулами
(2.163)–(2.166), (2.179) знайти поправки в результаті вимірів.
Слід пам’ятати, щ при вирівнюванні геодезичної мережі по напрямкам до
числа необхідних невідомих відносять число поправок в координати та
орієнтуючі кути. Таким чином, якщо в мережі k число пунктів з невідомими
координатами та n кількість всіх пунктів мережі, на яких вели
спостереження, то маємо
, (2.181)
де D — кількість виміряних в мережі напрямків.
При вирівнюванні мережі за кутами
, (2.182)
де N — число виміряних кутів.
На практиці оцінюють точність, отриманих після вирівнювання, координат.
Як правило, оцінюють точність координат найбільш “слабкого” пункту
мережі, тобто пункту найбільш віддаленого від вихідних. Для цієї мети в
схемі рішення нормальних рівнянь в останньому і передостанньому стовпцях
ставлять поправки в координати того пункту, який оцінюють. Таким чином,
для координат пункту J, який оцінюють ваги будуть
, (2.183)
тут [gg(2j-1)], [hh(2j-2)] — квадратичні коефіцієнти останнього та
передостаннього нормальних рівнянь.
Середні квадратичні помилки координат пункту J визначають за формулами
, (2.184)
Формула для загальної середньоквадратичної помилки положення пункту буде
. (2.185)
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
