Шпаргалки з топології

3. Лінії другого порядку: еліпс, гіпербола, парабола. Їх основні
властивості та зображення.

Еліпс

.

– канонічне рівняння еліпса (1)

Властивості

1)Лінія симетрична відносно координатних осей і поч. координат.

3) Точки перетину з осями

Ці точки називають вершинами еліпса.

. Це означає, що

— параметричне р-ня еліпса.

Гіпербола

Гіперболою називається множина всіх точок площини різниця
відстаней від яких до двох фіксованих точок є величина стала

Властивості

Лінія симетрична відносно координатних осей і початку координат

В смужці –a=@=\>///oaeaeaeaeYaeaeo//NA/////A

gd

gd

„h`„hgd

gd

gd

gd

gd

j

j

j

j

j

j

j

j

j

h

h

h

h

hU6

hU6

hU6

hU6

hU6

j]

hU6

j

??O¬Oe¬o$°AE±f?o?
?O??·”??» 1/4*?oABEE ?’Oe&*?U.U1/4UoeoennnnnoeoeoeoeeoenoeoessoeoenoeoeO

j

j

j

jy

j

gd

gd

e

gd

jK

gd

.

з рівносильних тверджень:

;

.

. ?

відкриті.

– теж відкрита множина.

теж неперервна.

теж є неперервним.

. ?

13. Різновиди зв’язності та співвідношення між ними.

.

).

.

.

.

). Якщо ж таке подання можливе, множину назив. незв’язною.

.

.

.

– незв’язний.

.

з стандартною топологією є зв’язною.

, і вони не можуть одночасно бути замкненими.

з стандартною топологією є зв’язним.

Твердж. Топологічний добуток та букет довільної сім’ї не порожніх
просторів є зв’язним т. і т. тоді, коли всі ці простори зв’язні.

з зв’язного простору, є зв’язним.

незв’язний, що суперечить умові.

, є зв’язним.

, що суперечить припущенню.

– зв’язна.

.

є зв’язним.

– суперечність.

.

є відкритою.

– відкрита.

є відкритими.

, назив. лінійно зв’язною.

є зв’язною.

, яке є зв’язним.

.

.

є відкритою.

– відкрита.

Наслідок. Компоненти лінійної зв’язності локально лінійно зв’язного
простору є відкритими.

.

задовольняє вимоги (1).

є лінійно зв’язним.

– лінійно зв’язний.

Поверхні другого порядку

Прикладами поверхонь другого порядкує такі:

-еліпсоїд,

-однопорожнинний гіперболоїд,

-двопорожнинний гіперболоїд,

-конус,

-еліптичний параболоїд,

-гіперболічний параболоїд,

-еліптичний циліндр,

-гіперболічний циліндр,

9) y2=2px-параболічний циліндр.

Еліпсоїд. Властивості.

1)Поверхня симетрична відносно координатних осей, координатних площин,
початку координат.

2)Всі точки еліпса розташовуються всередині паралелепіпеда, що
характеризується системою:

3) Перетин з осями

z: x=0, y=0, z=+-c

x: y=0, z=0, x=+-a

y: x=0, z=0, y=+-b

3) Перетин поверхні з площинами

Аналогічно в площині хОz і yOz.

Еліпсоїди обертання відповідно з осями z,x,y.

Одно порожнинний гіперболоїд. Властивості.

1)Поверхня симетрична відносно координатних осей, координатних площин,
початку координат.

2) Перетин з осями

x=0, y=0, —

y=0, z=0, x=+-a

x=0, z=0, y=+-b

3) Перетин поверхні з площинами

Еліптичний параболоїд. Властивості.

1) Симетричний поверхні відносно площин хОz, yOz, осі z.

2) z?0

3) (0;0;0)-єдина точка перетину поверхні з осями

.

Аналогічно y=p.

Конус. Властивості.

1) Поверхня симетрична відносно координатних осей, координатних площин,
початку координат.

2) (0;0;0)-єдина точка перетину з осями

; при p=0-дві прямі.

.

2 .Пряма на площині. Площина і пряма в просторі. Взаємне розміщення
площин, прямих і площин в просторі.

.

, тоді маємо

– кутові коефіцієнти.

.

умова перпендикулярності прямої і площини.

1 Алгебра в-рів. Поняття базису на площині і в просторі. Скаляр.,
вектор. та мішан. д-ки в-рів.

наз. рівними, якщо вони колінеарні, однаково напрямлені і мають рівні
довжини. Два в-ри наз. протилежними, якщо вони колінеарні, довжини їх
однакові, а напрями протилежні. Три в-ри наз. компланарними, якщо вони
лежать в одній площині або в паралельних площинах.

<0. (розподільний закон відносно векторного множ-ка). (*) виконується тільки при нульових коефіцієнтах. Якщо рівність (*) можлива і при деяких не нульових коефіцієнтах, то в-ри наз. лінійно залежними. – лін. зал. тоді і тільки тоді, коли один з них є лінійною комбінацією інших. є лінійною комбінацією інших. –лін. зал. Т.2. Якщо с-ма в-рів містить лін. зал. підсистему, то вона лін. зал. Т.3. Два в-ри лін. зал. тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні. . ). ), то вона лін. зал. ). Множину геометричних векторів наз. векторним простором, якщо вона замкнута відносно операції додавання, віднімання, множення в-рів на число. Замкнута–дані операції не виводять за межі даної множини. наз. базисом векторного простору, якщо: 1) дані в-ри лін. незалежні; 2) будь-який в-р векторного простору виражається через дані в-ри. Базисом на прямій наз. довільний ненульовий в-р на цій прямій. Базисом на площині наз. довільна упорядкована пара не колінеарних в-рів, а базисом у просторі– довільна упорядкована трійка некомпланарних в-рів. В-ри, що складають базис, наз. базисними. . , який визначається такими трьома умовами: }–однаково орієнтовані. Алгебраїчні вл-ті ВД: . вершина піріміди).

Похожие записи