Реферат на тему:

Алгебраїчне обгрунтування  еквівалентності рівнянь методу скінченних
елементів  та методу найменших квадратів

Геодезисти багато разів відмічали схожість між методами розрахунку
будівельної механіки та методами обробки геодезичних мереж. Так ще у 
50-і роки у дослідженнях М.І. Товстолеса встановлювалис аналогії між
методом сил будівельної механіки та методом умов щодо обробки
геодезичних вимірів, що втілилося у його докторський дисертації на тему
«Методи будівельної механіки стосовно рішення задач геодезії та
маркшейдерії». Інтенсивний  розвиток засобів обчислювальної техніки для
розрахунку будівельних конструкцій обумовив перехід до використання
методу переміщень та виникненню методу скінченних елементів, який в
теперішній час став фундаментальним методом механіки твердого тіла.
Аналогічно, розвиток методів вирівнювання геодезичних мереж пов’язаний з
ефективним застосуванням параметричного методу.

В [1] та [2] зазначалось про можливість використання методу скінченних
елементів для вирівнювання лінійно-кутових мереж. Основою подібності у
варіаційних методах є мінімізація загальної характеристики – деякої
скалярної величини. Для методу скінченних елементів це повна потенційна
енергія П, а для методу найменших квадратів — Ф — сума квадратів
поправок у виміряні величини.

Згідно з варіаційним принципом Лагранжа повної потенційної енергії з
множини кінематично допустимих систем переміщень, які відповідають
заданим граничним умовам, ті, що задовольняють умовам рівноваги, надають
потенційній енергії П системи стаціонарне значення [3]. У стані сталої
рівноваги величина П є мінімальною. Таким чином, в загальному вигляді
розв’язок стаціонарної лінійної задачі зводиться до мінімізації
функціоналу:  

П(u)=b(u)-f(u) , (1)

, можна отримати:

, (2)

.

,(3)

, (4)

з урахуванням (3) та (4), можна отримати вираз для П(u)  :

, (5)

, то можна записати вираз (5) в матричному вигляді:

, (6)

 . Для мінімізації функціоналу П(u) необхідно прирівняти до нуля
значення похідної П(u) по вектору u :

. (7)

Враховуючи те, що z — будь-який вектор, то система канонічних рівнянь
має вид:

Bu-f=0 . (8)

під умовою Лежандра-Гаусса при параметричному методі найменших
квадратів, має вигляд:

, (9)

Враховуючи те, що вектор поправок v=Ax-l , де A — матриця коефіцієнтів
рівнянь поправок, x — вектор параметрів, що уточнюються, P — матриця
ваг, l — вектор вільних членів, то квадратична форма Ф приймає вигляд:

.(10)

Якщо розглянути вираз , то, очевидно, що s  є скаляром, тому , тоді

. (11)

З урахуванням (11) квадратична форма (9) приймає вигляд:

(12)

Задача вирівнювання за методом найменших квадратів зводиться до
отримання такого вектору параметрів x , при якому квадратична функція
Ф приймає мінімальне значення. Таким чином, враховуючи те, що є
скалярною величиною, яка не має впливу на умову мінімуму  Ф  , як
функції від вектора параметрів x , що уточнюються, то умову (12) можна
спростити:

, (13)

або

. (14)

Як відомо система нормальних рівнянь, яка задовольняє умові (9), має
вигляд:

. (15)

Очевидно, що для того, щоби рівняння (6) та (8) методу скінчених
елементів були еквівалентні рівнянням  (14) та (15) методу найменших
квадратів, необхідно поняттям методу скінчених елементів u, B  та f
поставити у відповідність поняття методу найменших квадратів:

. (16)

Якщо розглянути геодезичну мережу, яка складається з m  виміряних
величин, як m-розмірну мережу, то можна утворити елементарну матрицю
i-го вимірювання:

, (17)

де — рядок матриці A рівнянь поправок, який відповідає i-му вимірюванню,
— вага i-го вимірювання. Очевидно, що тоді  матриця нормальних рівнянь
всієї мережі може бути представлена у вигляді:

. (18)

Вектор поправок до попередніх значень координат пунктів, що
визначаються, x можна представити у вигляді:

, (19)

де — вектор поправок до попередніх значень j-го параметру, j=1,2,3,…n
, n — кількість параметрів. Аналогічно, вектор вільних членів для
елементарної системи нормальних рівнянь можна представити у вигляді:

. (20)

Тоді система нормальних рівнянь прийме вигляд:

. (21)

Порівнюючи вирази (17),(18), (19) та (20) з (3) та (4), можна
встановити, що елементарна матриця i-го вимірювання методу найменших
квадратів   відповідає матриці жорсткості  методу скінченних елементів,
а вектор вільних членів  елементарної матриці нормальних рівнянь –
вектору приведених до вузлів місцевих навантажень на скінченний
елемент.   

Встановлені аналогії є основою для використання розвинених процедур та
програмних засобів з розрахунку будівельних конструкцій за методом
скінченних елементів для вирівнювання геодезичних вимірів.

Література

Карпинский Ю.А. Вариационный принцип построения конечных элементов сетей
трилатерации. // Инж. геодезия. – 1992.- Вып. 35. С.17-23.

Карпінський Ю.О. Вирівнювання геодезичних мереж тріангуляції методом
скінченних елементів.// Інж. Геодезія.- 1999.- Вип. 41. С.61-66.

Немчинов Ю.И. Расчет пространственных конструкций. Метод конечных
элементов.- Киев: Будівельник, 1980. –232с.

Похожие записи