.

Змушені коливання пружних систем з одним ступенем свободи (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 711
Скачать документ

Змушені коливання пружних систем з одним ступенем свободи

Якщо прийняти, що крім постійної сили ваги вантажу  (рис. 15.5) на нього діє періодична сила , що обурює , то на відміну від розглянутих у попередньому параграфі вільних коливань будемо мати випадок змушених коливань. Рівняння цих коливань одержимо з виразу (15.1), додаючи до його правої частини силу :

. (15.12)

Ділячи всі члени рівняння на , одержуємо

. (15.13)

Розглянемо окремий випадок, коли сила  пропорційна , тобто коли період сили , а частота .

Позначивши

,

приведемо рівняння (15.13) до виду

. (15.14)

При повільній зміні , тобто при , малому в порівнянні з , можна зневажити членом , що містить прискорення в рівнянні (15.14), і тоді одержати статичну деформацію

. (15.15)

Для визначення динамічної деформації потрібно вирішити диференціальне рівняння (15.14). Це рішення, як відомо, можна одержати, якщо до рішення однорідного рівняння (15.1)

(15.16)

додати часткове рішення рівняння (15.14)

. (15.17)

Підставляючи частку рішення (15.17) у диференціальне рівняння (15.14) і з огляду на

;

,

знайдемо, що

.

Звідси після скорочення на  одержимо

,

тобто амплітуда

. (15.18)

Тоді загальне рішення рівняння (15.14) остаточно прийме вигляд

. (15.19)

Перших два складові правої частини рівняння (15.19) характеризують вільні коливання, які звичайно швидко загасають; останній доданок характеризує змушені сталі коливання системи, які відбуваються із частотою зовнішньої сили, що обурює.

Амплітуда  змушених коливань, як виходить з формули (15.18), залежить від частоти цих коливань . Відношення амплітуди  до статичної деформації (15.15) визначає так званий коефіцієнт наростання коливань :

, (15.20)

або

, (15.21)

де

;    .

З формули (15.20) виходить, що при малому відношенні  коефіцієнт  близький до одиниці і амплітуда змушених коливань лише небагато відрізняється від статичної деформації. Коли ж частота змушених коливань наближається до частоти власних коливань системи, амплітуда змушених коливань прагне до нескінченності; тобто при  амплітуда . При  і маємо стан резонансу. Відповідна частота сили, що обурює, називається критичної.

Розглядаючи вираз (15.20), графічне зображення якого представлено на рис. 15.12, бачимо, що при частоті сили , що обурює, більше власної  частоти коливань системи, тобто при , амплітуда  динамічного переміщення зменшується і при  робиться дуже малою в порівнянні зі статичним переміщенням. У цьому випадку вантаж  можна розглядати як нерухомий.

Рис. 15.12. Коефіцієнт наростання коливань

При  змушені коливання й сила, що обурює, перебувають в одній фазі, тобто зрушення фаз . Це значить, що в момент, що коли коливається вантаж (рис. 15.5) досягає свого найбільшого відхилення, припустимо, долілиць, що обурює сила одержує найвище значення в цьому ж напрямку. При  різниця у фазах змушених коливань і сили, що обурює, становить величину , тобто коливання відбуваються в протифазі із силою, що обурює. Це значить, що в той час, коли сила що обурює має максимальне значення в напрямку донизу, а вантаж що коливається досягає свого максимального відхилення уверх. Таке явище можна добре зрозуміти на прикладі змушених коливань математичного маятника (рис. 15.13), порушення якого здійснюють шляхом горизонтального зворотно-поступального періодичного переміщення точки підвісу з різною частотою. Положення маятника, що коливається в одній фазі з фактором, що обурює, наведено на рис. 15.13, ; коливання маятника в протифазі із силою, що обурює, показано на рис. 15.13, .

Амплітуда власних (незалежних) коливань можна визначити із загального рішення (15.19) при розгляді початкових умов. Так, думаючи, що в початковий момент (при ) переміщення і швидкість дорівнюють нулю, тобто  й , з рівняння (15.19) будемо мати

;    .

а б

Рис. 15.13. Змушені коливання маятника

Підставляючи знайдені значення в рівняння (15.19), остаточно одержуємо

. (15.22)

На початку дії сили, що обурює, виникають змушені й вільні коливання однієї амплітуди.

Якщо частота сили, що обурює, наближається до частоти власних коливань, має місце биття. Нехай

.

Тоді рівняння (15.22) при

буде мати вигляд

(15.23)

тобто одержимо рівняння синусоїдального коливального руху з періодом

і змінною амплітудою

,

період зміни якої, або період биття, характеризується величиною

.

Графічне подання коливання з биттям наведене на рис. 15.14. З останньої формули виходить, що період биття збільшується з наближенням частоти обурення  до частоти власних коливань  і стає рівним нескінченності у випадку резонансу (при ).

Рис. 15.14. Коливання з биттям

В останньому випадку, коли  й , рівняння (15.23) може бути представлене так:

, (15.24)

тобто амплітуда із часом зростає безмежно. Помітимо, що останній висновок справедливий тільки при відсутності в коливальній системі сил опору. Таких реальних коливальних систем не існує.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020