.

Змушені коливання пружних систем з одним ступенем свободи (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 688
Скачать документ

Змушені коливання пружних систем з одним ступенем свободи

Якщо прийняти, що крім постійної сили ваги вантажу  (рис. 15.5) на нього діє періодична сила , що обурює , то на відміну від розглянутих у попередньому параграфі вільних коливань будемо мати випадок змушених коливань. Рівняння цих коливань одержимо з виразу (15.1), додаючи до його правої частини силу :

.(15.12)

Ділячи всі члени рівняння на , одержуємо

.(15.13)

Розглянемо окремий випадок, коли сила  пропорційна , тобто коли період сили , а частота .

Позначивши

,

приведемо рівняння (15.13) до виду

.(15.14)

При повільній зміні , тобто при , малому в порівнянні з , можна зневажити членом , що містить прискорення в рівнянні (15.14), і тоді одержати статичну деформацію

.(15.15)

Для визначення динамічної деформації потрібно вирішити диференціальне рівняння (15.14). Це рішення, як відомо, можна одержати, якщо до рішення однорідного рівняння (15.1)

(15.16)

додати часткове рішення рівняння (15.14)

.(15.17)

Підставляючи частку рішення (15.17) у диференціальне рівняння (15.14) і з огляду на

;

,

знайдемо, що

.

Звідси після скорочення на  одержимо

,

тобто амплітуда

.(15.18)

Тоді загальне рішення рівняння (15.14) остаточно прийме вигляд

.(15.19)

Перших два складові правої частини рівняння (15.19) характеризують вільні коливання, які звичайно швидко загасають; останній доданок характеризує змушені сталі коливання системи, які відбуваються із частотою зовнішньої сили, що обурює.

Амплітуда  змушених коливань, як виходить з формули (15.18), залежить від частоти цих коливань . Відношення амплітуди  до статичної деформації (15.15) визначає так званий коефіцієнт наростання коливань :

,(15.20)

або

,(15.21)

де

;    .

З формули (15.20) виходить, що при малому відношенні  коефіцієнт  близький до одиниці і амплітуда змушених коливань лише небагато відрізняється від статичної деформації. Коли ж частота змушених коливань наближається до частоти власних коливань системи, амплітуда змушених коливань прагне до нескінченності; тобто при  амплітуда . При  і маємо стан резонансу. Відповідна частота сили, що обурює, називається критичної.

Розглядаючи вираз (15.20), графічне зображення якого представлено на рис. 15.12, бачимо, що при частоті сили , що обурює, більше власної  частоти коливань системи, тобто при , амплітуда  динамічного переміщення зменшується і при  робиться дуже малою в порівнянні зі статичним переміщенням. У цьому випадку вантаж  можна розглядати як нерухомий.

Рис. 15.12. Коефіцієнт наростання коливань

При  змушені коливання й сила, що обурює, перебувають в одній фазі, тобто зрушення фаз . Це значить, що в момент, що коли коливається вантаж (рис. 15.5) досягає свого найбільшого відхилення, припустимо, долілиць, що обурює сила одержує найвище значення в цьому ж напрямку. При  різниця у фазах змушених коливань і сили, що обурює, становить величину , тобто коливання відбуваються в протифазі із силою, що обурює. Це значить, що в той час, коли сила що обурює має максимальне значення в напрямку донизу, а вантаж що коливається досягає свого максимального відхилення уверх. Таке явище можна добре зрозуміти на прикладі змушених коливань математичного маятника (рис. 15.13), порушення якого здійснюють шляхом горизонтального зворотно-поступального періодичного переміщення точки підвісу з різною частотою. Положення маятника, що коливається в одній фазі з фактором, що обурює, наведено на рис. 15.13, ; коливання маятника в протифазі із силою, що обурює, показано на рис. 15.13, .

Амплітуда власних (незалежних) коливань можна визначити із загального рішення (15.19) при розгляді початкових умов. Так, думаючи, що в початковий момент (при ) переміщення і швидкість дорівнюють нулю, тобто  й , з рівняння (15.19) будемо мати

;    .

аб

Рис. 15.13. Змушені коливання маятника

Підставляючи знайдені значення в рівняння (15.19), остаточно одержуємо

.(15.22)

На початку дії сили, що обурює, виникають змушені й вільні коливання однієї амплітуди.

Якщо частота сили, що обурює, наближається до частоти власних коливань, має місце биття. Нехай

.

Тоді рівняння (15.22) при

буде мати вигляд

(15.23)

тобто одержимо рівняння синусоїдального коливального руху з періодом

і змінною амплітудою

,

період зміни якої, або період биття, характеризується величиною

.

Графічне подання коливання з биттям наведене на рис. 15.14. З останньої формули виходить, що період биття збільшується з наближенням частоти обурення  до частоти власних коливань  і стає рівним нескінченності у випадку резонансу (при ).

Рис. 15.14. Коливання з биттям

В останньому випадку, коли  й , рівняння (15.23) може бути представлене так:

,(15.24)

тобто амплітуда із часом зростає безмежно. Помітимо, що останній висновок справедливий тільки при відсутності в коливальній системі сил опору. Таких реальних коливальних систем не існує.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение
    Заказать реферат
    UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019