Згин. Нормальні напруги при плоскому згині прямого стрижня
Згин
Прямолінійні стрижні, що працюють на згин, будемо називати балками. В
опорі матеріалів термін «балка» значно ширше, ніж у звичайному вживанні
цього слова: з погляду розрахунку на міцність, жорсткість і стійкість
балкою є не тільки будівельна балка, але також і вал, болт, вісь
залізничного вагона, зуб шестірні й т.д.
Спочатку обмежимося розглядом найпростішого випадку вигину балок, при
якому всі задані навантаження лежать в одній площині, яка називається
силовою (мал.8.1,а), причому ця площина збігається з однією з головних
площин балки. Такий випадок будемо називати плоским вигином.
б
Рис.8.1. Плоский вигин
На розрахунковій схемі балку прийнято заміняти її віссю (мал.8.1,б). При
цьому всі навантаження, звісно, повинні бути приведені до осі балки й
силова площина буде збігатися із площиною креслення.
Нормальні напруги при плоскому вигині прямого стрижня
Розглянемо, випадок чистого плоского вигину балки (мал.8.2,а). Із шести
внутрішніх силових факторів, які можуть діяти в її поперечних перерізах
у загальному випадку вигину, при чистому вигині відмінним від нуля буде
тільки згинальний момент М. Оскільки вигин передбачається плоским,
будемо вважати, що вісь балки деформується в площині яка збігається із
силовою (на мал.8.2 — у площині креслення). Виведемо формулу для
обчислення напруг у будь-якій точці перерізу й дамо обґрунтування умовам
плоского вигину. Маючи на увазі останнє, не будемо поки вводити ніяких
обмежень відносно форми й розташування силової площини (за винятком
того, що силова площина повинна проходити через вісь стрижня).
Рис.8.2. Чистий плоский вигин
на довільній відстані х від початку координат (мал.8.2,а).
. Тому із шести відомих співвідношень, що зв’язують внутрішні силові
фактори й напруги (розділ 1), залишаться тільки три:
(8.1)
Але в цьому випадку в перерізах балки діє тільки один згинальний момент,
так що
(8.2)
Із залежностей (8.1) і (8.2) одержуємо
(8.3)
Переходячи до геометричної сторони задачі, розглянемо картину деформацій
тої ж балки (мал.8.3).
Рис.8.3. Картина деформацій при вигині
Досліди, поставлені на еластичних (наприклад, гумових) моделях, що
дозволяють легко одержати значні деформації, показують, що якщо на
поверхні моделі нанести прямокутну сітку ліній (мал.8.3,а), то при
чистому вигині вона деформується (мал.8.3,б) у такий спосіб:
а) поздовжні лінії викривляються по дузі окружності;
б) контури поперечних перерізів залишаються плоскими;
в) лінії контурів перерізів усюди перетинаються з поздовжніми волокнами
під прямим кутом.
На підставі цього можна припустити, що при чистому вигині поперечні
перерізи балки залишаються плоскими й повертаються так, що залишаються
нормальними до вигнутої осі балки. Отже, при чистому вигині, як і при
розтяганні (стисканні) і крутінні круглих стрижнів, буде справедлива
гіпотеза плоских перерізів.
). Сукупність волокон, що не міняють своєї довжини при вигині балки,
називається нейтральним шаром (н.ш.). Волокна, що належать нейтральному
шару, до деформації лежать в одній площині, а в деформованому стані
утворюють деяку циліндричну поверхню. В обох випадках кожний поперечний
переріз перетинається з нейтральним шаром по прямій, що називається
нейтральною лінією (н.л.) перерізу.
При плоскому вигині нейтральний шар виявляється перпендикулярним до
силової площини, а значить, нейтральна лінія перпендикулярна до силової
лінії в перерізі. Будемо вважати, що вісь (мал.8.1) проведена в перерізі
так, що вона збігається з нейтральною лінією (але положення останньої по
висоті перерізу поки не відомо).
Відносне подовження цього волокна
Рис.8.4. Деформований стан елемента
Тому
. Але волокна нейтрального шару не змінюють своєї довжини при
деформації, тому
,
одержимо
(8.6)
Отже, розгляд геометричної сторони задачі показав, що відносна поздовжня
деформація пропорційна відстані волокна від нейтральної осі.
на мал.8.1,б), як уже було сказано, дотичних напруг немає. У силу
закону парності немає їх також і в перерізах, паралельні осі балки. Що ж
стосується нормальних напруг, що виражають взаємодію розглянутого
волокна із сусідніми волокнами, то передбачається, що волокна не давлять
один на одного, і, виходить, що ці напруги дорівнюють нулю. Таким чином,
волокно ab перебуває в лінійному напруженому стані — зазнає просте
розтягання або стискання. Тому для нього закон Гука варто записати у
вигляді
з формул (8.6) і (8.7). У результаті будемо мати:
в перерізі, можна винести за знак інтеграла, одержимо
, можемо останню формулу записати у вигляді
(8.9)
Нарешті, підставивши формулу (8.9) у вираз (8.8), знайдемо, що
(8.10)
Це і є шукана формула, що дає можливість обчислювати нормальні напруги
при чистому вигині балки в будь-якій точці перерізу. Залишилося тільки
встановити, де в перерізі розташована вісь z — нейтральна лінія
перерізу.
з формули (8.10) у перші два рівняння (8.3):
–
”
$
&
(
*
,
.
0
2
4
6
8
:
< >
@
B
D
F
H
J
L
N
P
R
T
V
X
Z
–
”
&
*
.
2
6
:
>
?Z
\
^
`
b
f
h
j
l
?
?
а
то
— нейтральна лінія перерізу — проходить через центр ваги (ц.в.)
поперечного перерізу. Силова площина проходить через вісь балки, а
значить, силова лінія (вісь у) проходить через центр ваги перерізу.
— головні центральні осі перерізу. Цим визначається положення
нейтральної лінії перерізу.
Таким чином, якщо силова лінія збігається з однією з головних
центральних осей перерізу, то вигин буде плоским і нейтральна лінія
перерізу співпаде з іншою головною центральною віссю. Інакше кажучи,
якщо силова площина збігається з однією з головних площин стрижня, то
нейтральний шар збігається з іншою головною площиною.
Тепер проаналізуємо отримані результати.
Формула (8.9) у проведеному виводі була допоміжною, однак вона має й
велике самостійне значення. Її можна трактувати як закон Гука при
вигині, оскільки вона зв’язує деформацію (кривизну нейтрального шару) з
діючим у перерізі моментом.
.
= const).
для будь-яких перерізів, що мають горизонтальну вісь симетрії, завжди
буде мати вигляд, представлений на мал.8.5. Всі волокна, розташовані
вище нейтральної лінії, виявляться стисненими, а нижче її —
розтягнутими. Якщо ж згинальний момент буде мати протилежний знак, то
верхні волокна будуть розтягуватися, а нижні — стискатися.
Рис.8.5. Епюра нормальних напруг
Підставляючи це значення у формулу (8.10), для абсолютної величини
напруги одержуємо:
являє собою осьовий момент опору (розділ 1). Тоді
(8.13)
Якщо переріз не має горизонтальної осі симетрії, то нейтральна лінія
зміщена стосовно середини висоти перерізу (мал.8.6) і напруги в крайніх
верхніх й у крайніх нижніх волокнах не будуть однаковими:
(8.14)
де
(8.15)
Характер розподілу нормальних напруг у поперечному перерізі наглядно
представлений на мал.8.6.
Рис.8.6. Розподіл нормальних напруг
Отримані результати дозволяють зробити деякі висновки про раціональну
форму перерізу при чистому вигині. На відміну від простого
розтягання-стискання, при вигині, як і при крутінні, напруги в перерізі
розподіляються нерівномірно. Матеріал, розташований у нейтральному шарі,
навантажений дуже мало. Тому з метою економії й зниження ваги
конструкції для деталей, що працюють на вигин, варто вибирати такі форми
перерізу, щоб більша частина матеріалу була віддалена від нейтральної
лінії. Ідеальним із цього погляду є переріз, що складається із двох
вузьких прямокутників (мал.8.7,а). Реально такий переріз нездійсненний,
тому що ці два прямокутники повинні бути зв’язані між собою, щоб
складати один переріз. Найбільш близький до ідеального двотавровий
переріз (мал.8.7,б).
Рис.8.7. Раціональний переріз при вигині
, і тоді з формули (8.13) допустимий момент
може бути прийняте за критерій, що оцінює якість профілю.
Ґрунтуючись на цьому критерії, легко переконатися, що переріз, показаний
на мал.8.8, раціональніше за суцільний круглий, а розташування двотавру
й прямокутника, показані на мал.8.9,а, при вертикальній силовій площині
вигідніше, ніж показані на мал.8.9,б.
Рис.8.8. Кільцевий переріз
Рис.8.9. Раціональне розташування двотавру й прямокутника
Всі наведені тут формули отримані для випадку чистого вигину прямого
стрижня. Дія ж поперечної сили приводить до того, що гіпотези, покладені
в основу виводів, втрачають свою силу, тому що поперечні перерізи не
залишаються плоскими, а викривляються; поздовжні волокна взаємодіють
один з одним, давлять один на одного й перебувають не в лінійному, а в
плоскому напруженому стані. Однак практика розрахунків показує, що й при
поперечному вигині балок і рам, коли в перерізах, крім М, діє ще N і Q,
можна користуватися формулами, виведеними для чистого вигину.
Погрішність при цьому виходить досить незначної.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
