.

Визначення напруг на похилих площадках. Умови на поверхні. Головні напруги. Інваріанти напруженого стану (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
209 1778
Скачать документ

Визначення напруг на похилих площадках. Умови на поверхні. Головні
напруги. Інваріанти напруженого стану

Визначення напруг на похилих площадках. Умови на поверхні

Для дослідження напруженого стану тіла в будь-якій його точці потрібно
вміти визначати напруги не тільки на площадках, паралельних координатним
площинам, але й на похилих.

з напрямними косинусами

Рис.1.2. Напруги на похилій площадці

і зв’яжемо з нею площі інших граней тетраедра:

об’ємної сили.

Спроектуємо діючі сили на вісь х:

одержимо

Аналогічним чином можна одержати ще два рівняння, і тоді рівняння
рівноваги елементарного тетраедра мають вигляд

через шість напрямних напруг, паралельних координатним площинам.

повної напруги відповідають складовим зовнішніх сил, що діють на
поверхні тіла. Тоді рівняння (1.4) будуть називатися умовами на поверхні
тіла й зв’яжуть зовнішні сили із внутрішніми.

Головні напруги. Інваріанти напруженого стану

по трьох взаємно перпендикулярних площадках, паралельним координатним
площинам.

на похилій площадці називається повною напругою на цій площадці й
визначається як геометрична сума

(1.5)

Розкладемо повну напругу на дві складові – по нормалі до площадки і в її
площині (відповідно нормальне й дотичне напруження). Нормальна напруга
дорівнює сумі проекцій складових повної напруги, паралельних
координатним осям, на напрямок нормалі:

(1.6)

Підставляючи значення з (1.4), одержимо

(1.7)

Вираз (1.7) дозволяє визначати нормальні напруги на будь-якій похилій
площадці за допомогою шести складових напруг на трьох площадках,
паралельних координатним площинам.

При цьому дотичні напруження на цій площадці будуть

(1.8)

Формула (1.8) дає величину дотичного напруження, але не дозволяє
визначити його напрямок у площині площадки.

< >

n

p

r

t

v

x

A

A

p

t

x

A

взаємно перпендикулярні, тому їхні напрямні косинуси зв’язані відомим
з аналітичної геометрії співвідношенням

:

Підставимо в цей вираз складові напруги з (1.4):

(1.10)

Вираз (1.10) дозволяє визначити дотичні напруження на будь-якій похилій
площадці в заданому напрямку за допомогою шести складових напруг на
трьох площадках, паралельних координатним площинам.

Площадка, на якій дотичні напруження дорівнюють нулю, називається
головною.

тобто на головній площадці повна напруга збігається з нормальною як по
величині, так і по напрямку.

, спроектуємо її на координатні осі й знайдемо складові головної
напруги, паралельні координатним осям:

Порівнюючи ці співвідношення з (1.4), одержимо:

(1.11)

З аналітичної геометрії відоме співвідношення між напрямними косинусами:

(1.12)

Рівняння (1.11) і (1.12) містять чотири невідомих: головні напруги й три
його напрямні косинуси.

Перетворимо (1.11) до виду

(1.13)

Ця система має ненульовий розв’язок (нульовий розв’язок неможливий в
силу (1.11)) тоді й тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю:

, одержимо кубічне рівняння

або

(1.14)

де

Таким чином

відповідної головної площадки.

, а їхнім напрямним косинусам додамо значення з відповідними індексами й
двічі запишемо рівняння (1.13):

відповідно й складемо їх:

:

Аналогічно можна довести ортогональність головних площадок, на яких
діють інші пари головних напруг. Таким чином, у кожній точці тіла можна
виділити принаймні три головних площадки, які взаємно перпендикулярні
одна одній.

називаються відповідно першим, другим і третім інваріантами напруженого
стану.

Якщо їх виразити через головні напруги (а для цього в (1.15) потрібно
дотичні напруги прийняти рівними нулю), то одержимо

(1.17)

У теорії напруг інваріанти розглядаються як основні характеристики
напруженого стану тіла в даній точці.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Курсовые, Дипломы, Рефераты на заказ в кратчайшие сроки
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020