.

Випадки періодичної зміни параметричних навантажень. Маятник із коливною точкою підвісу (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 483
Скачать документ

Випадки періодичної зміни параметричних навантажень. Маятник із коливною точкою підвісу

Найпростіший приклад розглянутого типу поданий на мал.60,а.

Маса 1 закріплена на верхньому кінці вертикального абсолютно жорсткого стрижня 2; насподі стрижень має опору, що пружно пручається повороту опорного перетину (“пружний шарнір”). На верхній кінець стрижня діє вертикальна сила F. Така система являє собою результат спрощеної схематизації реального стрижня, що володіє розподіленими масою і пружністю.

 

Мал. 60

Сила F є параметричним навантаженням, і, якщо вона постійна в часі, її критичне значення можна знайти за допомогою формули Ейлера. Нехай – кут відхилення стрижня від вертикалі; C – коефіцієнт жорсткості пружного шарніра. Тоді відновлюючий момент (момент пружного шарніра) складає , а рівняння має вид

(156)

Очевидно, що ; звідси випливає, що відхилений стан рівноваги можливий, якщо

(157)

Цією формулою визначається критичне значення статично діючої сили F (наприклад, ваги вантажу 1).

Це ж значення можна знайти, розглядаючи вільні коливання вантажу 1. На відміну від рівняння статики (156), рівняння моментів щодо шарніра 3 містить інерційний доданок:

(158)

або

 

При частота вільних коливань системи обертається в нуль, тобто система стає хитливою. Значення критичної сили знову визначається формулою (157).

Розглянемо випадок, коли сила F змінюється в часі, слідуючи гармонійному закону

При цьому рівняння коливань стрижня (158) приймає вид

або

Це рівняння доводиться до стандартної форми – рівняння Матьє (151), якщо покласти

(159)

При зростанні частоти параметри і пропорційно зменшуються. Штриховий промінь (мал.58) указує, що система проходить чергу послідовно стійких і хитливих станів. Нахил променя визначається відношенням

де – статична критична сила, обумовлена виразом (157).

При даному значенні величина К залежить від різниці . Чим ближче значення статичної складової до критичного значення , тим крутіше проходить промінь і тим ширше пересічні їм ділянки областей нестійкості.

Втрата усталеності можлива при як завгодно малих значеннях стискальної статичної складової і навіть при зміні її знака, тобто при розтягуючій статичній складовій. Як видно з мал.58, промінь при < 0 проходить дуже полого, але також перетинає ряд областей нестійкості.

З іншого боку, діаграма Айнса-Стретта дозволяє установити, що усталеність системи можлива при і навіть при . Дійсно, якщо , то промінь збігається з віссю ординат діаграми Айнса-Стретта, але система залишається хитливою, якщо Відповідно до умов (159) для цього необхідне виконання нерівності

При промінь розташовується в другому квадранті діаграми; із мал.60,б випливає, що й у цьому випадку можлива усталеність системи в надлежаче обраному діапазоні зміни частот . Таким чином, вібраційна складова стискальної сили може за певних умов стабілізувати систему, що хитлива у відсутність коливань.

4.4. Маятник із коливною точкою підвісу

Розглянемо маятник (мал.61,а). Якщо точка підвісу нерухома, то єдиною силою, що створює момент щодо точки підвісу, є вага вантажу . Рівняння малих коливань маятника має вид

Якщо ж точка підвісу коливається уздовж осі y за законом

то при упорядкуванні рівняння моментів потрібно врахувати переносну силу інерції момент якої складає , і тоді рівняння коливань маятника запишеться у виді

або

Мал. 61

Рівняння (160) можна привести до стандартного виду – рівняння Матьє. Для цього покладемо

Тепер із діаграми Айнса-Стретта видно, що параметр не залежить від амплітуди коливань точки підвісу і якою б малою не була амплітуда , нестійкість нижнього положення маятника наступає поблизу значень тобто при

Розглянемо питання про усталеність верхнього положення маятника (мал.61,б). При нерухомій опорі це положення, звичайно, хитливе; однак вібрації підстави можуть додати йому усталеність. Для одержання рівняння руху в даному випадку досить змінити знак перед членом, що містить прискорення в рівнянні (160); відповідно параметр стає від’ємним

З мал.61,в видно, що верхнє положення маятника може бути стійким. При невеликих амплітудах коливань точки підвісу, коли , усталеність верхнього положення досягається, якщо виконується нерівність . Ця умова усталеності з обліком останньої формули приймає вид

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019