Варіаційний метод Канторовича-Власова зведення двовимірних задач до
одномірних. Згин прямокутних пластин. Вибір функції поперечного
розподілу прогинів пластини
Викладені вище питання теорії й практичного застосування одномірного
варіанта МГЕ показують його ефективність і переваги перед МКЕ, МКР,
методами сил, переміщень, змішаним методом, методом початкових
параметрів і інших методів. Задачі механіки лінійних систем (відповідно
й лінійні задачі електротехніки, теплотехніки, гідравліки, фізики й
т.д.), що не потрапили нам в поле зору, також можуть розв’язуватися
запропонованим алгоритмом. Для цього дану задачу необхідно представити у
формі розв’язку задачі Коші (1.40) і далі застосовувати алгоритм
крайової задачі (1.46) – алгоритм одномірного варіанта МГЕ.
. Тому дане сполучення задачі Коші й чисельного розв’язку крайової
задачі дозволяють визначити запропонований одномірний варіант МГЕ як
числено-аналітичний метод розв’язання диференціальних рівнянь незалежно
від фізичного змісту задачі. Якщо потрібно розв’язати задачу для
лінійної системи, стан кожного елемента якої описується звичайним
диференціальним рівнянням, то завжди можна застосувати запропонований
вище алгоритм. Якщо стан елементів описується диференціальними
рівняннями в частинних похідних (пластини й оболонки), то для
застосування одномірного варіанта МГЕ потрібні додаткові перетворення,
що зводять диференціальні рівняння в частинних похідних до звичайних
диференціальних рівнянь. У математиці, як відомо, можливість зниження
мірності вихідної задачі існує. В механіці таку процедуру виконує
варіаційний метод, запропонований з різних позицій видатними радянськими
вченими академіком Л.В. Канторовичем і членом-кореспондентом АН СРСР
В.З. Власовим, що носить їх ім’я.
У зв’язку з цим досить перспективною представляється проблема об’єднання
одномірного варіанта МГЕ й варіаційного методу Канторовича-Власова.
Очевидно, що від цього об’єднання можливості МГЕ й методу
Канторовича-Власова істотно збільшаться. Вперше ця проблема освітлена в
роботах авторів [217-232]. Викладу цього питання в окремих задачах
теорії пластин і присвячений матеріал даного розділу.
Варіаційний метод Канторовича-Власова зведення двовимірних задач до
одномірних
Відповідно до принципу можливих переміщень сума можливих робіт всіх
зовнішніх і внутрішніх сил пружної пластини на всякій можливій
нескінченно малій зміні переміщень дорівнює нулю. Стосовно до вигину
тонких прямокутних пластин варіаційне рівняння цього принципу має вигляд
[317]
у функціональний ряд
(6.3)
що рівносильно прийняттю розрахункової схеми тонкої пластини, що має
нескінченне число ступенів свободи в одному напрямку й одну ступінь
свободи в іншому напрямку. В цьому положенні полягає велика перевага
методу Канторовича-Власова перед іншими методами, де не розглядається
модель пластини з нескінченним числом ступенів свободи хоча б в одному
напрямку.
Підставляючи (6.3) в (6.1), одержимо
(6.4)
звідки випливає, що
@ u
ue
@ ue
ича-Власова, що є розвитком більш загального методу Фур’є поділу змінних
стосовно до рівнянь теорії пружності. Для зведення диференціального
рівняння в частинних похідних до звичайного диференціального рівняння
необхідно використовувати розкладання (6.2) і виконати операції в (6.5),
тобто помножити обидві частини вихідного диференціального рівняння на
обрану функцію й проінтегрувати у межах характерного розміру пластини
(для прямокутної пластини це її ширина). Точне розв’язок виходить, коли
ряд (6.2) не усікається, а з (6.5) випливає нескінченна система лінійних
диференціальних рівнянь і розрахункова схема має нескінченне число
ступенів свободи у двох напрямках. При цьому досить зручно
використовувати ортогональну систему функцій . У цьому випадку будуть
дорівнюють нулю багато побічних коефіцієнтів системи лінійних
диференціальних рівнянь (6.5) і вона істотно спроститься, а при
шарнірному обпиранні взагалі розпадається на окремі рівняння. У
розрахунковій практиці досить рідко використовують два й більше члени
ряду (6.2), обмежуючись тільки першим наближенням. Зв’язано це з високою
точністю одержуваних результатів, внаслідок, як представляється,
незначної розбіжності між наближеною схемою й реальним об’єктом.
Формально це виражається в належному виборі функції . Чим точніше вона
описує який-небудь параметр у напрямку осі ОХ, тим менша погрішність
результату.
Збіжність ряду (6.2) обумовлена тим, що прогин і права частина (вона
теж розкладається в ряд по ортогональній системі функцій ) у всій
області, займаною пластиною, задовольняють умовам Діріхлє, тобто мають
кінцеве число розривів 1-го роду й кінцеве число максимумів і мінімумів.
Проф. В.З. Власов показав також, що перетворення, аналогічні
перетворенням (6.5), необхідно виконувати для згинального моменту,
приведеної поперечної сили й статичних граничних умов. При цьому
виходять одномірні граничні умови й статичні параметри, а роль
кінематичних параметрів виконують функції й . Звичайне диференціальне
рівняння з постійними коефіцієнтами (6.5) і вже узагальнені початкові
параметри утворять задачу Коші для двовимірного об’єкта, а крайова
задачі може бути розв’язана одномірним варіантом МГЕ.
Вигин прямокутних пластин
У технічній теорії вигину тонких прямокутних пластин рівняння рівноваги
її елементарної частини приводиться до виду (рівняння Жермен-Лагранжа)
(6.6)
Кінематичні параметри (прогин і кути повороту нормалей)
(6.7)
Статичні параметри (згинаючі, крутні моменти й поперечні сили)
(6.8)
(6.9)
(6.10)
Приведені поперечні сили
(6.11)
Вибір функції поперечного розподілу прогинів пластини
Задану безрозмірну систему функцій необхідно вибрати такою, щоб вона
максимально точно описувала форму вигнутої поверхні пластини в напрямку
осі ОХ. Очевидно, цій вимозі задовольняють криві прогину балки, що має
такі ж умови обпирання, як і пластина в напрямку осі ОХ. Тут
рекомендується два способи для вибору функції [63]:
1. Статичний, коли прогин балки визначається статичним навантаженням
(рис. 6.1)
Рис. 6.1
Навантаження повинне бути таким, щоб послідовно чергувалися симетричні й
кососиметричні форми кривої прогину. Функції представляються у вигляді
степеневих поліномів, які легко диференціювати, інтегрувати й
обчислювати без застосування складних програм.
2. Динамічний, коли прогини балки представляються формами її власних
коливань (рис. 6.2). Якщо в статичному способі необхідно будувати
функції залежно від навантаження й реакцій балки, то в динамічному
способі досить міняти тільки значення власних частот, що досить зручно.
Однак, застосування функції по цьому способі можливо тільки із
застосуванням персональних комп’ютерів. Функції (індекс 1 у цих функцій
надалі опущений) для різних умов обпирання балки представлені в табл.
3.2, де .
Рис. 6.2
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
