Температурні напруги в пластинах
Температурні напруження в пластинах виникають при нерівномірному
нагріванні або при стисненні температурних деформацій зовнішніми
зв’язками, а також у тому випадку, пластина, що нагрівається коли,
складається з декількох шарів різних матеріалів (наприклад, біметалічна
пластина).
.
Якщо товщина пластини невелика, то з достатньою точністю можна прийняти,
що по товщині пластини температура розподіляється за лінійним законом:
— середня температура;
— перепад температури по товщині;
z — відстань від серединної площини пластини.
Дану задачу можна розділити на дві, що не залежать одна від іншої.
постійні по товщині.
. Розглянемо цю задачу більш докладно. При розподілі температури
відповідно до закону
температурне поле обратно симетричне щодо серединної площини.
у серединній площині дорівнюють нулю.
Відносні подовження в довільній точці на відстані від серединної площини
визначаються на підставі гіпотези незмінності нормалі:
(12.99)
З іншого боку, ті ж відносні подовження можна виразити залежно від
напружень і температури:
(12.100)
Пружні постійні і коефіцієнт лінійного розширення матеріалу вважаємо
постійними по всьому обсягу пластини, тому що діапазон зміни температури
по обсягу пластини передбачається невеликим.
З рівностей (12.99) і (12.100) визначимо напруження:
(12.101)
Обчислимо згинальні моменти:
:
(12.105)
Це рівняння інтегрується так само, як диференціальне рівняння
осесиметричного згину круглих пластин (12.34), його загальний інтеграл
, потім по формулах (12.103) і (12.104) – згинальні моменти і по
формулах (12.38) – напруження.
Розглянемо деякі прості окремі випадки,
1. Перепад температури no радіусу пластини — постійний; краї пластини
вільні. Тоді
визначимо по граничних умовах.
звідки
Отже, для даної частки випадку
(12.106а)
Відповідно до залежностей (12.101) – (12.104), згинальні моменти й
напруги в цьому випадку дорівнюють нулю. Серединна площина пластини
переходить у сферичну поверхню. Помітимо, що якщо рівняння пружної
поверхні (12.106а) записати у вигляді
і проінтегрувать його двічі, то замість рівняння сфери вийде рівняння
параболоїда
Ця погрішність – результат наближеного подання кривизни другій похідній
прогину.
2. Перепад температури постійний; краю пластини затиснені.
, те
Граничні умови:
Звідси
У цьому випадку кут повороту нормалі всюди дорівнює нулю. Отже, площина
пластини не спотворюються і деформації дорівнюють нулю. Згинальні
моменти і напруження, однак, у цьому випадку не дорівнюють нулю. Дійсно,
відповідно до рівнянь (12.101)-(12.104),
3. Перепад температури постійний; внутрішній край затиснений, зовнішній
– вільний.
Граничні умови:
;
або
Постійні інтегрування:
Подальше обчислення деформацій і напружень не становить труднощі.
Питання про температурні напруження і деформації має важливе значення
для біметалічних пластин (рис. 12.28, а). Внаслідок різних коефіцієнтів,
лінійного розширення шарів такі пластини при нагріванні викривляються.
Ця властивість дозволяє використовувати біметалічні пластини як чутливі
елементи терморегуляторів.
Рис. 12.28. Біметалічна пластина
при відсутності нагрівання (рис. 12.28, б). При цьому будемо
припускати, що напружений стан у пластині – одноосьовий (це припущення
виправдується, якщо пластина досить вузька).
товщину шарів;
— модулі пружності матеріалів;
a — відстань від границі шарів до нейтрального шару;
— радіус кривизни нейтрального шару.
На підставі гіпотези незмінності нормалей
де z відлічується від нейтрального шару; позитивний напрямок z —
долілиць.
По деформації визначимо напруження:
у верхньому й нижньому шарах відповідно
по товщині верхнього і нижнього шарів:
(12.108)
звідки
(12.109)
Представимо згинальний момент також у вигляді суми інтегралів по товщині
верхнього і нижнього шарів:
або, з урахуванням рівностей (12.107):
— моменти інерції перетинів верхнього й нижнього шару щодо нейтральної
лінії (на одиницю ширини);
З рівняння (12.110) визначимо кривизну нейтрального шару
(12.111)
Вираз для напружень (12.107) після підстановки в них значення кривизни з
рівняння (12.111) приймають наступний вид:
(12.112)
Всі наведені залежності справедливі також при поперечному вигині, коли
згинальний момент змінний по довжині.
Прогин пластини можна визначити інтегруванням рівняння пружної лінії
обрана таким чином, щоб кривизна пластини була дорівнює нулю. При
відсутності скривлення відносне подовження у всіх точках однаково:
для верхнього шару
і для нижнього
— напруги у верхньому й у нижньому шарі, постійні по товщині шаруючи.
Дорівнявши праві частини двох останніх рівностей, одержимо
складемо на підставі умови рівності нулю нормальної сили
(12.115)
Рішення системи двох рівнянь (12.114) і (12.115) дає
; момент цієї пари
a
a
ue
th
“$?¶??O
U
Ue
TH
ae
j®
?U
TH
ytq0
j
j
відповідно до рівності (12.117), тобто
згідно з рівнянням (12.111):
(12.119)
Аналіз виразу (12.119) показує, що термочутливість біметалу буде
найбільшою в тому випадку, коли товщини шарів будуть задовольняти умові
. Ефективна изгибная жорсткість у цьому випадку
де
Залежності (12.118) і. (12.119) для нормального біметалу спрощуються і
приймають вид
.
Помітимо, що для зниження напружень і збільшення термочутливості в
біметалічних пластинах іноді роблять поздовжні прорізи. При наявності
останніх напружений стан наближається до одновісного.
.
.
Рис. 12.29. Наприклад 12.11
Рішення.
.
Для визначення шуканого зусилля X складемо рівняння переміщень
— переміщення контакту від нагрівання;
— переміщення контакту від сили X.
По рівнянню (12.109) обчислимо відстань а від нейтрального шару:
Момент інерції шарів (на одиницю ширини)
Згинальна жорсткість
Кривизну при нагріванні визначимо по залежності (12.119):
Напруження відповідно до формул (12.118):
;
.
Для визначення переміщення контакту, викликаного нагріванням, застосуємо
інтеграл Мору:
— момент у поточному перетині пластини від одиничного навантаження,
прикладеної по напрямку шуканого переміщення.
До переміщення від вигину можна додати переміщення від подовження
пластини
. Далі знайдемо переміщення контакту від сили X, для чого також
використовуємо інтеграл Мору:
— згинальний момент від сили на одиницю ширини пластини.
Знайдені величини вносимо в рівняння переміщень:
звідси
Напруги, що виникають від сили X, відповідно до формул (12.112):
Епюри напружень від нагрівання, від сили X і сумарні наведені на рис.
12.30.
Рис. 12.30. Епюри напружень наприклад 12.11
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
