Розтягання-стискання, зсув, крутіння та згинання стержнів
У загальному випадку стержні пружних систем випробовують розтягання-стискання, зсув, крутіння й згинання. Точні диференціальні рівняння цих видів опору є нелінійними, і побудувати аналітичні рішення цих рівнянь досить важко. Для подолання математичних труднощів нелінійні диференціальні рівняння лінеаризують і використовують їх рішення в розрахунковій практиці. Похибка наближених рішень при не перевищує 3%, що цілком задовольняє вимогам до точності інженерних розрахунків. У цьому зв’язку представимо відомі рішення наближених диференціальних рівнянь всіх видів опору.
Задача Коші розтягання-стискання стержня постійної жорсткості має вигляд
| (2.1) |
Рішення цієї задачі представляється виразом
| (2.2) |
Диференціюючи це рівняння по , одержимо нормальну силу
| (2.3) |
Поєднуючи вирази (2.2), (2.3) у матриці, одержимо рівняння типу (1.40)
|
(2.4) |
Елементи матриці навантаження після підстановки з (1.22) і інтегрування приймуть вид
| (2.5) |
Зіставлення рівняння (2.4) з розв’язним рівнянням розтягання-стискання по МКЕ (1.52) показує, що матриця коефіцієнтів рівняння МГЕ має 3 ненульових елементи, а в МКЕ – 4.
Аналогічно будуються рішення рівнянь зсуву, крутіння стержня суцільного перетину й згинання. Диференціальні рівняння і початкові параметри цих видів опорів мають вигляд
| (2.6) | |
| (2.7) | |
| (2.8) |
Рішення задач Коші (2.6) – (2.8) у матричній формі запишуться в такий спосіб:
Зсув
|
(2.9) |
Крутіння стержня суцільного перерізу
|
(2.10) |
Згинання
|
(2.11) |
де
Якщо вісь стрижня спрямована уверх, то знаки “–” у матрицях , зсуву й згину опускаються. Елементи матриці навантаження рівняння (2.9) для по (1.23) не будуть відрізнятися від виразів (2.5). Для рівняння (2.10) елементи вектора після підстановки по (1.24) і інтегрування стануть у такий спосіб
| (2.12) |
Елементи матриці рівняння згину (2.11) для по (1.25) приймуть вид
| (2.13) |
З (2.11) виходить, що матриця коефіцієнтів рівняння згину має 10 ненульових елементів, а матриця коефіцієнтів рівняння МКЕ (1.53) – 16 елементів. Виходячи із представленого, можна затверджувати, що одномірний варіант МГЕ відкриває клас задач механіки стержневих систем з більш ефективними показниками вихідних матриць у порівнянні із МКЕ. Відзначимо при цьому наявність песимістичного виводу у фундаментальній книзі П.К. Бенерджи й Р. Баттерфилда про те, що ” … застосування МГЕ до одномірних систем взагалі не є ефективним”. Вивід, мабуть, був заснований на розв’язному рівнянні згину прямолінійного стержня в прямому варіанті МГЕ, що, у поданні авторів роботи [29] приймає вид
| (2.14) |
де – зовнішнє навантаження; – довжина стержня; – відповідно прогин, кут повороту, згинальний момент і поперечна сила; – функція Гріна; – фундаментальні функції; – околиці кінцевої й початкової точок стержня. Видно, що рівняння МГЕ (2.14) більш громіздке, ніж аналогічне рівняння МКЕ (1.53). Однак, існують більш ефективні рішення, типу (2.11) у формі методу початкових параметрів, і МГЕ, заснований на цих рішеннях, стає конкурентно здатним із МКЕ методом також для одномірних систем. На нашу думку даний курс і є доказом цього твердження.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
