.

Розтягання-стискання, зсув, крутіння та згинання стержнів (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
184 787
Скачать документ

Розтягання-стискання, зсув, крутіння та згинання стержнів

У загальному випадку стержні пружних систем випробовують розтягання-стискання, зсув, крутіння й згинання. Точні диференціальні рівняння цих видів опору є нелінійними, і побудувати аналітичні рішення цих рівнянь досить важко. Для подолання математичних труднощів нелінійні диференціальні рівняння лінеаризують і використовують їх рішення в розрахунковій практиці. Похибка наближених рішень при  не перевищує 3%, що цілком задовольняє вимогам до точності інженерних розрахунків. У цьому зв’язку представимо відомі рішення наближених диференціальних рівнянь всіх видів опору.

Задача Коші розтягання-стискання стержня постійної жорсткості має вигляд

(2.1)

Рішення цієї задачі представляється виразом

(2.2)

Диференціюючи це рівняння по , одержимо нормальну силу

(2.3)

Поєднуючи вирази (2.2), (2.3) у матриці, одержимо рівняння типу (1.40)

= 1   .
  1
(2.4)

Елементи матриці навантаження  після підстановки  з (1.22) і інтегрування приймуть вид

(2.5)

Зіставлення рівняння (2.4) з розв’язним рівнянням розтягання-стискання по МКЕ (1.52) показує, що матриця коефіцієнтів рівняння МГЕ має 3 ненульових елементи, а в МКЕ – 4.

Аналогічно будуються рішення рівнянь зсуву, крутіння стержня суцільного перетину й згинання. Диференціальні рівняння і початкові параметри цих видів опорів мають вигляд

(2.6)
(2.7)
(2.8)

Рішення задач Коші (2.6) – (2.8) у матричній формі запишуться в такий спосіб:

Зсув

 

=

1  
  1
(2.9)

Крутіння стержня суцільного перерізу

= 1  
  1
(2.10)

Згинання

 

 

=

1      

 

  1  
    1  
      1  
(2.11)

де

Якщо вісь  стрижня спрямована уверх, то знаки “–” у матрицях ,  зсуву й згину опускаються. Елементи матриці навантаження  рівняння (2.9) для  по (1.23) не будуть відрізнятися від виразів (2.5). Для рівняння (2.10) елементи вектора  після підстановки  по (1.24) і інтегрування стануть у такий спосіб

(2.12)

Елементи матриці  рівняння згину (2.11) для  по (1.25) приймуть вид

(2.13)

З (2.11) виходить, що матриця коефіцієнтів рівняння згину має 10 ненульових елементів, а матриця коефіцієнтів рівняння МКЕ (1.53)  – 16 елементів. Виходячи із представленого, можна затверджувати, що одномірний варіант МГЕ відкриває клас задач механіки стержневих  систем з більш ефективними показниками вихідних матриць у порівнянні із МКЕ. Відзначимо при цьому наявність песимістичного виводу у фундаментальній книзі П.К. Бенерджи й Р. Баттерфилда про те, що ” … застосування МГЕ до одномірних систем взагалі не є ефективним”. Вивід, мабуть, був заснований на розв’язному рівнянні згину прямолінійного стержня в прямому варіанті МГЕ, що, у поданні авторів роботи [29] приймає вид

(2.14)

де  – зовнішнє навантаження;  – довжина стержня;  – відповідно прогин, кут повороту, згинальний момент і поперечна сила;  – функція Гріна;  – фундаментальні функції;  – околиці кінцевої  й початкової точок стержня. Видно, що рівняння МГЕ (2.14) більш громіздке, ніж аналогічне рівняння МКЕ (1.53). Однак, існують більш ефективні рішення, типу (2.11) у формі методу початкових параметрів, і МГЕ, заснований на цих рішеннях, стає конкурентно здатним  із МКЕ методом також для одномірних систем. На нашу думку даний курс і є доказом цього твердження.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Курсовые, Дипломы, Рефераты на заказ в кратчайшие сроки
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020