.

Розсіювання енергії при коливаннях (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 781
Скачать документ

Розсіювання енергії при коливаннях

Насамперед, розглянемо коливання системи з одним ступенем волі (рис. 15.15) у випадку, коли сили опору при коливанні пропорційні швидкості руху. Для одержання рівняння руху вантажу скористаємося принципом д’Аламбера (умови динамічної рівноваги вантажу розглядаємо при відхиленні його на відстань  від положення статичної рівноваги):

,

де  — коефіцієнт пропорційності;

— сила тертя, пропорційна швидкості ( що діє в напрямку, зворотному руху).

Рис. 15.15. Розсіювання енергії при коливаннях

Звідси диференціальне рівняння коливань системи з урахуванням розсіювання енергії можна представити у вигляді

,(15.25)

де

;    .(15.26)

Позначаючи

,(15.27)

загальне рішення диференціального рівняння (15.25) можна представити так:

,(15.28)

де .

Із цього рівняння виходить, що період коливань розглянутої системи із загасанням

,(15.29)

тобто він залежить від загасання, характеризуемого коефіцієнтом .

Загальне рішення (15.28) може бути представлене також і так:

,(15.30)

Де  й  — деякі постійні, які залежать від початкових умов і можуть бути знайдені таким же шляхом, як в 15.2.

При  різниця між круговою частотою  системи із загасанням і власною частотою , тобто , є величиною другого порядку малості, тому період  буде мало відрізнятися від періоду власних коливань

,

тобто можна вважати, що невелика сила опору не впливає на період (частоту) коливань системи.

Розглядаючи рішення (15.28), бачимо, що через множник   амплітуда коливань із часом убуває. Постійні інтегрування  й , що входять у рішення, визначимо з початкових умов. Так, думаючи в початковий момент (при )  і , з рівняння (15.28) знайдемо, що

.

Підставляючи ці дані в рівняння (15.28), одержуємо

.

В окремому випадку, коли , тобто коли

,

останнє рівняння прийме вид

.(15.31)

Графічно залежність (15.31) представлена на рис. 15.15. Рівняння верхньої й нижньої огібаючих наведеної загасаючої віброграми відповідно  й . Точки  торкання огинаючих до віброграми мають координати часу ; ;  і т.д., а точки  торкання до нижньої кривої, що огинає, – координати  ; і т.д. При цьому зазначені точки не збігаються із точками крайніх переміщень системи з положення рівноваги. Легко переконатися, що внаслідок загасання час переміщення системи із середнього положення до наступного крайнього положення менше часу, необхідного для повернення із крайнього в наступне середнє положення.

Ступінь загасання коливань системи залежить від величини постійної  (характеристики загасання). Амплітуда коливань після кожного циклу зменшується у відношенні

,

що видно з рівняння (15.31), тобто зменшення амплітуди відповідає геометричній прогресії. Дійсно, послідовні амплітуди при ; ;  і т.д. мають значення

;    ;    ;    …;

;      і т.д.

Відношення якої-небудь амплітуди коливань до безпосередньо наступної за нею амплітуди через один період

,

звідки

.(15.32)

Величина  називається логаріфмічним декрементом загасання коливання і звичайно є основною характеристикою загасання коливань.

У техніку, зокрема в машинобудуванні, величина декремента істотно відрізняється від одиниці і становить, наприклад, для таких коливальних систем, як турбінні лопатки, величину порядку 0,03, тобто .

Крім сил опору, пропорційні швидкості руху, за коливання (демпфірування) у реальних конструкціях може обумовлюватися й іншими причинами, зокрема, втратами на розсіювання енергії в самому матеріалі пружного елемента системи, тобто втратами гістерезисного типу, величина яких, виявляється, залежить уже не від швидкості, а від амплітуди коливань. Іншим розповсюдженим джерелом втрат енергії при коливаннях є розсіювання енергії за рахунок сил тертя в зчленуваннях елементів конструкції, витоку енергії у фундамент і т.д.

Тут ми не маємо змоги зупинятися на розрахунку коливань елементів конструкцій з урахуванням різних видів розсіювання енергії і обмежимося лише випадком змушених коливань, коли розсіювання енергії пропорційно швидкості.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Оставить комментарий

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
Заказать реферат
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019