Розсіювання енергії при коливаннях
Насамперед, розглянемо коливання системи з одним ступенем волі (рис. 15.15) у випадку, коли сили опору при коливанні пропорційні швидкості руху. Для одержання рівняння руху вантажу скористаємося принципом д’Аламбера (умови динамічної рівноваги вантажу розглядаємо при відхиленні його на відстань від положення статичної рівноваги):
,
де — коефіцієнт пропорційності;
— сила тертя, пропорційна швидкості ( що діє в напрямку, зворотному руху).
Рис. 15.15. Розсіювання енергії при коливаннях
Звідси диференціальне рівняння коливань системи з урахуванням розсіювання енергії можна представити у вигляді
| , | (15.25) |
де
| ; . | (15.26) |
Позначаючи
| , | (15.27) |
загальне рішення диференціального рівняння (15.25) можна представити так:
| , | (15.28) |
де .
Із цього рівняння виходить, що період коливань розглянутої системи із загасанням
| , | (15.29) |
тобто він залежить від загасання, характеризуемого коефіцієнтом .
Загальне рішення (15.28) може бути представлене також і так:
| , | (15.30) |
Де й — деякі постійні, які залежать від початкових умов і можуть бути знайдені таким же шляхом, як в 15.2.
При різниця між круговою частотою системи із загасанням і власною частотою , тобто , є величиною другого порядку малості, тому період буде мало відрізнятися від періоду власних коливань
,
тобто можна вважати, що невелика сила опору не впливає на період (частоту) коливань системи.
Розглядаючи рішення (15.28), бачимо, що через множник амплітуда коливань із часом убуває. Постійні інтегрування й , що входять у рішення, визначимо з початкових умов. Так, думаючи в початковий момент (при ) і , з рівняння (15.28) знайдемо, що
.
Підставляючи ці дані в рівняння (15.28), одержуємо
.
В окремому випадку, коли , тобто коли
,
останнє рівняння прийме вид
| . | (15.31) |
Графічно залежність (15.31) представлена на рис. 15.15. Рівняння верхньої й нижньої огібаючих наведеної загасаючої віброграми відповідно й . Точки торкання огинаючих до віброграми мають координати часу ; ; і т.д., а точки торкання до нижньої кривої, що огинає, – координати ; і т.д. При цьому зазначені точки не збігаються із точками крайніх переміщень системи з положення рівноваги. Легко переконатися, що внаслідок загасання час переміщення системи із середнього положення до наступного крайнього положення менше часу, необхідного для повернення із крайнього в наступне середнє положення.
Ступінь загасання коливань системи залежить від величини постійної (характеристики загасання). Амплітуда коливань після кожного циклу зменшується у відношенні
,
що видно з рівняння (15.31), тобто зменшення амплітуди відповідає геометричній прогресії. Дійсно, послідовні амплітуди при ; ; і т.д. мають значення
; ; ; …;
; і т.д.
Відношення якої-небудь амплітуди коливань до безпосередньо наступної за нею амплітуди через один період
,
звідки
| . | (15.32) |
Величина називається логаріфмічним декрементом загасання коливання і звичайно є основною характеристикою загасання коливань.
У техніку, зокрема в машинобудуванні, величина декремента істотно відрізняється від одиниці і становить, наприклад, для таких коливальних систем, як турбінні лопатки, величину порядку 0,03, тобто .
Крім сил опору, пропорційні швидкості руху, за коливання (демпфірування) у реальних конструкціях може обумовлюватися й іншими причинами, зокрема, втратами на розсіювання енергії в самому матеріалі пружного елемента системи, тобто втратами гістерезисного типу, величина яких, виявляється, залежить уже не від швидкості, а від амплітуди коливань. Іншим розповсюдженим джерелом втрат енергії при коливаннях є розсіювання енергії за рахунок сил тертя в зчленуваннях елементів конструкції, витоку енергії у фундамент і т.д.
Тут ми не маємо змоги зупинятися на розрахунку коливань елементів конструкцій з урахуванням різних видів розсіювання енергії і обмежимося лише випадком змушених коливань, коли розсіювання енергії пропорційно швидкості.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
