.

Розрахунок циліндричних оболонок, що перебувають під дією поверхневого навантаження (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
193 1133
Скачать документ

Розрахунок циліндричних оболонок, що перебувають під дією поверхневого навантаження

При дії поверхневого навантаження розрахунок циліндричної оболонки за полубезмоментній теорії ведуть, ґрунтуючись на розв’язному рівнянні (13.206). Права частина цього рівняння являє собою функцію від поверхневого навантаження, обумовлену рівністю (13.207).

Припустимо, що поверхневе навантаження симетричне щодо площини  = 0. Тоді складові навантаження   ,  можна розкласти в наступні ряди:

(13.225)

Підставивши ці ряди в рівність (13.207), визначимо функцію навантаження

або

(13.226)

де

(13.227)

Внесемо  вираз  (13.226)  у  праву  частину  рівняння   (13.206); рішення останнього знайдемо також у вигляді ряду

(13.228)

де  — функція тільки від .

У результаті підстановки ряду (13.228) у рівняння (13.206), останнє приймає наступний вид:

Це рівняння приводить до системи звичайних диференціальних рівнянь:

(13.229)

Перше рівняння системи (13.229) характеризує згинальну деформацію оболонки, що не супроводжується перекручуванням форми окружності. Не важко переконатися, що напруження й переміщення, що відповідають цьому рівнянню, повністю збігаються із знайденими по елементарній теорії згинання бруса.

Друге й наступне рівняння системи (13.229) характеризують деформацію оболонки, пов’язану з перекручуванням форми поперечного переріза.

Розглянемо рівняння системи (13.229); з урахуванням рівності (13.213) це рівняння можна переписати в наступному виді:

(13.230)

Загальне рішення рівняння (13.230) представимо у вигляді суми загального рішення відповідного однорідному рівнянню  і частного рішення даного рівняння :

(13.231)

Рішенням однорідного рівняння  є (13.214) або (13.216).

Частне рішення неоднорідного рівняння (13.230) залежить від виду поверхневого навантаження. У тому випадку, коли , приватне рішення неоднорідного рівняння має вигляд

(13.232)

Постійні інтегрування, що втримуються у вираженнях (13.214) або (13.216), вибирають такими, щоб сумарне рішення , обумовлене по рівнянню (13.231), задовольняло граничним умовам на торцях.

Приклад 13.23. Тонкостінна циліндрична труба із днищами, обперта по кінцях на дві опори, заповнена водою до рівня, обумовленого висотою Н (рис. 13.66). Дано:       Визначити напруження й деформації, викликані силами ваги рідини.

Рис. 13.66. До прикладу 13.23

Рішення.

Тиск води на циліндричну стінку труби і на днище:

при ;

при

Тиск на днища й на циліндричну поверхню можна розглядати незалежно одне від іншого. Тому що днища мають більшу жорсткість при розтяганні у своїй площині й виключають можливість перекручування форми окружності біля торця, то тиск на днища буде викликати тільки позацентрове розтягання труби.

Визначимо деформації труби, що виникають при дії тиску рідини на циліндричну поверхню.

Розкладемо тиск у ряд по :

Інтегруючи праву і ліву частини рівності від 0 до , знайдемо :

 

Для визначення коефіцієнта  довільного члена ряду помножимо праву й ліву частини рівності на  і проінтегрируємо від 0 до :

звідки

де

при

при

Складова тиску , що викликає осесиметричну деформацію труби, не має істотного значення і надалі не розглядається.

Визначимо функцію поверхневого навантаження Р. Відповідно до рівнянь (13.226), (13.227) при  й

 

і рівняння (13.229) приймає вид

(13.233)

де  визначається по рівнянню (13.213).

Рішення цього диференціального рівняння можна знайти, як звичайно, у вигляді суми загального рішення відповідного однорідному рівнянню й частного рішення даного рівняння, однак у розглянутому прикладі доцільно надійти інакше. У даної задачі граничні умови симетричні:

при

при

Передбачається, що днища не чинять опору переміщенням, перпендикулярним площині днища. Тиск рідини на днище тут не розглядається, цей тиск може бути враховане окремо.

На підставі залежностей (13.201) і (13.228) рівняння граничних умов можна представити в наступному виді:

 

 

Через симетрію граничних умов загальне рішення диференціального рівняння щодо функції  зручно представити у вигляді тригонометричного ряду

Неважко перевірити, що цей ряд задовольняє всім граничним умовам. Підстановка його в диференціальне рівняння (13.230) приводить до наступної рівності:

Для визначення коефіцієнта  довільного члена ряду помножимо  праву й ліву частини рівності  й проінтегруємо від 0 до :

звідси

Після внесення значення  і підстановки функції  в рівняння (13.228) одержимо для   подвійний тригонометричний ряд

Цей ряд сходиться досить швидко. По функції  обчислюють переміщення  й  [див. рівняння (13.196) і (13.197)] і внутрішні силові фактори [див. рівняння (13.201) – (13.205)].

При  параметр  дорівнює нулю, і отримане рішення збігається з рішенням по елементарній теорії згинання бруса.

Приведемо рішення тієї ж задачі, але при наявності в середньому перетині жорсткого кільця, що виключає можливість перекручування форми окружності (рис. 13.67).

Рис. 13.67. Рішення при наявності в середньому перетині жорсткого кільця

У цьому випадку оболонка має дві ділянки. Вибравши початок координат у середині, можна записати наступні граничні умови для функції  при   [див.  (13.197) і (13.228)]:

 

 

 

 

Так як ці умови несиметричні, то рішення варто шукати, як обично, у вигляді суми загального рішення однорідного рівняння (13.216) і частного рішення рівняння із правою частиною, тобто

Визначивши по граничних умовах постійні інтегрування і по рівнянню (13.228) функцію , неважко обчислити переміщення й напруження.

На рис. 13.68 зображені епюри осьових нормальних напружень у середньому поперечному перерізі труби; а) по елементарній теорії згину бруса (рис. 13.16, а); б) по теорії В. 3. Власова при відсутності кільця в середньому перетині (по сумі членів ряду до , рис. 13.16, б); в) те ж, але при наявності жорсткого кільця в середньому перетині циліндра (рис. 13.16, в).

а б в

Рис. 13.68. Епюри осьових нормальних напружень

На рис. 13.69 наведені епюри осьових напружень у нижнім розтягнутому волокні по довжині циліндра для тих же трьох випадків.

Рис. 13.69. Епюри осьових напружень у нижнім розтягнутому волокні

Зіставивши епюри, можна зробити наступні виводи:

  1. Напруження в оболонці при даному навантаженні сильно відрізняються від обчислених по елементарній теорії згинання бруса. Щоб пояснити сутність цієї відмінності, представимо заданий тиск (рис. 13.70, а) у вигляді суми двох навантажень, показаних на рис. 13.70, б и в.
а
б
в

Рис. 13.70. Заданий тиск у вигляді суми двох навантажень

Перша з них викликає вигин оболонки як балки, а друга — деформацію оболонки, пов’язану з перекручуванням форми поперечних перерізів. Чим менше товщина стінки, тим більше істотне значення має деформація другого виду. В оболонці, розглянутої в прикладі 13.23, напруження і переміщення за рахунок деформації другого виду переважають.

  1. При установці жорсткого кільця, що перешкоджає перекручуванню форми окружності перетину, напруження в оболонці помітно знижуються; змінюється також характер їх розподілу. Якби по довжині циліндра була встановлена велика кількість кілець так, щоб всі його перетини залишалися круглими, то деформації й напруження в циліндрі не відрізнялися б від обчислених по теорії згинанння балки. На підставі цього можна укласти, що знизити напруги в оболонці найбільше ефективно можна установкою кілець (шпангоутів), що перешкоджають перекручуванню форми поперечних перерізів. Якщо оболонка буде навантажена зосередженою поперечною силою (рис. 13.62), то досить установити тільки одне жорстке кільце в місці додатка сили, і оболонка буде деформуватися як балка, тобто без перекручування форми поперечних перерізів.

При навантаженні оболонки розподіленим навантаженням, уздовж утворюючої (рис. 13.71), викладена методика розрахунку також застосовна.

Рис. 13.71. Навантаження уздовж утворюючої

У цьому випадку навантаження варто розкласти в ряд по , тобто представити у вигляді косинусоидальных поверхневих навантажень, після чого рішення будується так само, як і при поверхневому навантаженні.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Курсовые, Дипломы, Рефераты на заказ в кратчайшие сроки
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020