.

Розрахунок оболонки довільної форми за безмоментною теорією (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 888
Скачать документ

Розрахунок оболонки довільної форми за безмоментною теорією

Для оболонки довільної форми застосовують криволінійні ортогональні координати  й  (рис. 7.4). Нескінченно малі  дуги  й  на криволінійній поверхні можна розглядати як прямі. В теорії поверхонь їх називають лінійними елементами. Довжини лінійних елементів пропорційні диференціалам незалежних змінних:

(а)

Коефіцієнти пропорційності A і B представляють  коефіцієнти перекручування, що перетворять збільшення криволінійних координат у лінійні відрізки. У загальному випадку ці коефіцієнти є функціями координат  і .

Рис. 7.4. Система криволінійних координат

Квадрат лінійного елемента в ортогональних координатах становить

або з урахуванням залежностей (а)

(б)

Вираз (б) називається першою квадратичною формою поверхні, а величини A і Bкоефіцієнтами першої квадратичної форми.

Для дослідження внутрішніх зусиль виділимо із серединної поверхні оболонки лініями , ,  і  нескінченно малий елемент CDFE (рис. 7.5). В ординатах  і  він має форму ортогонального криволінійного чотирикутника зі сторонами

(в)

Рис. 7.5. До дослідження внутрішніх зусиль

Кути  й  відповідні криволінійні сторони чотирикутника  й , розташовані у двох взаємно перпендикулярних головних нормальних площинах, що проходять через точку C. Відповідно до рисунка, ці кути підкоряються формулам

(г)

Кути  й  лежать у дотичної площини й утворені напрямками суміжних дотичних до ліній кривизн, що проходять через точки C, D і E.

Для цих кутів одержуємо

(д)

У випадку безмоментного напруженого стану на гранях розглянутого елемента діють віднесені до одиниці довжини перерізи оболонки нормальні ,  і зрушуючі ,  зусилля, що є функціями координат  і . Ці зусилля зображені на рис. 7.6.

Рис. 7.6. Нормальні й зрушуючі зусилля

Поверхневе навантаження показане у вигляді складової інтенсивності навантаження , ,  по осях рухливої ортогональної системи координат xyz з початком у точці С.

Розглянемо умови рівноваги елемента CDFE. Сума проекцій всіх сил на вісь Cx

Приведемо подібні члени й відкинемо величини вищого порядку малості, що стоять у квадратних дужках:

Звідси після підстановки значень кутів (д) і спрощення знаходимо

(е)

Аналогічно одержуємо ще два рівняння рівноваги, проектуючи всі сили на осі  й :

(ж)

З рівняння моментів щодо осі Cz одержуємо співвідношення

яке називають законом парності зрушуючих зусиль. З його врахуванням диференціальні рівняння рівноваги безмоментної теорії оболонок можна представити в такому видгляді:

(7.1)

Рівняння (7.1) являють собою повну систему основних рівнянь безмоментної теорії оболонок, виведену в лініях головних кривизн серединної поверхні оболонки. Число невідомих функцій , , і S відповідає числу рівнянь, тобто при розрахунку по безмоментній теорії оболонка в нескінченно малому являє собою статично визначену систему.

Розв’язок системи рівнянь (7.1) відноситься до статичної задачі безмоментної теорії оболонок. Щоб знайти деформації й переміщення в оболонці, до цих рівнянь варто додати геометричні й фізичні рівняння. Тут обмежуємося дослідженням тільки статичної сторони задачі й розглянемо основні рівняння для двох окремих випадків.

Сферична оболонка. У цьому випадку головні радіуси кривизни  однакові:

Заміняючи координату  на , а  на , згідно рис. 7.7 одержуємо наступні значення довжин лінійних елементів:

(з)

Рис. 7.7. Перетворення координат у сферичній оболонці

Порівнюючи співвідношення (з) і (а), відмітимо, що коефіцієнти першої квадратичної форми приймають вигляд

і рівняння (7.1) перетворяться в наступні:

(7.2)

Осесиметричне навантаження сферичної оболонки. У цьому випадку зусилля не залежать від кута  й всі похідні по  звертаються в нуль. Крім того, зрушуючі зусилля . Дійсно, у силу симетрії в будь-якому меридіональному перетині ліворуч і праворуч повинні існувати однакові зрушуючі зусилля, спрямовані в одну сторону. Це суперечить умовам рівноваги й можливо лише при . З рівнянь (7.2) залишаються тільки два:

(7.3)

У зв’язку з визначеністю напрямку головних кривизн зусилля в сферичній оболонці мають наступні назви:  — меридіональне зусилля (напрямок збігається з напрямком меридіанів на сфері),  — кільцеве зусилля.

Розглянемо розв’язання системи рівнянь (7.3) на прикладі сферичного купола, до якого прикладене рівномірно розподілене навантаження інтенсивністю q на одиницю площі горизонтальної проекції оболонки (рис. 7.8). Відповідно до цього рисунка, складові поверхневого навантаження такі:

Рис. 7.8. Сферичний купол

Підставляючи їх значення в рівняння (7.3), одержуємо:

Розв’язок цієї системи рівнянь дає

Епюри меридіональних і кільцевих зусиль по висоті купола зображені на рис. 7.8.

Рис. 7.8. Епюри меридіональних і кільцевих зусиль

Стискаюче кільцеве зусилля має максимальне абсолютне значення у вершині купола при . В міру просування  вниз кільцеве зусилля зменшується й при  дорівнює нулю. Далі воно стає розтягуючим й зростає. Меридіональне зусилля залишається постійно стискаючим.

Для визначення горизонтальної складової меридіонального зусилля розглянемо рис. 7.7, звідки

На нижньому краї купола при  виникає горизонтальна складова реакції

(и)

для сприйняття якої купол ставлять на опорне кільце. Реакція створює в кільці розтягуючі зусилля. Значення цих зусиль визначимо з розгляду рівноваги половини опорного кільця (рис. 7.9).

Рис. 7.9. Рівновага половини опорного кільця

Проектуючи всі сили на вертикальну вісь, одержуємо

звідки після інтегрування шукане зусилля

або з урахуванням формул (з) і (і)

Найбільшого значення розтяжне зусилля в опорному кільці досягає при куті . Якщо , то зусилля стає рівним нулю й необхідність в опорному кільці відпадає.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение
    Заказать реферат
    UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019