.

Рівняння рівноваги нитки (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
181 730
Скачать документ

Рівняння рівноваги нитки

Загальний просторовий випадок рівноваги нитки описується системою диференціальних рівнянь у частинних похідних. У прямокутній системі координат xyz елемент дуги нитки MN (рис.10.5) орієнтований так, що дотична до нього утворить із осями х, у, z напрямні косинуси . Проекції елемента  на осі х, у, z рівні відповідно dx, dy, dz. Значення l, m, n тоді визначаться рівностями . Звідси виходить співвідношення, що зв’язує довжину дуги нитки з її проекціями:

(10.13)

Рис. 10.5. Елемент дуги нитки

Складові розподілених навантажень, що доводяться на одиницю довжини нитки, по осях х, у, z позначені . Проекції сили натягу нитки T у точці М на осі координат позначимо . В точці N ця сила дорівнює , а її проекції . Важливо помітити, що сила Т, так само як і , спрямована вздовж дотичної до осі нитки. Це виходить з того, що нитка не сприймає моменти і сили, що перерізують, і зрівноважити елемент, якщо сила T становить із віссю нитки якийсь кут, не вдається. Проекції сили на координатні осі (рис. 10.6) тоді визначаться залежностями

(10.14)

Маючи на увазі, що проекції сил у точці N повинні бути записані зі збільшеннями, рівняння рівноваги нитки будуть наступними:

(10.15)

Рис. 10.6. Сили, що діють на елемент нитки

Наведені рівняння містять другі похідні від координат по дузі s і перші похідні від зусилля натягу нитки Т. Загальне рішення цієї системи повинне містити сім констант, але, так як є співвідношення (10.13), незалежних констант залишається шість. Таким чином, координати нитки в кінцевому стані залежать від довжини дуги і шести постійних, які повинні бути визначені із граничних умов. Складові розподіленого навантаження  визначають вид функції, що відповідає приватному рішенню рівнянь. Коли на нитку діє локальна сила, то звичайне рішення будується для ділянки між силами і надалі проводиться стискання сусідніх ділянок.

Рівноважний стан нитки при дії сил, прикладених у площині ху, описується рівняннями

(10.16)

Сюди потрібно додати співвідношення, що виходить як окремий випадок (10.13):

Загальне рішення системи рівнянь (10.16) містить чотири константи. Ці залежності часто застосовуються при рішенні практичних задач розрахунку тросових систем. Іноді ж зручніше користуватися співвідношеннями, що не містять похідні по дузі. Для плоского випадку вони можуть бути отримані з вищенаведених рівнянь заміною змінних. Маючи на увазі, що

співвідношення (10.16) представимо у формі

(10.17)

Найбільш простий варіант рівнянь рівноваги виходить, якщо скористатися проекціями сил, що діють на елемент, на нормаль і дотичну до дуги ds. Покладемо, що вісь нитки утворить із віссю x кут , тобто

Рівняння (10.16) представимо у вигляді

Після почленного диференціювання вони приводяться до наступних залежностей:

Помноживши перше із цих співвідношень спочатку на , а друге на  і потім перше на , а друге на , одержимо

(10.18)

Тут  — дотична, а  — нормальна складові навантаження на нитку.

З компонентами  й  вони зв’язані в такий спосіб (рис. 10.7):

(10.19)

Рис. 10.7. Складові навантаження

Отримані рівняння (10.18) іноді називають природними або натуральними рівняннями абсолютно гнучкої нитки. Перше рівняння показує, що у випадку, коли дотична складова навантаження дорівнює нулю, зусилля Т у нитки постійне. Співмножник  дорівнює кривизні пружної лінії, а вона, у першу чергу, визначається значенням нормального складового навантаження в кожній точці. Неважко бачити, що співвідношення (10.18) є частним випадком рівнянь рівноваги теорії оболонок. Для знаходження параметрів рівноважного стану нитки (10.18) повинні бути доповнені формулами

(10.20)

де x і у — прямокутні координати точок пружної лінії нитки.

Систему рівнянь (10.18), (10.20) іноді вирішують аналітично. Але в більшості випадків, при довільних навантаженнях ,  потрібне складання чисельних алгоритмів.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Курсовые, Дипломы, Рефераты на заказ в кратчайшие сроки
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020