.

Просторова стійкість тонкостінних профілів. Найпростіші задачі (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
0 1003
Скачать документ

Просторова стійкість тонкостінних профілів. Найпростіші задачі

При розгляданні задачі стійкості центрально стиснутих стержнів було встановлено: коли стискаюча сила досягає деякого значення, первоначально прямолінійна форма рівноваги стає нестійкою. Поряд із прямолінійною формою рівноваги стають можливими і безскінченні згинальні форми рівноваги: згинання відбувається в площині найменшої жорсткості.

Прямий опит вказує, що втрата стійкості форми рівноваги можлива і при інших видах навантаження. Наприклад, при згинанні полоски в площині її найбільшої жорсткості, коли навантаження досягає деякої величини, поряд із плоскою формою згинання стають можливими й інші форми рівноваги: стрижень згинається в поперечній площині й закручується. Це явище називається втратою стійкості плоскої форми згинання, і в ряді випадків це необхідно враховувати.

Для рішення задач просторової стійкості стрижнів необхідно скласти диференціальні рівняння рівноваги в деформованому стані.

Розглядаючи задачі складного згинання стержнів, встановили, що при згинанні стержня з’являється додаткова інтенсивність поперечного навантаження

,(8.58)

де  — поздовжня сила, позитивна при розтяганні.

Подібним же чином можна обчислити й додаткові інтенсивності  й  поверхневого навантаження на одиницю площі поверхні стержня

;(8.59)

де  й  — проекції на осі  й  повного переміщення точки контуру з координатою ;  — товщина профілю.

Нормальні напруження  визначаються по формулі (8.45), причому в задачах, що представляють найбільший інтерес, можна вважати зовнішнє навантаження прикладене таким чином, що аж до втрати стійкості крутіння відсутнє.

Отже, при визначенні  й  можна припустити, що

.

Помітимо, що додаткові напруження від бімомента якщо й не дорівнюють нулю, то звичайно носять місцевий характер і не можуть зробити помітного впливу на стійкість.

У рамках лінійної постановки задачі величини  і  варто вважати заданими й незалежними явно від переміщень  і . Ці величини знаходять за допомогою розрахунку для заданих зовнішніх сил і граничних умов звичайно з точністю до співмножника , эйлерово значення якого також визначають шляхом розрахунку.

Таким чином, вважаємо відомим вираз

.(8.60)

Проекції переміщень точки контуру на осі  й  визначається по формулах (рис. 8.1)

;

,

але так як

,

то

(8.61)

де й  — координати точки на контурі.

Відповідно до виразів (8.59)

(8.62)

Додаткові інтенсивності поперечного навантаження  й  крутного моменту , що діють на одиницю довжини стержня, визначаться по формулах

Підставляючи в записані формули вираз (8.61), (8.62) і беручи до уваги залежності (8.28), можна одержати наступні вирази:

(8.63)

 

(8.64)

Якщо профіль симетричний щодо осі , то

якщо ж є дві осі симетрії, то

Підставляючи в диференціальні рівняння (8.30) замість виразів    і  відповідно вирази    одержимо в загальному вигляді диференціальні рівняння складного просторового згинання й крутіння тонкостінних профілів.

Не будемо виписувати ці рівняння в загальному виді, тому що їхнє рішення у випадку змінних  і  вимагає використання спеціальних прийомів, розгляд яких виходить за рамки даного курсу.

Розглянемо найпростіший випадок симетричного відносно осі  профілю, додатково припустивши, що

.

Іншими словами, припустимо, що на стержень діє стискаюча сила  й постійний по довжині згинальний момент у площині . В цьому випадку диференціальні рівняння можна перетворити до вигляду

(8.65)

Диференціальне рівняння для  збігається з диференціальним рівнянням стійкості центрально стиснутого стержня. Інші два диференціальних рівняння свідчать про те, що при деяких умовах можлива втрата стійкості із площини симетрії з одночасним закручуванням стрижня.

Розглянемо найпростіші задачі.

  1. Центрально стиснутий стрижень, що має дві осі симетрії. У цьому випадку система диференціальних рівнянь (8.65) розпадається на три окремих диференціальних рівняння
(8.66)

Рішення двох перших рівнянь при відповідних граничних умовах дозволяє визначити эйлерови сили  й , які відповідають втраті стійкості в площинах  і  відповідно.

Третє рівняння має ту ж структуру, що й перші два, і для його рішення використовують відомі прийоми.

Эйлерову силу центрально стиснутого стержня можна представити у вигляді

,

де  — наведена довжина; коефіцієнт  залежить від граничних умов.

У розглянутій задачі при крутильній формі втрати стійкості , так що

.

Якщо в опорних перерізах усунуті кути повороту і поперечний переріз може вільно спотворюватися, то в опорних перерізах і , тобто маємо граничні умови, як у вільно обпертого стержня. У цьому випадку .

Якщо усунуті кут повороту і депланацію перерізу, то в опорних перетинах  і , тобто маємо граничні умови, як у жорстко забитого стрижня. У цьому випадку , іншими словами, усунення депланації перетину істотно збільшує эйлерову силу.

Таким чином, розглянутий стержень може втратити стійкість при згинанні у двох площинах і закручуванні. Якій формі втрати стійкості відповідає найменше значення эйлерової сили, можна визначити тільки на підставі розрахунку.

  1. Чисте згинання. У цьому випадку й система рівнянь (8.65) перетвориться до виду
(8.67)

Очевидно, що для рішення задачі стійкості досить спільно розглянути перші й треті рівняння.

Розглянемо найпростіший випадок вільно обпертої балки, у якої в опорних перерізах усунуті кути повороту перерізу навколо поздовжньої осі, а перекручування поперечного переріза нічим не стиснуто. У цьому випадку рішення задач може бути знайдене у вигляді

 

Підставляючи вираз для й  у диференціальні рівняння (8.67) і скорочуючи на нерівний нулю множник , одержимо систему рівнянь

;

Виключая із другого рівняння величину  й приравнюючи нулю множник при , знайдемо рівняння стійкості

Отримане рівняння має два різних по величині й за знаком кореня. Це свідчить про те, що втрата стійкості може відбутися при різних напрямках дії згинального моменту. Фізично це зрозуміло, тому що профіль несиметричний щодо осі  й при зміні знака моменту міняється співвідношення між стиснутими й розтягнутими частинами поперечного переріза.

Для симетричного щодо осі  перерізу , і рівняння стійкості перетвориться до виду

.

Найменше значення виходить при , так що

.(8.68)

Якщо взяти прямокутну смугу висотою  й товщиною , то для неї

тоді

.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение
    Заказать реферат
    UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2019