Принцип можливих переміщень
має задані переміщення (кінематичні граничні умови)
. Далі, нехай переміщення тіла в його рівноважному стані одержали малі
можливі переміщення. Тоді відповідно до принципу можливих переміщень
(11.3)
(11.43)
де варіація потенційної деформації тіла (11.10)
. Ним можна користуватися і у випадку неконсервативних зовнішніх сил,
тобто сил, робота яких залежить від історії навантаження тіла.
. Для простоти обмежимося виводом рівнянь рівноваги лінійної теорії
пружності, що припускає справедливість лінійних співвідношень (2.40) між
компонентами переміщень і деформацій.
Варіації від компонентів деформації рівні
у формулу (11.44) і інтегруючи кожний член підінтегрального виразу
вроздріб з використанням відомої формули Гаусса-Остроградского
для перетворення об’ємного інтеграла в поверхневий, одержуємо
. Ця умова не буде порушена, якщо
Тоді другий інтеграл у формулі (11.45) звернеться в нуль і, отже,
, одержуємо
рівність (11.46) можливо лише у випадку, якщо кожний з коефіцієнтів при
цих варіаціях буде дорівнювати нулю
.
W??
9? (11.43) є найбільш загальним початком статики, застосовним до задач
визначення рівноважного стану тіла незалежно від того, підкоряється
матеріал тіла закону Гука чи ні.
Якщо при використанні принципу можливих переміщень функції, якими
апроксимуються компоненти переміщення , безперервні і диференційовані по
всій області V, а також задовольняють всім кінематичним зв’язкам,
накладеним на тіло, то умови сплошности тотожно виконуються по всьому
обсягу тіла і на частині його поверхні . Рівняння ж рівноваги (11.47) і
(11.48), як було показано вище, автоматично виконуються як наслідок
використання принципу можливих переміщень.
Оскільки всі основні залежності теорії пружності виявилися при цьому
виконаними, то знайдені при використанні принципу можливих переміщень
переміщення будуть дійсними переміщеннями тіла.
Консервативні зовнішні сили. Консервативними вважаються сили, які
володіють потенціалом. Ознакою існування потенціалу зовнішніх сил є
незалежність роботи, чиненої силами, від шляху, яким система приводиться
в остаточний стан.
Переважна більшість зовнішніх сил не міняє в процесі деформування тіла
своєї величини й напрямку дії. Такі сили часто називають мертвими. Для
них . Легко бачити, що вони є консервативними. При використанні принципу
можливих переміщень для таких сил зручно ввести в розгляд потенціал
(силову функцію) зовнішніх сил
(11.49)
Варіація потенціалу U
(11.50)
визначає збільшення роботи зовнішніх сил на можливому переміщенні тіла.
З урахуванням виразу (11.50), залежність (11.50) перепишеться у вигляді
(11.51)
де
(11.52)
— повна енергія деформівного тіла; П — потенційна енергія тіла.
Рівність (11.51) показує, що для консервативних систем із всіх можливих
з точки зору сплошності тіла і умов його закріплення (11.42) переміщень
дійсними переміщеннями будуть ті з них, яким повна енергія приймає
стаціонарне значення. При цьому можливі наступні положення рівноваги:
— стійке: ;
— нестійке: ;
— байдужне: .
Наведені умови становлять сутність принципу Діріхлє, що представляє
собою достатній критерій для оцінки стану рівноваги консервативних
систем.
Вище наведені два формулювання принципу можливих переміщень: (11.43) –
найбільш загальне формулювання, що може бути використана для рішення
фізично і геометрично лінійних і нелінійних крайових задач напувай дії
консервативних і неконсервативних зовнішніх сил; (11.51) – справедлива
при дії на розглянуте тіло консервативних зовнішніх сил.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
