Приклади визначення переміщень у балках по методу початкових параметрів (реферат)

Приклади визначення переміщень у балках по методу початкових параметрів

У консолі, навантаженої рівномірно розподіленим навантаженням на половині довжини (мал.8.47,а), визначимо прогини в перерізах балки з абсцисами  й

Рис.8.47. Визначення прогинів консольної балки

Запишемо рівняння пружної лінії для правої ділянки балки. Тому що розподілене навантаження обривається в точці С, продовжимо його до кінця балки, одночасно вводячи компенсуючи навантаження такої ж інтенсивності (мал.8.47,б). Рівняння пружної лінії в загальному випадку буде мати вигляд

З умов рівноваги балки визначаємо статичні початкові параметри:

Так як початок координат збігається із закладенням, то геометричні початкові параметри — прогин і кут повороту на початку координат — дорівнюють нулю:

Підставивши в рівняння (8.94) знайдені значення початкових параметрів, одержимо  рівняння  пружної лінії в остаточному виді:

Думаючи у виразі (8.97), що  одержимо формулу для прогину вільного кінця консолі:

Думаючи у виразі (8.97), що  одержимо формулу для прогину в точці С:

У балці, навантаженої, як показано на мал.8.48, визначимо прогини й кути повороту в точках С и D.

Рис.8.48. Визначення прогину й кута повороту

Запишемо рівняння пружної лінії для крайньої правої ділянки балки (ділянки BD, де ), попередньо продовживши розподілене навантаження до кінця балки й приклавши компенсуюче навантаження:

Рівняння (8.99) записано з врахуванням того, що статичні початкові параметри вже відомі:

Для визначення геометричних початкових параметрів маємо опорні умови

при

при

З першої опорної умови слідує, що

Друга опорна умова дає

звідки

Тепер рівняння пружної лінії для ділянки балки BD прийме вид

Щоб знайти переміщення точки  досить покласти в цьому рівнянні  Тоді

Щоб обчислити переміщення точки , потрібно записати рівняння пружної лінії для тої ділянки, де перебуває ця точка. Тому що вона лежить на границі I і II ділянок, запишемо рівняння пружної лінії для першої ділянки. Із цією метою в рівнянні (8.100) потрібно викреслити доданки, які відповідають навантаженням, що з’являються лише на II і III ділянках. Інакше кажучи, у рівняння повинна ввійти лише реакція

Таким чином, рівняння пружної лінії на першій ділянці має вигляд

Вважаючи що  одержимо формулу для прогину точки :

Щоб обчислити кут повороту якого-небудь перерізу балки, необхідно мати вираз для кутів повороту на відповідній ділянці балки. Рівняння кутів повороту для ділянки BD одержимо диференціюванням рівняння (8.100):

Вважаючи що  одержимо формулу для кута повороту перерізу :

Рівняння кутів повороту для першої ділянки (ділянки ) одержимо диференціюванням рівняння (8.102):

Звідси при  одержуємо формулу для кута повороту в перерізі :

Розрахунок на жорсткість при згині. Тепер можна перейти до перевірки жорсткості балок, а також до підбору розмірів перерізів з умови жорсткості.

Позначивши максимальний прогин балки через , а допустиму стрілу прогину через , одержимо умову жорсткості балки:

Величини допустимих прогинів установлюють на підставі експериментальних і експлуатаційних даних.

Приклад 8.6. Для балки, навантаженої на відстані  від лівої опори зосередженим моментом  (мал.8.49), побудувати епюри поперечних сил, згинальних моментів, кутів повороту перерізів і прогинів, а також підібрати двотавровий переріз з умов міцності й жорсткості;

Рис.8.49. До прикладу 8.6

Рішення

Визначивши опорні реакції, будуємо епюри поперечних сил і моментів.

Записуємо рівняння прогинів для ділянки :

Початок координат сполучений з лівою опорою, отже, . У відповідності із другою опорною умовою . З рівняння (8.107) при  маємо

звідки

Підставивши (8.108) у рівняння (8.107), запишемо рівняння пружної лінії на ділянці  в остаточному виді:

Рівняння пружної лінії на ділянці  запишеться так:

Продиференціював рівняння (8.109), одержимо рівняння кутів повороту на ділянці балки :

Для побудови епюри  необхідно обчислити кути повороту на границях цієї ділянки:

Диференціюючи (8.110), одержуємо рівняння кутів повороту на ділянці :

Кути повороту на границях цієї ділянки вже відомі. Таким чином, можна побудувати епюру .

На границях ділянки відкладаємо ординати; вершини цих ординат відповідно до рівняння (8.112) з’єднуємо параболічною кривою. Так як , то парабола  повинна бути звернена опуклістю вниз. У точці А дотична до епюри повинна бути паралельна осі абсцис. Аналогічно проводимо побудову на ділянці .

Для побудови епюри прогинів обчислимо найбільший прогин. Він має місце в перерізі, де . Запишемо цю умову:

звідки

У цій точці прогин має екстремальне значення. Обчислимо величину стріли прогину, підставивши у вираз (8.110) :

Для побудови епюри прогинів необхідно ще обчислити прогин у точці С, який являється точкою перегину для епюри прогинів (у цій точці на епюрі моментів міняється знак). Вважаючи в (8.110) що , одержимо

Відкладаємо обчислену ординату вниз від базисної лінії. Відповідно до рівнянь (8.109) і (8.110) епюра прогинів повинна бути обкреслена на обох ділянках кубічними параболами. На ділянці  момент  тому парабола звернена тут увігнутістю вгору; на ділянці  момент  і парабола буде звернена ввігнутістю вниз.

Перейдемо до підбору перерізу балки з умови жорсткості. Умова жорсткості (8.106) приймає вид

Звідки необхідний момент інерції

По сортаменту знаходимо двотавр № 30а, момент інерції якого

Необхідно перевірити міцність обраного двотавру № 30а, момент опору якого

Обчислюємо найбільшу напругу:

Отже, міцність балки забезпечена.

Розрахунок балок із проміжним шарніром. Універсальні рівняння пружної лінії й кутів повороту були виведені з розгляду ділянки  (мал.8.46), на якому балка не має проміжних шарнірів, що порушують плавність вигнутої осі. Тому, розглядаючи всю балку в цілому й залишаючи загальний для всіх ділянок початок координат, застосувати ці рівняння до безпосереднього визначення переміщень на ділянці  балки, розташованій правіше шарніру , не можна. У цьому випадку визначити переміщення можна, лише розглядаючи балку по частинам (окремо частина  й окремо — ).

Можна, однак, показати спосіб узагальнення рівнянь методом початкових параметрів і для випадку балки із проміжним шарніром (мал.8.46). Запишемо диференціальні рівняння для ділянок  і , і двічі їх проінтегруємо:

для ділянки

для ділянки

Внаслідок наявності шарніра, кути повороту ліворуч і праворуч від точки  будуть відрізнятися на деякий кут . Для того, щоб встановити зв’язок між постійними  й , складемо умови з’єднання ділянок у точці :

Підставляючи в рівності (8.117) і (8.118) відповідні значення  й  з виразів (8.114), (8.116) і (8.113), (8.115), при  одержимо

З рівностей (8.119) і (8.120) знаходимо

Підставивши рівність (8.119) і (8.121) у рівняння (8.115) і (8.116), зможемо записати рівняння кутів повороту й прогинів на ділянці  в такому виді:

Так як було встановлено, що лівіше шарніра S довільні постійні С и D на всіх ділянках однакові і являють собою відповідно кут повороту й прогин на початку координат, заключимо, що для перерізів правіше шарніра в універсальне рівняння прогинів варто ввести додатковий член , a у рівняння кутів повороту — . Отже, при наявності шарніра ліворуч від розглянутої ділянки рівняння (8.92) для цієї ділянки приймає вид

Взаємний кут нахилу  є додатковою невідомою величиною універсальних рівнянь для  й . Як і початкові параметри  й , його визначають із опорних умов.

Залежно від виду розрахункової схеми балки можливі два основних варіанти опорних умов:

1. Умова рівності нулю прогинів на правій опорі (мал.8.50). Звідси визначають тільки кут .

Рис.8.50. Перший варіант опорних умов

2. Умови рівності нулю прогинів на опорах В і С (мал.8.51). Кут тут визначається разом зі  шляхом рішення системи двох алгебраїчних  рівнянь.

Рис.8.51. Другий варіант опорних умов

Приклад 8.7. Для балки (мал.8.52) побудувати епюри  Підібрати двотавровий переріз з умов міцності й жорсткості, якщо

Рішення

Обчисливши опорні реакції  й , будуємо епюри  й . Для побудови епюр  і  необхідно, насамперед, обчислити їхні значення на границях всіх ділянок.

Запишемо універсальне рівняння пружної лінії (8.124) для вкрай правої ділянки балки , врахувавши, що геометричні початкові параметри  й  дорівнюють нулю. Одержимо:

Рис.8.52. До прикладу 8.7

Значення взаємного кута повороту перерізів  у шарнірі  знайдемо з умови рівності нулю прогину в перерізі над правою опорою :

Рівняння для прогину в перерізі  одержимо з виразу (8.125), викресливши останній доданок і поклавши :

звідки

Підставивши (8.126) у рівняння (8.125), одержимо остаточне рівняння пружної лінії для ділянки балки :

З рівняння (8.127) можна одержати рівняння для всіх інших ділянок.

Рівняння кутів повороту для всіх ділянок одержимо диференціюванням рівнянь пружної лінії на відповідних ділянках.

На мал.8.52 наведені епюри прогинів і кутів повороту.

Перейдемо до підбору розрізу балки. Найбільший згинальний момент  Із умови міцності

По сортаменту приймаємо двотавр № 45, для якого

Перевіримо, чи виконується умова жорсткості. Знаходимо чисельне значення стріли прогину:

Умова жорсткості (8.106) не задовольняється.

Отже, розміри поперечного перерізу балки необхідно збільшити, виходячи з умови жорсткості.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter