Приклад визначення пружної лінії непризматичної балки. Узагальнений метод Бубнова-Гальоркіна. Метод Бубнова-Гальоркіна
Приклад. За допомогою методу Рітца визначити пружну лінію непризматичної балки, що лежить на суцільній пружній основі змінної жорсткості . Зовнішнє навантаження і умови закріплення балки зображені на рис. 11.8. Тут через a позначений коефіцієнт піддатливості пружного закладення, а через A — коефіцієнт піддатливості пружної опори.
Рис. 11.8. Наприклад 11.4
Рішення
Із граничних умов балки лише умова є кінематичною. Вона буде задовольнена, якщо вираз для пружної лінії балки задати у вигляді ряду
| (11.72) |
де
| (11.73) |
Визначимо попереднє значення функціонала .
Потенційна енергія П складається з потенційної енергії вигину балки, енергії пружної основи, енергії пружного закладення й енергії пружної пори:
| (11.74) |
Силова функція зовнішніх сил U містить члени, що враховують роботу поперечного навантаження , зосередженої сили P і моменту M:
| (11.75) |
При визначенні знака для кожного доданка в (11.75) варто врахувати, що робота позитивна, якщо напрямок дії навантаження збігається з позитивним напрямком переміщення, на якому це навантаження робить роботу.
Підставляючи (11.72) у вираз (11.74) і (11.75), одержуємо
| (11.76) |
де
Скориставшись далі рівняннями методу Рітца (11.56), одержимо систему рівнянь для визначення параметрів
Знаючи параметри , можна за допомогою виразу (11.72) знайти пружну лінію, а потім і всі інші елементи згинання балки.
Узагальнений метод Бубнова- Гальоркіна
Узагальнений метод Бубнова-Гальоркіна заснований на використанні принципу можливих переміщень і є, по суті, трохи іншою формою запису основних рівнянь методу Рітца (11.43).
Нехай є тіло, завантажене об’ємними і поверхневими силами на частині поверхні . На частині, що залишилася, поверхні накладені геометричні зв’язки (11.42).
При рішенні задачі як невідомі компоненти переміщень приймаються, як і в методі Рітца, вираження (11.54).
Система основних рівнянь методу може бути отримана безпосередньо з (11.43), для задачі лінійної теорії пружності вона має вигляд (11.46)
| (11.77) |
Вносячи сюди вираз для варіацій переміщень
| (11.78) |
і з огляду на довільність і лінійну незалежність між собою , одержуємо систему рівнянь узагальненого методу Бубнова— Гальоркіна для визначення параметрів
| (11.79) |
У рівняннях (11.77) і (11.79) у круглих дужках під знаком інтеграла знаходяться відповідно основні рівняння рівноваги об’ємної задачі теорії пружності і силові (природні) граничні умови. Саме з цієї причини метод Бубнова-Гальоркіна особливо ефективний, якщо для розглянутої задачі вже відомі диференціальні рівняння рівноваги і силові (природні) крайові умови. Це дозволяє, по суті, відразу виписати систему розв’язних рівнянь методу (11.79), уникнувши тим самим досить громіздких викладень, пов’язаних з обчисленням потенційної енергії як функції параметрів . При цьому, звичайно, потрібно попередньо переписати всі рівняння рівноваги й силові граничні умови в компонентах переміщень.
Метод Бубнова-Гальоркіна
Якщо обрані вирази для переміщень , поряд з кінематичними граничними умовами задовольняють також і силовим умовам, то в рівняннях узагальненого методу Бубнова-Гальоркіна (11.77) поверхневі інтеграли зникають, і вони для геометрично лінійних задач теорії пружності приймають наступний вид:
| (11.80) |
Рівняння (11.80) є рівняннями методу Бубнова-Гальоркіна.
При наближеному рішенні задачі невідомі компоненти переміщень шукаємо у вигляді
| (11.81) |
[або у формі (11.54)]. Система лінійно незалежних функцій обрана так, що всі крайові умови розглянутої задачі тотожно виконуються. Вносячи (11.81) в (11.80), одержуємо для визначення невідомих параметрів наступну систему рівнянь:
| (11.82) |
Якщо рівняння рівноваги (вираз, що знаходиться в круглих дужках під знаком інтеграла) записані в напруженнях, то, використовуючи фізичний закон зв’язку між компонентами напружень і деформацій, а також кінематичні співвідношення між компонентами деформацій і переміщень, необхідно ці рівняння переписати в переміщеннях.
Метод Бубнова-Гальоркіна можна застосовувати і для наближеного рішення диференціальних рівнянь, необов’язково пов’язаних з якою-небудь варіаційною проблемою. Справді, нехай деяка крайова задача описується диференціальним рівнянням 2m-го порядки
| (11.83) |
при крайових умовах
| (11.84) |
де — задані диференціальні оператори; і — задані функції.
Запишемо шукану функцію у формі (11.81)
| (11.85) |
і виберемо систему лінійно незалежних функцій так, щоб всі крайові умови задачі (11.84) тотожно виконувалися. Якщо тепер припустити, що і є точним рішенням розглянутої задачі, то рівність (11.83) буде ортогонально до будь-якої сукупності функцій і, зокрема, до системи функцій
| (11.86) |
Рівняння (11.86) по своїй структурі тотожні рівнянням (11.82). Вносячи в (11.86) замість функції вираз (11.85), одержуємо систему алгебраїчних рівнянь щодо невідомих параметрів .
Приклад. Знайти прогин призматичної вільно обпертої балки жорсткістю на згинання EI, завантаженою рівномірно розподіленим навантаженням інтенсивністю q.
Рішення
Згинання розглянутої балки описується диференціальним рівнянням
| (11.87) |
при граничних умовах
| (11.88) |
Прогин шукаємо у вигляді
| (11.89) |
Вираз (11.89) задовольняє всім граничним умовам. Це дозволяє для визначення параметрів скористатися методом Бубнова-Гальоркіна
| (11.90) |
Підставивши сюди вираз для прогину з (11.89) і виконавши необхідні обчислювальні операції, знайдемо значення параметра , а потім по формулі (11.89) зможемо одержати шуканий вираз для прогину балки
| (11.91) |
Ряд, що стоїть в правій частині, підсумується в замкнутому виді, і тому
| (11.92) |
що є точним виразом для прогину розглянутої балки.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
