Приклад побудови епюри подовжніх, поперечних сил і згинальних моментів для симетричної рами, завантаженою несиметричним зовнішнім навантаженням.
Тепер розглянемо приклади, що ілюструють різні способи використання симетрії.
Приклад. Побудувати епюри Nz, Qy і Mx для симетричної рами, завантаженої несиметричним зовнішнім навантаженням (рис.12.11,а).
Задана рама має два замкнутих безшарнірних контури, отже, її ступінь статичної невизначеності
Записана формально, без використання симетрії, система канонічних рівнянь методу сил має вигляд
З багатьох можливих варіантів вибору основної системи найбільш доцільним, що максимально спрощує розрахунок, є варіант, представлений на рис.12.11,б, отриманий шляхом розрізування кожного з ригелів посередині прольоту. Тому що розріз стрижня приводить до появи трьох невідомих факторів (двох сил і моменту), то еквівалентна система (рис.12.11,в) буде складатися з двох жорстко затиснених рам, одна з яких завантажена тільки невідомими реакціями, а інша — такими ж невідомими реакціями і зовнішнім навантаженням.
Зазначений вибір основної системи дозволяє не тільки одержати прості одиничні епюри (рис.12.11,г-и), але, що особливо важливо, при цьому цілий ряд побічних коефіцієнтів системи канонічних рівнянь звертається в нуль. Це ті коефіцієнти, що виходять шляхом перемножування симетричної і кососиметричної епюр:
У силу теореми про взаємність переміщень число нульових коефіцієнтів подвоюється. У результаті формально записана система канонічних рівнянь розпадається на двох самостійних систем:
- I)
- II)
Обчислення коефіцієнтів цих систем рівнянь (з обов’язковим обліком співвідношення жорсткостей елементів) приводить до наступних результатів:
| а | б | в |
| г | д | е |
| ж | з | и |
Рис.12.11. Використання симетрії (до приклада 12.4)
Для виконання перевірки обчислених переміщень будуємо сумарну одиничну епюру від одночасної дії шести одиничних факторів (рис.12.12,б).
Обчислюємо коефіцієнти і :
Виконуємо перевірку:
отже, коефіцієнти і вільні члени систем канонічних рівнянь обчислені правильно.
| а | б | в |
| г | д | е |
Рис.12.12. Остаточні епюри (до приклада 12.4)
Підставляючи обчислені значення переміщень, одержимо системи канонічних рівнянь I і II у виді:
Рішення систем I і II дає значення реакцій зайвих зв’язків:
Остаточні епюри Nz, Qy, Mx, побудовані від одночасної дії обчислених реакцій і зовнішнього навантаження q (рис.12.12,в) показані на рис.12.12,г,д,е.
Приклад. Побудувати епюри Nz, Qy, Mx у симетричній рамі (рис.12.13,а).
Рама має два замкнутих безшарнірних контури, тому вона шість разів статично невизначена. При звичайному підході в цьому випадку було б необхідно вирішити систему шести лінійних рівнянь, тобто розрахунок був би досить трудомістким. Використання симетрії, як це буде показано нижче, дозволить звести задачу до рішення тільки лише двох лінійних рівнянь.
Виберемо основну систему, розрізаючи кожний з ригелів посередині прольоту (рис.12.13,б). Але, на відміну від попереднього приклада, сформуємо двох еквівалентних систем, одну з яких завантажимо симетричними складовими зовнішнього навантаження (рис.12.13,в), а іншу — зворотно симетричними складовими (рис.12.13,г). Легко переконатися в тім, що сума зовнішніх навантажень, прикладених до обох еквівалентних систем, дорівнює зовнішньому навантаженню, прикладеному до заданої рами.
При дії симетричних само урівноважених сил і (рис.12.13,в), прикладених у вузлах, в елементах рами відсутні згинальні моменти і поперечні сили, а подовжні сили виникають тільки в ригелях і обчислюються безпосередньо з умов рівноваги вузлів 3 і 5, або, що те ж саме, 4 і 6:
При дії зворотно симетричних сил і (рис.12.13,г) у розрізах, зроблених по осі симетрії рами, виникають зворотно симетричні невідомі поперечні сили Х1, Х2, а подовжні сили і згинальні моменти звертаються в нуль як симетричні зусилля при зворотно симетричному навантаженні.
Таким чином, для розрахунку рами потрібно скласти тільки два канонічних рівняння методу сил:
Одиничні і вантажна епюра згинальних моментів показані на рис.12.13,д,е,ж. Обчислимо коефіцієнти канонічних рівнянь шляхом перемножування відповідних епюр за правилом Верещагіна:
Одиничні і вантажна епюра згинальних моментів показані на рис.12.13,д,е,ж.
| а | б | в |
| г | д | е |
| ж | з | и |
| к | л | м |
Рис.12.13. До приклада 12.5
Для перевірки обчислених переміщень використовуємо сумарну одиничну епюру згинальних моментів (рис.12.13,з).
Перевірка:
Після підстановки знайдених значень коефіцієнтів при невідомих і вільних членів у канонічні рівняння і множення останніх на EI одержимо
звідси
Таким чином, у результаті розкриття статичної невизначеності вихідна, шість разів статично невизначена система приведена до статично визначної системи (рис.12.13,и), завантаженої зовнішнім навантаженням F1 і F2, подовжніми зусиллями N34 і N56, а також обчисленими реакціями X1 і X2.
Епюри подовжніх, поперечних сил і згинальних моментів для заданої рами показані на рис.12.13,к,л,м.
Для виконання універсальної кінематичної перевірки епюри Мх використовуємо сумарну одиничну епюру :
отже, задача вирішена правильно.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
