Поняття про напругу тіла в даній точці. Нормальні і дотичні напруження
Поняття про напругу тіла в даній точці. Нормальні і дотичні напруження
Внутрішні силові фактори, що виникають при навантаженні пружного тіла,
характеризують стан того або іншого перетину тіла, але не дають
відповіді на питання про те, яка саме точка поперечного перерізу є
найбільш навантаженою, або, як кажуть, небезпечною точкою. Тому
необхідно ввести в розгляд якусь додаткову величину, що характеризує
стан тіла в даній точці.
тоді величина
(3.1)
називається повною напругою.
будуть лежати в площині перетину й називаються дотичними напруженнями.
— дотична.
. На кожній грані такого елементарного паралелепіпеда діють по трьох
складових напруги, паралельні координатним осям. Всього на шести гранях
одержимо 18 складових напруг.
; тут перший індекс відповідає нормалі до тої площадки, на якій діє дане
дотичне напруження, а другий указує вісь, паралельно який ця напруга
спрямована (рис.3.1).
Рис.3.1. Нормальні й дотичні напруження
–
$
i
i
|
~
Ae
AE
a
ae
– i
ae
e
o
oe
???????ae
ae
e
o
o
oe
??
?Й??oe
?Й?? вважається додатним, якщо на площадці, нормаль до якої збігається з
напрямком паралельної їй координатної осі, воно спрямовано убік
відповідній цій напрузі додатній координатній осі.
з точністю до нескінченно малих першого порядку можна розкласти в ряд
Тейлора:
Напруги на інших паралельних гранях паралелепіпеда зв’язані аналогічним
чином. Отже, з 18 складових напруги невідомими є тільки дев’ять.
В теорії пружності доводиться закон парності дотичних напружень,
відповідно до якого по двох взаємно перпендикулярних площадках складових
дотичних напруг, перпендикулярні лінії перетинання цих площадок, рівні
один одному:
(3.2)
Рівності (3.2) приводять до того, що з дев’яти складових напруг, що
характеризують напружений стан у точці тіла, залишаються тільки шість:
(3.3)
Можна показати, що напруги (3.3) не просто характеризують напружений
стан тіла в даній точці, але визначають його однозначно. Сукупність цих
напруг утворить симетричну матрицю, що називається тензором напруг:
(3.4)
Так як в кожній точці буде свій тензор напруг, то в тілі є поле тензорів
напруг.
Тензори можна складати і віднімати, при цьому сумою двох тензорів є
тензор, компоненти якого являють собою суму відповідних компонентів
тензорів, що складаються.
раз більше компонентів вихідного тензора.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
