Епюри невизначених систем
Побудова епюр у статично невизначених системах. Метод переміщень
Сутність методу
Як уже говорилося вище, у статично невизначених системах (на відміну від
систем статично визначних) розподіл внутрішніх сил залежить від пружних
властивостей елементів системи. Тому для визначення всіх зусиль у
конструкції одних тільки рівнянь рівноваги недостатньо, і в загальному
випадку потрібно додатково складати фізичні і геометричні рівняння, що
описують умови деформації системи. При цьому якісь фактори вибирають у
якості основних невідомих. Ці величини повинні цілком визначати
напружено-деформований стан системи, тобто через них можна виразити всі
інші невідомі.
Якщо в методі сил у якості таких основних невідомих вибираються
внутрішні зусилля у фіксованих перетинах конструкції, то в методі
переміщень за основні невідомі приймаються переміщення фіксованих
перетинів або вузлів системи. Число невідомих переміщень, прийнятих за
основну, називається ступенем кінематичної невизначеності. Воно, узагалі
кажучи, не зв’язано зі ступенем статичної невизначеності даної
конструкції. Число і вид невідомих переміщень призначають так, щоб через
них досить легко могли бути виражені всі інші фактори системи, зокрема
внутрішні зусилля в її елементах.
Для ілюстрації сказаного розглянемо абсолютно жорсткий брус,
підтримуваний чотирма однаковими стрижнями з жорсткістю на розтягання ЕА
(мал.7.1,а). Така система є тричі статично невизначеною. У той же час
подовження, а отже, і зусилля всіх стержнів цілком визначаються одним
переміщенням, наприклад вертикальним переміщенням точки В, що позначимо
через Z1.
Рис.7.1. Тричі статично невизначена й один раз кінематично невизначена
система
Ступінь статичної невизначеності залежить від числа вертикальних
стержнів, у той час як ступінь кінематичної невизначеності такої системи
залишається рівний одиниці при будь-якому числі стержнів.
Метод розрахунку таких систем, розглянутий у традиційному курсі опору
матеріалів, також припускає використання картини деформацій системи, але
не є методом переміщень. Тут же ми розглянемо розв’язання у формі,
характерній для методу переміщень.
Визначимо зусилля в стержнях N1, N2, N3, N4, приймаючи в якості
невідомого переміщення Z1. Усунемо переміщення Z1, ввівши по його
напрямку додатковий зв’язок (мал.7.1,б). Сформовану в такий спосіб
систему назвемо основною системою методу переміщень. Надамо введеному
зв’язку примусовий зсув Z1, що визначимо з умови рівності нулеві
сумарної реакції R1 у цьому зв’язку, тому що в дійсності сам зв’язок
відсутній. Будемо вважати реакцію позитивною, якщо її напрямок
збігається з прийнятим напрямком переміщення, і негативною — у
противному випадку.
”
,
D
”
3орційна переміщенню Z1. Представимо її в вигляді
,
де r11 – реакція від одиничного зсуву (мал.7.1,в). Відповідно до
принципу суперпозиції умова відсутності повної реакції в приєднаному
зв’язку має вигляд
(7.1)
або
(7.2)
Складаючи суму моментів щодо точки О (мал.7.1,в), знаходимо
З рівняння (7.2) одержимо
Зусилля в стержнях, показані на мал.7.1,в, знайдені від одиничного зсуву
перемножуючи їх на фактичне переміщення Z1, одержимо шукані значення
сил:
Основне рівняння (7.2) виражає у відповідній формі умова рівноваги
системи, що одержала під навантаженням F переміщення Z1; інакше кажучи,
це рівняння рівноваги системи, виражене через переміщення Z1.
Аналогічні міркування можна провести і для рамних систем, де
використання методу переміщень є особливо ефективним.
Розглянемо плоску раму (мал.7.2,а) у деформованому стані як сукупність
окремих стержневих елементів, об’єднаних у вузлах. Деформований стан
кожного елемента цілком визначається навантаженням, безпосередньо
прикладеного до цього елемента, і переміщеннями його кінцевих перетинів.
Окремі стержні, показані на мал.7.2,а, деформовані так само, як і в
складі рами, що досягається зсувом кінцевих перетинів стержнів на
величини, рівні переміщенням вузлів рами.
Якщо зневажити зміною довжин стержнів у процесі деформації, то в цілому
деформований стан рами буде визначено трьома переміщеннями вузлів —
горизонтальним лінійним зсувом ригеля Z1 і кутами поворотів вузлів Z2
і Z3. Отже, ступінь кінематичної невизначеності рами дорівнює трьом.
Основна система з приєднаними зв’язками, усуваючими ці переміщення,
показана на мал.7.2,б. Умовні защемлення, введені в вузли і їхні
усуваючі кути поворотів називаються плаваючими защемленнями, тому що
вважається, що, усуваючи поворот, вони не перешкоджають відповідному
лінійному зсувові вузла. При усуненні зв’язку 1 рама деформується без
повороту вузлів (мал.7.2,в).
Рівняння рівноваги рами, виражені через переміщення Z1, Z2 і Z3
одержимо, прирівнюючи нулеві сумарні реакції в приєднаних зв’язках
(зосереджена сила в лінійному зв’язку) і моменти в кутових зв’язках:
(7.3)
Рис.7.2. До розрахунку рам методом переміщень
Система рівнянь (7.3) є основною системою для розглянутої рами по методу
переміщень. Для того щоб можна було розгорнути кожне з рівностей (7.3),
потрібно попередньо вивчити роботу окремих стержнів, що складають
основну систему, на вплив різних видів навантаження і зсувів опорних
закріплень. Якщо попередньо обчислити реакції по кінцях стержнів від
зазначених впливів, то, використовуючи принцип суперпозиції, кожну з
повних реакцій (7.3) можна записати як суму доданків, що виражають кожен
вплив окремо.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
